Διωνυμική τυχαία μεταβλητή | Οι σημαντικές του ιδιότητες

Τυχαία μεταβλητή Binomial & Poisson και οι ιδιότητές της

    Η τυχαία μεταβλητή που ασχολείται με το αποτέλεσμα επιτυχίας και αποτυχίας του τυχαίου πειράματος για επαναλήψεις n ήταν γνωστό ότι ήταν τυχαία μεταβλητή Binomial ο ορισμός της συνάρτησης πιθανότητας μάζας ασχολείται με την πιθανότητα επιτυχίας p και την πιθανότητα αποτυχίας q μόνο, τον ορισμό με παραδείγματα ήδη έχουμε δει, τώρα με την κατανόηση βλέπουμε μερικές από τις ιδιότητες μιας τέτοιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής,

Προσδοκία και διακύμανση της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής

Προσδοκία και Ποικιλία διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής με n επανάληψη και p ως πιθανότητα επιτυχίας

E [X] = np

και Var (X) = np (1-p)

τώρα σκεφτείτε να δείξετε σε αυτά τα δύο την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής ισχύος k ακολουθώντας τον ορισμό της συνάρτησης πιθανότητας μάζας για διωνυμική τυχαία μεταβλητή ως

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

i \ binom {n} {i} = n \ binom {n-1} {i-1}

Διωνυμική τυχαία μεταβλητή
Διωνυμική τυχαία μεταβλητή

όπου Y είναι μια άλλη διωνυμική τυχαία μεταβλητή με δοκιμές n-1 και p ως πιθανότητα επιτυχίας, Αν πάρουμε την τιμή του k = 1 τότε θα πάρουμε

E [X] = np

και αν αντικαταστήσουμε το k = 2 θα πάρουμε

ΠΡΩΗΝ2] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

οπότε θα φτάσουμε εύκολα

Var (X) = E [X2] - (Ε [X])2

= np [(n-1) p + 1] - (np)2

= np (1-p)

Παράδειγμα: Για ένα αμερόληπτο νόμισμα κάντε το πείραμα της ρίψης 100 φορές και για τον αριθμό των ουρών που εμφανίζονται σε αυτήν την περίπτωση βρείτε τη μέση, διακύμανση και την τυπική απόκλιση αυτού του πειράματος.

Η ουρά για ένα πέταγμα έχει την πιθανότητα επιτυχίας p = 1/2 = 0.5

ο μέσος όρος αυτού του πειράματος είναι

E [X] = np

δεδομένου ότι το πείραμα είναι διωνυμικό ως μόνο επιτυχία ή αποτυχία θα λάβουμε για n αριθμό επαναλήψεων

έτσι ως μ = np

μ = 100x (0.5) = 50

Ομοίως, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση θα είναι

Var (X) = np (1-p)

\ sigma ^ {^ {2}} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

Η τιμή θα ήταν

σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25

Παράδειγμα:     Βρείτε τη μέση και τυπική απόκλιση για την πιθανότητα 0.1 ελαττωμάτων στην εταιρεία κατασκευής μπουλονιών από την παρτίδα 400 μπουλονιών.

εδώ n = 400, p = 0.1, μέσος = np = 400 × 0.1 = 40

αφού

\ sigma ^ {2} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

έτσι θα είναι η τυπική απόκλιση

=\sqrt{(400)(0.1)(1-0.1)}=\sqrt{400*0.1*0.9}=20*0.3=6

Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα ακριβώς, λιγότερων και τουλάχιστον 2 επιτυχιών εάν η μέση και τυπική απόκλιση για τη διωνυμική τυχαία μεταβλητή είναι 4 και 2 αντίστοιχα.

Από μέση = np = 4

διακύμανση = np (1-p) = 2,

so 4 (1-p) = 2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

βάζοντας αυτήν την τιμή στο μέσο που έχουμε

np = 4

n (1/2) = 4

n = 8

πιθανότητα να είναι ακριβώς 2 επιτυχίες

P(2)=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{8-2}=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{8}=(\frac{8<em>7}{2})</em>(\frac{1}{256})=\frac{7}{64}

πιθανότητα λιγότερων από 2 επιτυχιών θα είναι

p (Χ <2)

= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256

Πιθανότητα τουλάχιστον 2 επιτυχιών

p (X> 2) = 1- p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Τυχαία μεταβλητή Poisson

    Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X που παίρνει τις τιμές 0,1,2 …… .. είναι γνωστό ότι είναι Poisson Random μεταβλητή που παρέχεται για οποιαδήποτε λ> 0 η συνάρτηση πιθανότητας μάζας πρέπει να είναι

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {^ {- \ lambda}}} {x!} \ space για \ \ all \ \ x = 0,1,2 XNUMX

or

p (i) = P (X = i) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} \ \ για \ \ όλα \ \ x = 0,1,2 .. .

as

\ sum \ حد_ {i = 0} ^ \ infty P (i) = e ^ {- \ lambda} \ άθροισμα \ όρια_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda} = 1

Όταν το n είναι πολύ μεγάλο και η πιθανότητα επιτυχίας το p είναι πολύ μικρό σε αυτή την περίπτωση, η τυχαία μεταβλητή Poisson με τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας έγινε η προσέγγιση της διωνυμικής τυχαίας διακύμανσης με το αντίστοιχο pmf, επειδή η προσδοκία στην περίπτωση αυτή που είναι np θα είναι μέτρια και αυτό θα να λ = np .

Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σφάλμα πληκτρολόγησης σε κάθε σελίδα του βιβλίου που έχει διανομή Poisson με μέση τιμή 1/2 για μία μόνο σελίδα.

Αφήστε τη διακριτή τυχαία μεταβλητή X να υποδηλώσει τα λάθη στη σελίδα. έτσι η τυχαία μεταβλητή Poisson έχει τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας ως

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ όπου \ \ x = 0,1,2,…

\ lambda = \ frac {1} {2}

p(X\geqslant 0)=1-p(X=0)=1-\frac{\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}=1-e^-\frac{1}{2}=0.3934

p (X \ leq 1) = p (X = 0) + p (X = 1) = \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {0!} + \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {1!} = E ^ {^ {- 1}} + e ^ {^ {- 1}} = 0.7358

Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα ότι το δείγμα 10 αντικειμένων που παράγονται από μια μηχανή με 0.1 πιθανότητες ελαττωματικής παραγωγής έχει το πολύ ένα ελαττωματικό στοιχείο.

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ όπου \ \ x = 0,1,2….

Αυτό μπορούμε να λύσουμε τόσο με συνάρτηση μάζας δυαδικής πιθανότητας όσο και με συνάρτηση μάζας πιθανότητας Poisson, οπότε το επιλύουμε με Poisson

Προσδοκία και διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Poisson

Προσδοκία και διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Poisson με n επανάληψη και p ως πιθανότητα επιτυχίας

E [X] = np = λ

         

Var (X) = np = λ

Πριν δείξουμε το αποτέλεσμα, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι η τυχαία μεταβλητή Poisson δεν είναι παρά η προσέγγιση της τυχαίας μεταβλητής Binomial έτσι np = λ τώρα η προσδοκία χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας θα είναι

E [X] = \ sum \ limit_ {i = 0} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X] = \ lambda \ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)!}

E [X] = \ lambda {e ^ {- \ lambda}} \ jumlah \ όρια_ {j = 0} ^ \ infty i \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} \ \ Με \ \ αφήνοντας \ \ j = i-1

E [X] = \ lambda \ \ since \ \ \ sum \ limit_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} = E ^ {\ lambda}

Αυτό σημαίνει ότι η μαθηματική αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Poisson είναι ίση με την παράμετρο της, παρόμοια για τον υπολογισμό της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής Poisson, απαιτούμε προσδοκία του τετραγώνου του X,

E [X ^ {2}] = \ άθροισμα \ όρια_ {i = 0} ^ \ infty i ^ {2} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)! }

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limit_ {j = 0} ^ \ infty (j + 1) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} \ \ by \ \ letting \ \ j = i-1

E [X ^ {2}] = \ lambda [\ sum \ limit_ {j = 0} ^ \ infty (j) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} + \ άθροισμα \ limit_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!}]

E [X ^ {2}] = \ λάμδα (\ λάμδα +1)

Το παραπάνω άθροισμα είναι προφανές, καθώς δύο από τα αθροίσματα είναι προσδοκία και άθροισμα των πιθανοτήτων.

Έτσι, η αξία της διακύμανσης που θα πάρουμε είναι

Var (X) = E [X2] - (Ε [X])2

= λ

έτσι στην περίπτωση τυχαίας μεταβλητής Poisson η μέση τιμή και η διακύμανση έχουν την ίδια τιμή, δηλαδή np ως παράμετρο.

Η Τυχαία μεταβλητή Poisson είναι καλή προσέγγιση για την εύρεση διαφορετικών διαδικασιών π.χ. εύρεση του αριθμού σεισμών εντός συγκεκριμένης χρονικής διάρκειας, εύρεση του αριθμού ηλεκτρονίων κατά τη διάρκεια ενός καθορισμένου χρόνου από τη θερμαινόμενη κάθοδο, εύρεση του πιθανού αριθμού θανάτων κατά τη διάρκεια καθορισμένου χρόνου ή αριθμού πολέμων εντός συγκεκριμένου έτους κ.λπ.

Παράδειγμα : Υπολογίστε την πιθανότητα ότι ο συνολικός αριθμός επιβατών σε δύο ημέρες είναι μικρότερος από 2. Εάν ο αριθμός άφιξης επιβατών με μέση τιμή 5 ακολουθεί την τυχαία μεταβλητή Poisson. μέση = np = 5

P (r) = \ frac {e ^ {- 5} {(5) ^ {r}}} {r!}

Αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό επιβατών σε δύο ημέρες μικρότερο από 2 θα ήταν

Πρώτη μέραΔεύτερη μέραΣυνολικά
000
011
101

έτσι η πιθανότητα θα είναι ο συνδυασμός αυτών των δύο ημερών ως

P(X< 2)= P(0)P(0)+P(0)P(1)+P(1)P(0)

=\frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}+ \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}} + \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}

= e ^ {- 5} .e ^ {- 5} + e ^ {- 5}. ε ^ {- 5} .5+ ε ^ {- 5} .5. ε ^ {- 5}

= e ^ {- 10} [1 + 5 + 5]

= 11ε ^ {- 10}

= 11 4.54 10 ^ {- 5}

= 4.994 * 10 ^ {- 4}

Παράδειγμα: Υπολογίστε την πιθανότητα 4 ή περισσότερων ελαττωματικών συμπυκνωτών από ένα πακέτο 100 συμπυκνωτών, υπό την προϋπόθεση ότι το ελάττωμα κατασκευής για τους συμπυκνωτές είναι 1%.

Εδώ p = 1% = 0.01 και n = 100 * 0.01 = 1

έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας τυχαίων μεταβλητών Poisson PMF

μέση = np = 100 * 0.01 = 1

P (r) = \ frac {e ^ {- 1} (1) ^ {r}} {r!} = \ Frac {e ^ {- 1}} {r!}

Επομένως, η πιθανότητα για 4 ή περισσότερους ελαττωματικούς συμπυκνωτές θα είναι

p (X \ geq 4) = 1-p (X <4)

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

=1-[\frac{e^{-1}}{0!} + \frac{e^{-1}}{1!} + \frac{e^{-1}}{2!} + \frac{e^{-1}}{3!}] =1- e^{-1} [1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6}]=1-\frac{8}{3e}=1-0.981=0.019

Παράδειγμα: Εάν υπάρχουν 0.002 πιθανότητες για ένα προϊόν να είναι ελαττωματικό από την κατασκευή, για μια συσκευασία που περιέχει 10 από αυτά τα προϊόντα ποια θα ήταν η πιθανότητα ότι ένα τέτοιο πακέτο δεν έχει ελαττωματικό, ένα ελαττωματικό και δύο ελαττωματικά προϊόντα από την αποστολή 50000 πακέτα του ίδιου προϊόντος.

Εδώ για ένα πακέτο πιθανότητα ελαττώματος, δηλαδή p = 0.002, n = 10

τότε το μέσο np = 0.002 * 10 = 0.020

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ όπου \ \ x = 0,1,2 ..

θα βρούμε για κάθε περίπτωση ως

διωνυμική τυχαία μεταβλητή
Διωνυμική τυχαία μεταβλητή: Παράδειγμα

Έτσι, από τον πίνακα είναι σαφές ότι ο αριθμός των ελαττωματικών λεπίδων στα πακέτα μηδέν, ένα και δύο θα είναι 4900,980,10 αντίστοιχα.

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο συζητήσαμε ορισμένες ιδιότητες ενός Διωνυμική τυχαία μεταβλητή, Τυχαία μεταβλητή Poisson και τυχαίο πείραμα. Επίσης μία ακόμη διακριτή τυχαία μεταβλητή, δηλαδή Poisson, τυχαία μεταβλητή, που συζητήθηκε με ιδιότητες. Το παράδειγμα κατανομής για τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας, την προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση χρησιμοποιήθηκε επίσης για καλύτερη κατανόηση. Στα επόμενα άρθρα προσπαθούμε να καλύψουμε μερικές πιο διακριτές τυχαίες μεταβλητές, αν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, στη συνέχεια Σελίδα μαθηματικών.

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks