Η θεωρία πιθανότητας προέκυψε από την έννοια της ανάληψης κινδύνου. Υπάρχουν πολλές περιπλοκές σήμερα που προέρχονται από το παιχνίδι της τύχης, όπως η κατάκτηση ενός ποδοσφαιρικού αγώνα, τα τραπουλόχαρτα και η ρίψη ενός νομίσματος ή η ρίψη ζαριών.
Η θεωρία πιθανότητας χρησιμοποιείται σε πολλούς διαφορετικούς τομείς και η ευκαμψία του θεωρία πιθανότητας παρέχει εργαλεία για σχεδόν τόσες διαφορετικές απαιτήσεις. Εδώ θα συζητήσουμε τη θεωρία πιθανότητας και λίγα δείγματα με τη βοήθεια ορισμένων θεμελιωδών εννοιών και αποτελεσμάτων.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ RANDOM:
"Το τυχαίο πείραμα είναι ένα είδος πειραμάτων όπου το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί."
ΧΩΡΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ:
Το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων από το πείραμα ονομάζεται χώρος δείγματος, συνήθως υποδηλώνεται από το S και όλες οι δοκιμές που εξέρχονται λέγεται ότι είναι ένα δείγμα.
Π.χ .: Σκεφτείτε το τυχαίο Πείραμα της ρίψης 2 νομισμάτων κάθε φορά. Υπάρχουν 4 αποτελέσματα που αποτελούν ένα δείγμα χώρου που υποδηλώνεται με, S = {HH, TT, HT, TH}
TRAIL & ΕΚΔΗΛΩΣΗ:
Κάθε μη κενό υποσύνολο του δείγματος χώρου S ονομάζεται συμβάν. Σκεφτείτε το πείραμα να ρίξετε ένα νόμισμα. Όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα, μπορούμε να βρούμε ένα κεφάλι (H) ή μια ουρά (T). Εδώ το ρίξιμο ενός νομίσματος είναι το μονοπάτι και το να πάρει ένα κεφάλι ή μια ουρά είναι ένα γεγονός.
ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΕΚΔΗΛΩΣΕΙΣ:
Τα συμβάντα που αποκτώνται συνδυάζοντας δύο ή περισσότερα βασικά γεγονότα ονομάζονται σύνθετα συμβάντα ή συμβάντα αποσύνθεσης.
ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΕΚΔΗΛΩΣΕΙΣ:
Ο συνολικός αριθμός των εφικτών αποτελεσμάτων οποιασδήποτε διαδρομής ονομάζεται εξαντλητικά γεγονότα.
Π.χ .: Όταν ρίχνετε ζάρια, τα πιθανά αποτελέσματα είναι 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6. Άρα έχουμε συνολικά 6 γεγονότα στη ρίψη ζαριού.
ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΚΔΗΛΩΣΕΩΝ:
Let S είναι χώρος δειγμάτων τυχαίου πειράματος, Εάν X1, Χ2, …..Χn είναι τα υποσύνολα του S και
(i) Χi ∩ Χj = Φ για i ≠ j και (ii) Χ1 ∪ Χ2 ……… ∪ Χn =S
Στη συνέχεια, αυτή η συλλογή του X1∪ Χ2 ……… ∪ Χn λέγεται ότι δημιουργεί ένα αμοιβαία αποκλειστικό και εξαντλητικό σύστημα εκδηλώσεων.
Τι είναι η ανεξαρτησία;
Όταν βγάζουμε μια κάρτα σε μια τσέπη με καλά προσαρμοσμένες κάρτες και δεύτερον, εξάγουμε επίσης μια κάρτα από το υπόλοιπο πακέτο των καρτών (που περιέχει 51 κάρτες), τότε η δεύτερη εξαγωγή κρέμεται από την πρώτη. Αλλά αν, από την άλλη πλευρά, τραβήξουμε το δεύτερο φύλλο από το πακέτο εισάγοντας το πρώτο φύλλο που τραβήχτηκε (αντικαθιστώντας), η δεύτερη κλήρωση είναι γνωστή ως ανεξάρτητη από την πρώτη.
Παράδειγμα: Δύο νομίσματα ρίχνονται. Αφήστε το πρώτο νόμισμα που έχει το κεφάλι να είναι το συμβάν Χ και το Υ να είναι το δεύτερο νόμισμα που δείχνει την ουρά μετά τη ρίψη. Δύο εκδηλώσεις X και Y είναι βασικά ανεξάρτητα.
Παράδειγμα: Δύο ζάρια δίνονται. Εάν ο μονός αριθμός έρθει στην πρώτη μήτρα, θεωρήστε τον ως συμβάν X και για τον δεύτερο αριθμό ζυγός αριθμός ως το συμβάν Y.
Τα δύο γεγονότα X και Y είναι αμοιβαία ανεξάρτητα.
Παράδειγμα: Μια κάρτα αντλείται από ένα πακέτο 52 φύλλων. Αν A = η κάρτα είναι Hearts, B = Η κάρτα είναι Βασιλιάς και A ⋂ B = Η κάρτα είναι Βασιλιάς της Καρδιάς, τότε τα γεγονότα A και B εξαρτώνται
ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ: Ο αριθμός των περιπτώσεων που επιτρέπουν τη δοκιμή ενός συμβάντος σε μια δοκιμή είναι ο συνολικός αριθμός των πρωτογενών συμβάντων που η πτυχή οποιουδήποτε από αυτά διασφαλίζει την εμφάνιση του συμβάντος.
Τι σημαίνει Πιθανότητα
Εάν προκύψει αυθαίρετη επίδειξη n ασυνήθιστα, εξίσου πιθανά και εξαντλητικά αποτελέσματα, από τα οποία m συμφωνούν με την εμφάνιση ενός συμβάντος A, τότε η πιθανότητα να συμβεί A δίνεται από
Σημείωση πιθανότητας: P (X) = m / n
Για δύο εκδηλώσεις X και Y,
(i) X ′ ή Χ ή ΧC υποδεικνύει τη μη εμφάνιση ή την άρνηση του X.
(ii) Χ ∪ Y σημαίνει για την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα X και Y.
(iii) Χ ∩ Y σημαίνει για την ταυτόχρονη εμφάνιση των X και Y.
(iv) Χ ′ ∩ Y ′ σημαίνει για τη μη εμφάνιση του ενός και του άλλου X και Y.
(v) X⊆ Y σημαίνει για «η εμφάνιση του X υποδηλώνει την ύπαρξη του Y».
Παράδειγμα: Ένας κάδος περιέχει 6 κόκκινα και 7 μαύρα μάρμαρα. Βρείτε την πιθανότητα σχεδίασης μαρμάρων κόκκινου χρώματος.
Λύση: Σύνολο αρ. με πιθανούς τρόπους για να αποκτήσετε 1 μάρμαρο = 6 + 7
Αριθμός τρόπων απόκτησης 1 κόκκινου μαρμάρου = 6
Πιθανότητα = (Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων) / (Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων) = 6/13
Παράδειγμα: Από ένα πακέτο 52 φύλλων, τραβάτε 1 κάρτα τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να πάρετε μια βασίλισσα κάρτα.
Λύση: Μια κάρτα βασίλισσας μπορεί να επιλεγεί με 4 τρόπους.
Συνολικός αριθμός τρόπων επιλογής 1 βασικής κάρτας = 52
Πιθανότητα = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων / Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων = 4/52 = 1/13
Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα ρίψης:
(α) λήψη 4, (β) μονός αριθμός, (γ) ζυγός αριθμός
με μια συνηθισμένη μήτρα (έξι όψεις).
Λύση: Το πρόβλημα είναι πρόβλημα ζαριών
α) Όταν ρίχνεις μια μήτρα υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να πάρεις 4.
Πιθανότητα = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων / Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων = 1/6
β) Ο αριθμός των τρόπων πτώσης ενός περιττού αριθμού είναι 1, 3, 5 = 3
Πιθανότητα = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων / Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων = 3/6 = 1/2
γ) Ο αριθμός των τρόπων πτώσης ενός ζυγού αριθμού είναι 2, 4, 6 = 3
Πιθανότητα = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων / Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων = 3/6 = 1/2
Παράδειγμα: Ποια είναι η πιθανή πιθανότητα να βρεθείς βασιλιάς και βασίλισσα, όταν λαμβάνονται 2 φύλλα από ένα πακέτο 52 παιγνιοχάρτων;
Λύση: 2 κάρτες μπορούν να αντληθούν από ένα πακέτο 52 φύλλων = 52C2 (52 επιλέξτε 2) τρόπους
52 C2 =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326
Μπορείτε να διαλέξετε 1 κάρτα βασίλισσας από 4 κάρτες βασίλισσας = 4C1= 4 τρόποι (4 επιλέξτε 1)
1 κάρτα king μπορεί να ληφθεί από 4 κάρτες king = 4C1= 4 τρόποι (4 επιλέξτε 1)
Ευνοϊκές θήκες = 4 × 4 = 16 τρόποι
P (σχέδιο 1 queen & 1 king card) = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων / Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων = 16/1326 = 8/663
Παράδειγμα: Ποιες είναι οι πιθανότητες να κερδίσετε 4, 5 ή 6 στην πρώτη ρίψη και 1, 2, 3 ή 4 στη δεύτερη ρίψη εάν τα ζάρια ρίχνονται δύο φορές.
Λύση:
Ας P (A) = πιθανότητα να πάρει 4, 5 ή 6 στην πρώτη ρίψη = 3/6 = 1/2
και P (B) = πιθανότητα να πάρει 1, 2, 3 ή 4 στη δεύτερη ρίψη = 4/6 = 2/3
να είναι η πιθανότητα των γεγονότων τότε
Παράδειγμα: Ένα βιβλίο με συνολικό αριθμό 100 σελίδων, εάν κάποια από τις σελίδες έχει επιλεγεί αυθαίρετα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το άθροισμα όλων των ψηφίων του αριθμού σελίδας της επιλεγμένης σελίδας είναι 11.
Λύση: Ο αριθμός των ευνοϊκών τρόπων για να πάρετε 11 θα είναι (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6) ), (6, 5)
Ως εκ τούτου απαιτείται πιθανότητα = 8/100 = 2/25
Παράδειγμα: Ένας κάδος περιέχει 10 λευκά, 6 κόκκινα, 4 μαύρα και 7 μπλε μάρμαρα. 5 μάρμαρα τραβούνται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα ότι 2 από αυτά είναι κόκκινο χρώμα και ένα είναι μαύρο χρώμα;
Λύση:
Σύνολο αρ. μαρμάρων = 10 + 6 + 4 + 7 = 27
5 μάρμαρα μπορούν να αντληθούν από αυτά τα 27 μάρμαρα = 27 επιλέξτε 5 τρόπους
= 27C5=27!/[5!(27-5)!]=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730
Σύνολο αρ. εξαντλητικών γεγονότων = 80730
2 κόκκινα μάρμαρα μπορούν να αντληθούν από 6 κόκκινα μάρμαρα = 6 τρόπους
= 6C2=6!/[2!(6-2)!]=(6*5)/2=15
1 μαύρο μάρμαρο μπορεί να τραβηχτεί από 4 μαύρα μάρμαρα = 4 επιλέξτε 1 τρόπους = 4C1=4
∴ Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων = 15 × 4 = 60
Ως εκ τούτου απαιτείται πιθανότητα = Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων Συνολικός αριθμός εξαντλητικών περιπτώσεων
Συμπέρασμα:
Η καλύτερη θεωρία πιθανότητας είναι πολύ ενδιαφέρουσα και εφαρμόσιμη στην καθημερινή μας ζωή πιθανότητα η θεωρία και τα παραδείγματα μας φαίνονται οικεία, αυτή είναι στην πραγματικότητα μια ολοκληρωμένη θεωρία που χρησιμοποιείται σήμερα σε πολλές τεχνολογίες και εφαρμογές. Αυτό το άρθρο ήταν μόνο μια ματιά στην έννοια της πιθανότητας που τα διαδοχικά άρθρα θα ασχοληθούν με την έννοια της λεπτομέρειας και τα αποτελέσματα της πιθανότητας , για περισσότερες μελέτες, ανατρέξτε στο παρακάτω βιβλίο:
Αναφορά: Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum.
Εάν ενδιαφέρεστε να διαβάσετε άλλα θέματα σχετικά με τα μαθηματικά, δείτε αυτή η σελίδα.
