Σύντομη περιγραφή της θεωρίας πιθανότητας | Οι Σημαντικοί Ορισμοί του

Μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας πιθανότητας

Στα προηγούμενα άρθρα, η πιθανότητα που συζητήσαμε ήταν σε πολύ βασικό επίπεδο, Η πιθανότητα είναι ένα μέσο έκφρασης πληροφοριών ότι έχει συμβεί ένα συμβάν, Στα καθαρά μαθηματικά η έννοια της πιθανότητας έχει περιγραφεί με τη μορφή θεωρίας πιθανότητας που είναι ευρέως χρησιμοποιείται στους τομείς της πραγματικής ζωής, καθώς και σε διαφορετικούς κλάδους της φιλοσοφίας, της επιστήμης, του τζόγου, της χρηματοδότησης, των στατιστικών και των μαθηματικών κ.λπ. για την εύρεση της πιθανότητας των κύριων γεγονότων.

    Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με το τυχαίο πείραμα και τα αποτελέσματά του, τα βασικά αντικείμενα για την ανάλυση μιας τέτοιας ανάλυσης του τυχαίου πειράματος είναι γεγονότα, τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές διαδικασίες, μη ντετερμινιστικά γεγονότα κ.λπ.

Παρέχοντας ένα παράδειγμα όταν πετάμε ένα νόμισμα ή πεθαίνουμε αυτό το συμβάν, αν και είναι τυχαίο, αλλά όταν επαναλαμβάνουμε τέτοιες δοκιμαστικές φορές το αποτέλεσμα μιας τέτοιας δοκιμής ή συμβάντος θα οδηγήσει σε μια συγκεκριμένη στατιστική ρύθμιση που μπορούμε να προβλέψουμε μετά από μελέτη μέσω νόμου μεγάλων αριθμών ή τα κεντρικά θεωρήματα ορίου κλπ. έτσι μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία πιθανότητας για την καθημερινή δραστηριότητα των ανθρώπων, π.χ. μεγάλο σύνολο δεδομένων μπορεί να αναλυθεί με ποσοτική ανάλυση, για εξήγηση των συστημάτων για τα οποία έχουμε ανεπαρκείς πληροφορίες μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία πιθανότητας π.χ. σύνθετα συστήματα στη στατιστική μηχανική, για φυσικά φαινόμενα ατομικών κλιμάκων στην κβαντομηχανική. 

    Υπάρχουν πολλές καταστάσεις πραγματικής ζωής, καθώς και εφαρμογές όπου συμβαίνει η πιθανότητα, η θεωρία πιθανοτήτων θα χρησιμοποιηθεί υπό την προϋπόθεση της εξοικείωσης της έννοιας και του χειρισμού των αποτελεσμάτων και των σχέσεων της θεωρίας πιθανότητας. Στη συνέχεια θα έχουμε κάποια διαφοροποίηση των καταστάσεων με τη βοήθεια ορισμένων όρων στη θεωρία πιθανότητας.     

Διακριτή πιθανότητα

Θεωρία διακριτής πιθανότητας είναι η μελέτη τυχαίων πειραμάτων στα οποία το αποτέλεσμα μπορεί να μετρηθεί αριθμητικά, οπότε εδώ ο περιορισμός είναι τα γεγονότα ό, τι συνέβη πρέπει να είναι μετρήσιμο υποσύνολο του δεδομένου χώρου δείγματος. Περιλαμβάνει το πείραμα ρίψης νομισμάτων ή ζαριών, τυχαία βόλτα, μαζεύοντας κάρτες από κατάστρωμα, μπάλες σε σακούλες κ.λπ.

Συνεχής πιθανότητα

Θεωρία συνεχούς πιθανότητας είναι η μελέτη τυχαίων πειραμάτων στα οποία το αποτέλεσμα βρίσκεται μέσα στα συνεχή διαστήματα, οπότε εδώ ο περιορισμός είναι τα γεγονότα ό, τι συνέβη πρέπει να έχει τη μορφή συνεχών διαστημάτων ως υποσύνολο του δείγματος χώρου.

Μέτρηση-θεωρητική πιθανότητα

Η θεωρία μέτρησης θεωρητικής πιθανότητας ασχολείται με οποιοδήποτε διακριτό και συνεχές τυχαίο αποτέλεσμα, και διαφοροποιεί σε ποια κατάσταση τι μέτρο πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Η θεωρητική θεωρία πιθανοτήτων μέτρησης ασχολείται επίσης με τις κατανομές πιθανότητας που δεν είναι ούτε διακριτές ούτε συνεχείς ούτε το μείγμα και των δύο.

     Επομένως, για να μελετήσουμε την πιθανότητα πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε ποια είναι η φύση του τυχαίου πειράματος είτε είναι διακριτό, συνεχές ή μείγμα και των δύο είτε όχι, ανάλογα με αυτό μπορούμε να καθορίσουμε τις στρατηγικές μας με ποιον τρόπο πρέπει να ακολουθήσουμε. θα συζητήσουμε διαδοχικά μια κατάσταση μία προς μία.

ΠΕΙΡΑΜΑ

Κάθε ενέργεια που παράγει ένα αποτέλεσμα ή ένα αποτέλεσμα καλείται ως πείραμα. Υπάρχουν δύο τύποι πειραμάτων.

Ντετερμινιστικά πειράματα  Μη ντετερμινιστικά πειράματα (ή τυχαία πειράματα)
Κάθε πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων υπό ορισμένες συνθήκες.Κάθε πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα ή το αποτέλεσμα δεν μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων.
Για παράδειγμα, ροή ρεύματος σε συγκεκριμένο κύκλωμα με βάση την ισχύ που παρέχεται γνωρίζουμε από ορισμένους φυσικούς νόμους.Για παράδειγμα, πετώντας ένα αμερόληπτο νόμισμα, δεν ξέρουμε ότι το κεφάλι θα έρθει ή θα ουρά
Δεν χρειαζόμαστε θεωρία πιθανοτήτων για τέτοια αποτελέσματα πειραμάτων.Χρειαζόμαστε τη θεωρία πιθανότητας για το αποτέλεσμα τέτοιων πειραμάτων.

Η θεωρία της πιθανότητας εξαρτάται βασικά από το μοντέλο του a τυχαίο πείραμα, αυτό συνεπάγεται ένα πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα είναι απρόβλεπτο με βεβαιότητα, πριν από την εκτέλεση του πειράματος. Οι άνθρωποι συνήθως πιστεύουν ότι το πείραμα μπορεί να επαναληφθεί για πάντα υπό ουσιαστικά τις ίδιες συνθήκες.   

   Αυτό το τεκμήριο είναι σημαντικό επειδή η θεωρία της Πιθανότητας ασχολείται με τις μακροπρόθεσμες πρακτικές καθώς το πείραμα αναδημιουργείται. Φυσικά, ένας σωστός ορισμός ενός τυχαίου πειράματος χρειάζεται έναν προσεκτικό ορισμό συγκεκριμένα ποιες πληροφορίες σχετικά με το πείραμα καταγράφονται, δηλαδή, ένας προσεκτικός ορισμός του τι συνιστά αποτέλεσμα.

ΧΩΡΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

Όπως έχει ήδη συζητηθεί, ο χώρος δειγμάτων δεν είναι τίποτα άλλο από το σύνολο που έχει όλα τα πιθανά αποτελέσματα μη ντετερμινιστικού ή τυχαίου πειράματος. Στη μαθηματική ανάλυση, η τυχαία μεταβλητή που είναι αποτέλεσμα ενός τέτοιου πειράματος είναι μια συνάρτηση πραγματικής αξίας που υποδηλώνεται από το X, δηλαδή X: A ⊆ S → ℝ που θα συζητήσουμε λεπτομερώς αργότερα. Εδώ επίσης μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε το χώρο του δείγματος ως πεπερασμένο ή άπειρος. Άπειροι χώροι δειγμάτων μπορεί να είναι διακριτά or συνεχής.

Πεπερασμένα δείγματα χώρων  Άπειροι διακριτοί χώροι δειγμάτων  
Πετώντας ένα νόμισμα ή οτιδήποτε άλλο με δύο διαφορετικά αποτελέσματα {Η, Τ}Πετώντας επανειλημμένα ένα νόμισμα μέχρι το πρώτο κεφάλι να δείξει πιθανό αποτέλεσμα μπορεί να είναι {H, TH, TTH, TTTH, …………}
Ρίχνει μια μήτρα {1, 2, 3, 4, 5, 6}Πετάμε επανειλημμένα μια μήτρα έως τις 6 ερχόμενες
Σχεδίαση κάρτας από τράπουλα 52 φύλλωνΣχεδίαση κάρτας και αντικατάσταση έως ότου έρθει η βασίλισσα
Επιλέγοντας γενέθλια από ένα χρόνο {1, 2, 3, 4,…, 365}.Χρόνος άφιξης δύο συνεχόμενων αμαξοστοιχιών

ΕΚΔΗΛΩΣΗ

Συμβάν όπως ήδη γνωρίζουμε είναι υποσύνολο του δείγματος χώρου τυχαίου πειράματος για το οποίο συζητάμε την πιθανότητα. Με άλλα λόγια μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε στοιχείο στο σύνολο ισχύος του δείγματος χώρου για τον πεπερασμένο δείγμα είναι συμβάν και για το άπειρο πρέπει να εξαιρέσουμε ορισμένα υποσύνολα.

Ανεξάρτητες εκδηλώσειςΕξαρτώμενα γεγονότα
Εάν δεν υπάρχει επίδραση των γεγονότων σε άλλα γεγονόταΗ εμφάνιση ενός συμβάν επηρεάζει άλλα γεγονότα
Για παράδειγμα, πετώντας ένα κέρμαΣχεδίαση κάρτας χωρίς επιστροφή.
Οι πιθανότητες των συμβάντων επίσης δεν επηρεάζονταιΠιθανότητες επηρεασμένων συμβάντων
P (A ⋂ B) = P (A) XP (B)P (A ⋂ B) = P (A) XP (B / A)
P (B / A) είναι ο υπό όρους prob. του Β που δόθηκε Α

ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

Η κατανόηση της τυχαίας μεταβλητής είναι πολύ σημαντική για τη μελέτη της θεωρίας πιθανότητας. Τυχαία μεταβλητή  είναι πολύ χρήσιμο για τη γενίκευση της έννοιας της πιθανότητας που δίνει μαθηματική ιδιότητα σε ερωτήσεις πιθανοτήτων και η χρήση της θεωρητικής πιθανότητας μέτρου βασίζεται σε τυχαία μεταβλητή. Η τυχαία μεταβλητή που είναι αποτέλεσμα τυχαίου πειράματος είναι μια συνάρτηση πραγματικής αξίας που υποδηλώνεται με X, δηλαδή X: A ⊆ S → ℝ

Διακριτή τυχαία μεταβλητήΣυνεχής τυχαία μεταβλητή
Μετρήσιμο αποτέλεσμα τυχαίου πειράματοςΑποτέλεσμα τυχαίου πειράματος σε εύρος
Για ρίψη νομισμάτων, τα πιθανά γεγονότα είναι κεφαλές ή ουρές. έτσι η τυχαία μεταβλητή παίρνει τις τιμές:
X = 1 εάν κεφαλές και X = 0 εάν ουρές
πραγματικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ενός
Για ρίψη μήτρας Χ = 1,2,3,4,5,6Για την ώρα ταξιδιού X = (3,4)

Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως άγνωστη τιμή που μπορεί να αλλάζει κάθε φορά που επιθεωρείται. Έτσι, μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση χαρτογράφησης του δείγμα χώρου μιας τυχαίας διαδικασίας στους πραγματικούς αριθμούς.

Κατανομές πιθανότητας

Η κατανομή πιθανότητας είναι ορίζεται ως η συλλογή τυχαίας μεταβλητής με πιθανότητα,

τόσο προφανώς ανάλογα με τη φύση της τυχαίας μεταβλητής μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε ως

Διανομή κατανομής πιθανότηταςΣυνεχής κατανομή πιθανότητας
Εάν η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή, τότε η κατανομή πιθανότητας είναι γνωστή ως διακριτή κατανομή πιθανότηταςΕάν η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής, τότε η κατανομή πιθανότητας είναι γνωστή ως συνεχής κατανομή πιθανότητας
Για παράδειγμα, μπορεί να διανεμηθεί αριθμός ουρών για να πετάξετε ένα κέρμα δύο φορές, με αποτέλεσμα να είναι TT, HH, TH, HT
X (αριθ. Ουρών): 0 1 2
P (x): 1/4 1/2 1/3
Μια συνεχής κατανομή πιθανότητας διαφέρει από μια διακριτή κατανομή πιθανότητας, επομένως για την τυχαία μεταβλητή X ≤ a η πιθανότητά της P (X ≤ a) μπορεί να θεωρηθεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη (Δείτε την παρακάτω εικόνα)
συνεχής κατανομή πιθανότητας
συνεχής κατανομή πιθανότητας

      Με τον ίδιο τρόπο για την αντιμετώπιση της πιθανότητας τυχαίας μεταβλητής εξαρτάται από τη φύση της τυχαίας μεταβλητής, έτσι οι έννοιες που χρησιμοποιούμε θα εξαρτηθούν από τη φύση της τυχαίας μεταβλητής.

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο συζητάμε κυρίως το σενάριο πιθανότητας, πώς μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την πιθανότητα και κάποια έννοια συγκριτικά. Πριν από τη συζήτηση του βασικού θέματος, αυτή η συζήτηση είναι σημαντική ώστε τα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε να βρίσκονται εκεί που γνωρίζουμε ξεκάθαρα. Στα διαδοχικά άρθρα συσχετίζουμε την πιθανότητα με τυχαία μεταβλητή και ορισμένους οικείους όρους που σχετίζονται με τη θεωρία πιθανοτήτων θα συζητήσουμε, εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε:

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα μαθηματικά, ελέγξτε αυτή η σελίδα.

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks