Ακτίνα Cantilever | Είναι πλήρης επισκόπηση και ερωτήσεις και απαντήσεις

Περιεχόμενα: Cantilever Beam

  • Ορισμός ακτίνων Cantilever
  • Διάγραμμα σώματος χωρίς καντίλιβερ
  • Όρια ακτίνων Cantilever
  • Προσδιορίστε την εσωτερική διάτμηση και τη ροπή κάμψης στην προεξοχή με συνάρτηση του x
  • Εύρεση δύναμης διάτμησης και ροπής κάμψης που λειτουργεί σε απόσταση 2 m από το ελεύθερο άκρο σε μια ακτίνα Cantilever με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο (UDL)
  • Η εξίσωση της καμπύλης εκτροπής για δοκό προβόλου με ομοιόμορφη κατανεμημένη φόρτωση
  • Ακαμψία και δονήσεις ακτίνων Cantilever
  • Κάμψη δέσμης κυλίνδρου λόγω της καθαρής ροπής κάμψης που προκαλεί Bending Stress
  • Εύρεση εύκαμπτου άγχους Cantilever λόγω του ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου (UDL)
  • Ερώτηση και απάντηση στη δοκό Cantilever

Ορισμός ακτίνων Cantilever

«Ένας πρόβολος είναι ένα άκαμπτο δομικό στοιχείο που εκτείνεται οριζόντια και υποστηρίζεται μόνο σε ένα άκρο. Συνήθως, εκτείνεται από μια επίπεδη κατακόρυφη επιφάνεια όπως ένας τοίχος, στην οποία πρέπει να είναι σταθερά συνδεδεμένη. Όπως και άλλα δομικά στοιχεία, ένα πρόβολο μπορεί να διαμορφωθεί ως δοκός, πλάκα, δοκό ή πλάκα. "

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

Μια ακτίνα προβόλου είναι μια δέσμη της οποίας το ένα άκρο είναι σταθερό και ένα άλλο άκρο είναι δωρεάν. Το σταθερό στήριγμα αποτρέπει τη μετατόπιση και την περιστροφική κίνηση της δέσμης σε αυτό το άκρο. Η ακτίνα Cantilever επιτρέπει τη δυνατότητα προεξοχής χωρίς επιπλέον υποστήριξη. Όταν το φορτίο εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο της δέσμης, ο προβολέας μεταδίδει αυτό το φορτίο στο στήριγμα όπου εφαρμόζει τη δύναμη διάτμησης [V] και τη ροπή κάμψης [BM] στο σταθερό άκρο.

Διάγραμμα σώματος χωρίς ακτίνα Cantilever

Σκεφτείτε μια δοκό προβόλου με σημειακό φορτίο που λειτουργεί στο ελεύθερο άκρο της δέσμης.

Εικ. 1 ακτίνα καντίνας με σημείο φορτίου W

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για την ακτίνα προβόλου σχεδιάζεται παρακάτω:

Διάγραμμα ελεύθερου σώματος

Όροι δέσμης πορείας

Οι δυνάμεις αντίδρασης και η ροπή στο Α μπορούν να υπολογιστούν εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας του

\ άθροισμα F_y = 0, \ άθροισμα F_x = 0, \ άθροισμα M_A = 0

Για οριζόντια ισορροπία

\ άθροισμα F_x = 0
R_ {HA} = 0

Για κάθετη ισορροπία

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_ {VA} -W = 0 \\ R_ {VA} = W

Η λήψη της στιγμής για το Α, η ροή προς τα δεξιά είναι η στιγμή και η αντίθετη φορά προς τα δεξιά θεωρείται ως αρνητική

WL-M_A = 0
M_A = WL

Προσδιορίστε την εσωτερική διάτμηση και τη ροπή κάμψης στην προεξοχή με συνάρτηση του x

Εξετάστε τη δοκό Cantilever με ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Δοκός Cantilever με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο
Cantilever Beam με UDL

Το προκύπτον φορτίο που ενεργεί στο Beam Due to UDL μπορεί να δοθεί από

W = Περιοχή ορθογωνίου

Π = Λ * β

W = wL

Το Equivalent Point Load wL θα ενεργεί στο κέντρο της δέσμης. δηλαδή, στο L / 2

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος της δέσμης γίνεται

Η τιμή της αντίδρασης στο Α μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας

\ άθροισμα F_y = 0, \ άθροισμα F_x = 0, \ άθροισμα M_A = 0

Για οριζόντια ισορροπία

\ άθροισμα F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Για κάθετη ισορροπία

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = wL

Η λήψη της στιγμής για το Α, η ροή προς τα δεξιά είναι η στιγμή και η αντίθετη φορά προς τα δεξιά θεωρείται ως αρνητική

wL * \ frac {L} {2} -M_A = 0 \\ M_A = \ frac {wL ^ 2} {2}

Αφήστε το XX να είναι το τμήμα ενδιαφέροντος σε απόσταση x από ένα δωρεάν άκρο

Σύμφωνα με τη σύμβαση Sign που συζητήθηκε νωρίτερα, εάν αρχίσουμε να υπολογίζουμε Shear Force από το Αριστερή πλευρά ή το αριστερό άκρο της δοκού, Ανοδική δύναμη δράσης λαμβάνεται ως Θετικός, Δύναμη που ενεργεί προς τα κάτω λαμβάνεται ως Αρνητικός.

Η διατμητική δύναμη στο Α είναι 

S.F_A = R_ {VA} = wL

στην περιοχή XX είναι

S.F_x = R_ {VA} -w [Lx] \\ S.F_x = wL-wL + wx = wx

Η διατμητική δύναμη στο Β είναι

SF = R_ {VA} -wL \\ S.F_B = wL-wL = 0

Οι τιμές διατμητικής δύναμης στα Α και Β δηλώνουν ότι η δύναμη διάτμησης μεταβάλλεται γραμμικά από σταθερό άκρο σε ελεύθερο άκρο.

Για το BMD, εάν αρχίσουμε να υπολογίζουμε το Bending Moment από το Αριστερή πλευρά ή το αριστερό άκρο της δοκού, Δεξιόστροφη στιγμή λαμβάνεται ως Θετικός Αντίθετα προς τα δεξιά λαμβάνεται ως Αρνητικός.

BM στο Α

B.M_A = M_A = \ frac {wL ^ 2} {2}

ΒΜ στο Χ

B.M_x = M_A-w [Lx] \\ B.M_x = \ frac {wL ^ 2} {2} - \ frac {w (Lx) ^ 2} {2}
\\ B.M_x = wx (L- \ frac {x} {2})

ΒΜ στο Β

B.M_B = M_A- \ frac {wL ^ 2} {2}
\\B.M_B=\frac{wL^2}{2}-\frac{wL^2}{2}=0
SFD και BMD

Εύρεση δύναμης διάτμησης και ροπής κάμψης που λειτουργεί σε απόσταση 2 m από το ελεύθερο άκρο σε μια ακτίνα Cantilever με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο (UDL)

Εξετάστε τη δοκό Cantilever με ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. w = 20 N / m μόνο. L = 10 m, x = 2 m

Το προκύπτον φορτίο που ενεργεί στο Beam Due to UDL μπορεί να δοθεί από

W = Περιοχή ορθογωνίου

W = 20 * 10

W = 200 Β

Το Equivalent Point Load wL θα ενεργεί στο κέντρο της δέσμης. δηλαδή, στο L / 2

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος της δέσμης γίνεται,

Η τιμή της αντίδρασης στο Α μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας

\ άθροισμα F_y = 0, \ άθροισμα F_x = 0, \ άθροισμα M_A = 0

Για οριζόντια ισορροπία

\ άθροισμα F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Για κάθετη ισορροπία

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = 200 Ν

Η λήψη της στιγμής για το Α, η ροή προς τα δεξιά είναι η στιγμή και η αντίθετη φορά προς τα δεξιά θεωρείται ως αρνητική

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Αφήστε το XX να είναι το τμήμα ενδιαφέροντος σε απόσταση x από ένα δωρεάν άκρο

Σύμφωνα με τη σύμβαση Sign που συζητήθηκε νωρίτερα, εάν αρχίσουμε να υπολογίζουμε Shear Force από το Αριστερή πλευρά ή το αριστερό άκρο της δοκού, Ανοδική δύναμη δράσης λαμβάνεται ως Θετικός, Δύναμη που ενεργεί προς τα κάτω λαμβάνεται ως Αρνητικός.

Η διατμητική δύναμη στο Α είναι 

S.F_A = R_ {VA} = wL \\ S.F_A = 200 Β

στην περιοχή XX είναι

S.F_x = R_ {VA} -w [Lx] \\ S.F_x = wL-wL + wx = wx

για x = 2 m

\\ S.F_x = wx = 20 * 2 = 40 \; Ν

Η διατμητική δύναμη στο Β είναι

SF = R_ {VA} -wL \\ S.F_B = wL-wL = 0

Οι τιμές διατμητικής δύναμης στα Α και Β δηλώνουν ότι η δύναμη διάτμησης μεταβάλλεται γραμμικά από σταθερό άκρο σε ελεύθερο άκρο.

Για το BMD, εάν αρχίσουμε να υπολογίζουμε το Bending Moment από το Αριστερή πλευρά ή το αριστερό άκρο της δοκού, Δεξιόστροφη στιγμή λαμβάνεται ως Θετικός Αντίθετα προς τα δεξιά λαμβάνεται ως Αρνητικός.

BM στο Α

B.M_A = Μ_Α
B.M_A = 1000 \; Nm

ΒΜ στο Χ

B.M_x = M_A-w [Lx]

\\B.M_x=\frac{wL^2}{2}-\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\frac{x}{2}]
\\B.M_x=20*2*[10-\frac{2}{2}]=360\;N.m

ΒΜ στο Β

B.M_B=M_A-\frac{wL^2}{2}=1000-\frac{20*10^2}{2}=0

Η εξίσωση της καμπύλης εκτροπής για δοκό προβόλου με ομοιόμορφη κατανεμημένη φόρτωση

Εξετάστε την ακτίνα Cantilever μήκους L που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Θα εξάγουμε την εξίσωση για κλίση και εκτροπή για αυτήν τη δέσμη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διπλής ολοκλήρωσης.

Η ροπή κάμψης που ενεργεί στην απόσταση x από το αριστερό άκρο μπορεί να ληφθεί ως:

M = -wx * \ frac {x} {2}

Χρησιμοποιώντας τη διαφορική εξίσωση της καμπύλης,

\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = M = \ frac {-wx ^ 2} {2}

Ενσωμάτωση μόλις φτάσουμε,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + C_1 ……… .. [1]

Ενσωματώνοντας την εξίσωση [1],

EIy= \frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Οι σταθερές των ενσωματώσεων μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορίου,

Στο x = L, dy / dx = 0; αφού η υποστήριξη στο Α αντιστέκεται σε κινήσεις. Έτσι, από την εξίσωση [1], παίρνουμε,

C_1 = \ frac {wL ^ 3} {6}

Στο x = L, y = 0, Χωρίς παραμόρφωση στο στήριγμα ή στο σταθερό άκρο A Έτσι, από την εξίσωση [2], παίρνουμε,

0= \frac{-wL^4}{24}+\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2 = \ frac {-wL ^ 4} {8}

Αντικαθιστώντας την τιμή της σταθεράς στα [1] και [2] λαμβάνουμε νέα σύνολα εξίσωσης ως

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}……..[4]

Αξιολογήστε την κλίση στα x = 12 m και τη μέγιστη απόκλιση από δεδομένα δεδομένα: I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Από τις παραπάνω εξισώσεις: σε x = 12 m,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + \ frac {wL ^ 3} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-20*12^3}{6}+\frac{20*20^3}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.01378 \; ακτίνια

Από την εξίσωση [4]

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \frac{-20*12^4}{24}+\frac{20*20^3}{6} -\frac{20*20^4}{8}
y = -0.064 \; m

Ακτίνα προβόλου Ακαμψία και δόνηση

Η ακαμψία μπορεί να οριστεί ως η αντίσταση στην κάμψη κάμψης ή παραμόρφωση στη ροπή κάμψης. Η αναλογία του μέγιστου φορτίου που εφαρμόζεται στη μέγιστη εκτροπή μιας δέσμης μπορεί να ονομαστεί ακαμψία της δέσμης.

Για ακτίνα προβόλου με δύναμη W στο ελεύθερο άκρο, η μέγιστη παραμόρφωση δίνεται από

δ = \ frac {WL ^ 3} {3EI}

Όπου W = εφαρμοζόμενο φορτίο, L = μήκος δέσμης, E = συντελεστής νεαρού, I = η δεύτερη ροπή αδράνειας

Η δυσκαμψία δίνεται από,

k = W / δ \\ k = W / \ frac {WL ^ 3} {3EI}

\\ k = \ frac {3EI} {L ^ 3} 

Η φυσική συχνότητα μπορεί να οριστεί ως η συχνότητα με την οποία ένα σύστημα τείνει να δονείται ελλείψει δύναμης οδήγησης ή αντίστασης.

ω_n = \ sqrt {k / m} \\ ω_n = \ sqrt {\ frac {3EI} {L ^ 3m}}

Όπου m = μάζα της δέσμης.

Κάμψη δέσμης κυλίνδρου λόγω καθαρής κάμψης Στιγμή που προκαλεί στρες κάμψης

Όταν ένα μέλος υπόκειται σε ίσα και αντίθετα ζευγάρια στο επίπεδο του μέλους, ορίζεται ως καθαρή κάμψη. Σε καθαρή κάμψη Η δύναμη διάτμησης που ενεργεί στη δέσμη είναι μηδέν.

Παραδοχές: Το υλικό είναι ομοιογενές

Ισχύει ο νόμος του Hook

Το μέλος είναι πρισματικό

Ένα ζευγάρι εφαρμόζεται στο επίπεδο του μέλους

Δεν γίνεται στρέβλωση της διατομής της δέσμης μετά την κάμψη

Το προφίλ καταπόνησης πρέπει να είναι γραμμικό από τον ουδέτερο άξονα

Η κατανομή τάσης είναι γραμμική από τον ουδέτερο άξονα προς τις άνω και κάτω ίνες της δέσμης.

Η εξίσωση του Euler-Bernoulli για Bending Moment δίνεται από

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma_b} {y} = \ frac {E} {R}

M = Εφαρμοσμένη ροπή κάμψης πάνω από τη διατομή της δοκού.

I = Δεύτερη στιγμή της αδράνειας

σ = Κάμψη που προκαλείται από το μέλος

y = Κάθετη απόσταση μεταξύ του ουδέτερου άξονα της δέσμης και της επιθυμητής ίνας ή στοιχείου σε mm

Ε = Συντελεστής Young σε MPa

R = Ακτίνα καμπυλότητας σε mm

Στρες κάμψης για δοκό προβόλου με διάμετρο d, και το εφαρμοζόμενο φορτίο W μπορεί να δοθεί ως,

Το Bending Stress θα ενεργεί στη σταθερή στήριξη της δέσμης

Η στιγμή εφαρμόστηκε M = WL

Δεύτερη στιγμή της αδράνειας

I = \ frac {\ pi} {64} δ ^ 4

Η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ του ουδέτερου άξονα της δέσμης και της επιθυμητής ίνας ή στοιχείου

y = d / 2

Το Bending Stress δίνεται ως

σ = \ frac {My} {I}
\\ σ = \ frac {32WL} {\ pi d ^ 3}

Εύρεση εύκαμπτου στρες που λειτουργεί σε ακτίνα Cantilever με ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο (UDL)

Εξετάστε μια ακτίνα Cantilever με ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Οι δυνάμεις αντίδρασης και η ροπή στο Α μπορούν να υπολογιστούν εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας του

\ άθροισμα F_y = 0, \ άθροισμα F_x = 0, \ άθροισμα M_A = 0

Για οριζόντια ισορροπία

\ άθροισμα F_x = 0 \\ R_ {HA} = 0

Για κάθετη ισορροπία

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_ {VA} -wL = 0 \\ R_ {VA} = 200 Ν

Η λήψη της στιγμής για το Α, η ροή προς τα δεξιά είναι η στιγμή και η αντίθετη φορά προς τα δεξιά θεωρείται ως αρνητική

200*\frac{10}{2}-M_A=0
\\M_A=1000 \;N-m

Κάμψη στρες

σ = \ frac {My} {I}
σ=\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ = 3.238 \; MPa

Ερώτηση και απάντηση στη δοκό Cantilever

Ερ.1 Ποια είναι η αναλογία του Μέγιστου φορτίου που εφαρμόζεται στη μέγιστη εκτροπή μιας δέσμης που ονομάζεται;

Απ .: Η ακαμψία μπορεί να οριστεί ως η αντίσταση στην κάμψη κάμψης ή παραμόρφωση στη ροπή κάμψης. Η αναλογία του μέγιστου φορτίου που εφαρμόζεται στη μέγιστη εκτροπή μιας δέσμης μπορεί να ονομαστεί ακαμψία της δέσμης.

Ε.2. Ορίστε μια δοκό προβόλου;

Απ .: Μια ακτίνα προβόλου είναι μια δέσμη της οποίας το ένα άκρο είναι σταθερό και το άλλο άκρο είναι δωρεάν. Το σταθερό στήριγμα αποτρέπει τη μετατόπιση και την περιστροφική κίνηση της δέσμης σε αυτό το άκρο. Η ακτίνα Cantilever επιτρέπει τη δυνατότητα προεξοχής χωρίς επιπλέον υποστήριξη. Όταν το φορτίο εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο της δέσμης, ο προβολέας μεταδίδει αυτό το φορτίο στο στήριγμα όπου εφαρμόζει τη δύναμη διάτμησης [V] και τη ροπή κάμψης [BM] προς το σταθερό άκρο.

Ε.3 Μια ακτίνα προβόλου υποβάλλεται σε ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο σε όλο το μήκος της δέσμης, ποιο θα είναι το σχήμα του διαγράμματος Δύναμης Διάτμησης και Στιγμής Κάμψης;

Απ .: Για μια ακτίνα προβόλου που υπόκειται σε ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο σε όλο το μήκος της δέσμης, το σχήμα του διαγράμματος δύναμης διάτμησης θα είναι γραμμική καμπύλη και το διάγραμμα ροπής ροπής θα είναι παραβολική καμπύλη.

Ε.4 Ένας προβολέας υπόκειται σε ομοιόμορφο μεταβαλλόμενο φορτίο σε όλο το μήκος της δέσμης ξεκινώντας από το μηδέν από ένα ελεύθερο άκρο, ποιο θα είναι το σχήμα του διαγράμματος Shear Force και Bending Moment;

Απ .: Για μια ακτίνα προβόλου που υπόκειται σε ομοιόμορφο μεταβαλλόμενο φορτίο σε όλο το μήκος της δέσμης, το σχήμα του διαγράμματος δύναμης διάτμησης θα είναι παραβολική καμπύλη και το διάγραμμα ροπής κάμψης θα είναι καμπύλη καμπύλης ή τρίτου βαθμού.

Ε.5 Πού δρουν η ένταση και η συμπίεση κατά την κάμψη των δοκών προβόλου;

Ans: Για μια ακτίνα προβόλου ενός δεδομένου εύρους, η μέγιστη τάση κάμψης θα είναι στο σταθερό άκρο της δέσμης. Για καθοδικό καθαρό φορτίο, η μέγιστη εφελκυστική τάση κάμψης ενεργοποιείται στην κορυφή της διατομής και η μέγιστη πίεση συμπίεσης δρα στην κάτω ίνα της δέσμης.

Ε.6 Ένας προβολέας υποβάλλεται σε Στιγμή (Μ) σε όλο το μήκος της δέσμης, ποια θα είναι η δύναμη διάτμησης και η ροπή κάμψης;

Απ .: Για μια ακτίνα προβόλου υπόκειται σε στιγμή M σε όλο το μήκος της δέσμης, η δύναμη διάτμησης θα είναι μηδενική, καθώς καμία εξωτερική δύναμη κάμψης δεν θα ενεργεί στη δέσμη και η ροπή κάμψης θα παραμείνει σταθερή για ολόκληρο το μήκος της δέσμης.

Για να μάθετε για την αντοχή του υλικού (Κάνε κλικ εδώ)και διάγραμμα ροπής ροπής Περισσότερα

Σχετικά με τον Hakimuddin Bawangaonwala

Είμαι ο Hakimuddin Bawangaonwala, Μηχανολόγος Μηχανικός Σχεδιασμού με Εξειδίκευση στη Μηχανική Σχεδίαση και Ανάπτυξη. Έχω ολοκληρώσει το M. Tech στη Μηχανική Σχεδιασμού και έχει 2.5 χρόνια Ερευνητικής Εμπειρίας Μέχρι τώρα δημοσίευσε δύο ερευνητικές εργασίες σχετικά με τη σκληρή στροφή και την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων θερμαντικών εξαρτημάτων. Η περιοχή που μου ενδιαφέρει είναι η σχεδίαση μηχανών, η αντοχή του υλικού, η μεταφορά θερμότητας, η θερμική μηχανική κ.λπ. Έμπειρος στο λογισμικό CATIA και ANSYS για CAD και CAE Εκτός από την έρευνα.
Συνδεθείτε στο LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/hakimuddin-bawangaonwala

Αφήστε ένα σχόλιο

Η διεύθυνση email σας δεν θα δημοσιευθεί. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται *

Lambda Geeks