Ένας πλήρης οδηγός για τα χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας, αυτό το άρθρο θα συζητήσει την έννοια της γραφικής παρουσίασης των συναρτήσεων εκτός από την τιμή μιας μεταβλητής που υπάρχει σε μια συνάρτηση. Για να κατανοήσουν οι αναγνώστες εύκολα τη μεθοδολογία.

Ποιο γράφημα αντιπροσωπεύει τις συναρτήσεις f (X) = | x-2 | - 1;

Μια ματιά στην έκφραση της δεξιάς πλευράς μας κάνει να αναρωτιόμαστε, ποιες είναι αυτές οι δύο μπάρες γύρω στο -2; Λοιπόν, αυτές οι γραμμές είναι η σημείωση για μια πολύ ειδική συνάρτηση στα μαθηματικά, γνωστή ως συνάρτηση συντελεστή ή συνάρτηση απόλυτης τιμής Αυτή η λειτουργία είναι τόσο σημαντική θεωρία λειτουργίας ότι αξίζει λίγα λόγια για την προέλευσή του.

Ας πούμε ότι πρέπει να αποφασίσουμε τον χρόνο που απαιτείται για τη μετάβαση από τη μια πόλη στην άλλη. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα ενδιαφερόμαστε μόνο για την απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων; Θα έχει σημασία η κατεύθυνση; Ομοίως, στη μελέτη του λογισμού, συχνά απαιτείται να αναλύσουμε την εγγύτητα δύο αριθμών, που είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Δεν με νοιάζει αν η διαφορά είναι θετική ή αρνητική. Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass ήταν αυτός που συνειδητοποίησε την αναγκαιότητα μιας συνάρτησης που θα εκφράζει την απόλυτη τιμή ενός αριθμού. Το έτος 1841, ο Weierstrass καθόρισε τη συνάρτηση Modulus και χρησιμοποίησε τις δύο ράβδους ως σύμβολο της. 

f (x) = x για όλα τα x> 0

= -x για όλα τα x <0

= 0 για x = 0

Συντομογραφείται ως f (x) = | x |

Από τον ορισμό, είναι σαφές ότι αυτή η συνάρτηση δεν επηρεάζει θετικό αριθμό. Αλλάζει όμως έναν αρνητικό αριθμό σε έναν θετικό αριθμό με την ίδια απόλυτη τιμή. Ως εκ τούτου

| 5 | = 5

 7-2 = 5

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Για να σχεδιάσετε το γράφημα του | x |, πρέπει να ξεκινήσουμε με το γράφημα του f (x) = x που απλά είναι μια ευθεία γραμμή μέσω της προέλευσης, κεκλιμένη στις 45 μοίρες προς τη θετική πλευρά του άξονα X

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας:  Θεωρία λειτουργίας: f (x) = x

Μπορούμε να πούμε ότι το άνω μισό αυτού του γραφήματος θα διατηρηθεί με f (x) = | x | καθώς αυτή η συνάρτηση δεν αλλάζει θετικούς αριθμούς. Το κάτω μισό του γραφήματος, ωστόσο, πρέπει να αλλάξει πλευρά, επειδή | x | πρέπει πάντα να είναι θετική. Έτσι, όλα τα σημεία στο κάτω μισό του f (x) = x θα αντικατασταθούν τώρα στο πάνω μισό, διατηρώντας την ίδια απόσταση από τον άξονα X. Με άλλα λόγια, το σύνολο ΑΡΙΣΤΕΡΟ ΜΙΣΟ f (x) = | x | ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ Η ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΤΟΥ ΧΑΜΗΛΟΥ ΜΑΛΟΥΣ του f (x) = x περί του άξονα X

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας
Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Θεωρία λειτουργίας: | x | και γραφήματα x

Στο παραπάνω σχήμα, το δεξί μισό δείχνει τα γραφήματα του | x | και x υπέρθεση, ενώ το αριστερό μισό δείχνει ένα ως αντανάκλαση του άλλου. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή η τεχνική μπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε λειτουργία. Με άλλα λόγια, είναι εύκολο να φανταστεί κανείς το γράφημα του | f (x) | αν γνωρίζουμε ήδη το γράφημα του f (x). Η αντικατάσταση του κάτω μισού με την αντανάκλαση του για τον άξονα X είναι το κλειδί.

Τώρα ξέρουμε πώς να σχεδιάσουμε | x |. Αλλά το αρχικό μας πρόβλημα απαιτεί την πλοκή του | x-2 |. Λοιπόν, αυτό δεν είναι παρά μια μετατόπιση προέλευσης από (0,0) σε (2,0), καθώς απλώς μειώνει την ένδειξη X όλων των σημείων κατά 2 μονάδες, μετατρέποντας έτσι το f (x) σε f (x-2).

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας:  Θεωρία λειτουργίας: | x | και | x-2 |

Τώρα το -1 είναι το μόνο υπόλοιπο που πρέπει να ληφθεί μέριμνα. Σημαίνει αφαίρεση 1 από όλα τα σημεία στο | x-2 |. Με άλλα λόγια, σημαίνει να τραβάτε το γράφημα κάθετα προς τα κάτω κατά 1 μονάδα. Έτσι, η νέα κορυφή θα ήταν (2, -1) αντί (2,0)

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Θεωρία λειτουργίας: | x-2 | - 1

Ποιο γράφημα αντιπροσωπεύει τις συναρτήσεις f (X) = - | x-2 | - 1;

Λοιπόν, αυτό θα ήταν αρκετά εύκολο μετά την ανάλυση που κάναμε μόλις. Η μόνη διαφορά εδώ είναι ένα σύμβολο μείον πριν από | x-2 |. Το σύμβολο μείον αντιστρέφει απλώς το γράφημα του | x-2 | σε σχέση με τον άξονα Χ. Έτσι, μπορούμε να επανεκκινήσουμε το προηγούμενο πρόβλημα αμέσως μετά το σημείο όπου είχαμε το γράφημα του | x-2 |. Όμως, αυτή τη φορά πριν εξετάσουμε το -1, θα αντιστρέψουμε το γράφημα.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Γράφημα του | x-2 | και - | x-2 |

Μετά από αυτό, θα το σύρουμε προς τα κάτω κατά μία μονάδα για να ενσωματώσουμε το -1. Και έγινε.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας

Το γράφημα μιας συνάρτησης πρέπει να είναι γραμμικό εάν έχει ποιο χαρακτηριστικό;

Τι είναι η ευθεία γραμμή; Κανονικά ορίζεται ως η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επίπεδη επιφάνεια. Αλλά μπορεί επίσης να οριστεί από άλλη γωνία. Δεδομένου ότι το επίπεδο XY είναι μια συλλογή σημείων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οποιαδήποτε γραμμή σε αυτό το επίπεδο είναι η θέση ή το ίχνος ενός κινούμενου σημείου ή ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες X, Y αλλάζουν.

Η κίνηση σε ευθεία γραμμή συνεπάγεται ότι η κίνηση συμβαίνει χωρίς αλλαγή κατεύθυνσης. Με άλλα λόγια, εάν ένα σημείο αρχίζει να κινείται από ένα δεδομένο σημείο και κινείται μόνο σε μια δεδομένη κατεύθυνση, τότε λέγεται ότι ακολουθεί μια ευθεία γραμμή. Επομένως, εάν θέλουμε να εκφράσουμε το γραμμικό γράφημα ως συνάρτηση, τότε πρέπει να βρούμε μια εξίσωση για τη σταθερή κατάσταση κατεύθυνσης.

Αλλά πώς να εκφράσω μαθηματικά την κατεύθυνση; Λοιπόν, καθώς έχουμε ήδη δύο άξονες αναφοράς στο επίπεδο XY, μια κατεύθυνση μιας γραμμής μπορεί να εκφράζεται από τη γωνία που κάνει με οποιονδήποτε από τους δύο άξονες. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι μια ευθεία γραμμή έχει κλίση υπό γωνία α. Αλλά αυτό θα σήμαινε μια οικογένεια παράλληλων γραμμών και όχι μόνο μία. Έτσι, το α δεν μπορεί να είναι η μόνη παράμετρος μιας γραμμής.

Χαρακτηριστικά γραφημάτων λειτουργίας: Οικογένεια γραμμών με κλίση 45 μοιρών

Σημειώστε ότι οι γραμμές διαφέρουν μόνο στην τομή Y. Η τομή Y είναι η απόσταση από την αρχή του σημείου όπου η γραμμή συναντά τον άξονα Υ. Ας καλέσουμε αυτήν την παράμετρο, Γ. Έτσι, έχουμε δύο παραμέτρους, α και C. Τώρα, ας προσπαθήσουμε να αντλήσουμε την εξίσωση της γραμμής.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Έντονη μορφή ευθειών γραμμών

Από το σχήμα πρέπει να είναι σαφές από το δεξί τρίγωνο, ότι για οποιοδήποτε σημείο (x, y) στη γραμμή πρέπει να                      

(yc) / x = tanα.

⟹ y = xtanα + c

⟹y = mx + c όπου m = tana

Ως εκ τούτου, οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής y = ax + b πρέπει να αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια f (x) = ax + b είναι η επιθυμητή μορφή μιας συνάρτησης για να είναι γραμμική.

Το ίδιο μπορεί να προκύψει επίσης από τον συμβατικό ορισμό μιας ευθείας γραμμής που δηλώνει ότι μια γραμμή είναι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων σε μια επίπεδη επιφάνεια. Λοιπόν, ας (x1, y1) και (x2, y2) να είναι δύο σημεία σε ευθεία γραμμή.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Δύο σημεία σχηματίζουν ευθείες γραμμές

Για οποιοδήποτε άλλο σημείο της γραμμής, μπορεί να προκύψει μια συνθήκη εξισώνοντας τις κλίσεις των δύο τμημάτων γραμμής που σχηματίζονται από τα τρία σημεία καθώς η γραμμή πρέπει να διατηρεί την κλίση της σε όλα τα τμήματα. Εξ ου και η εξίσωση                                 

                                                                   (εε1) / (xx1) = (ε2-y1)/(Χ2-x1)

                                                            ⟹y (x2-x1) + x (ε1-y2) + (x1y2-y1x2) = 0

Αυτή η εξίσωση είναι της μορφής Ax + By + C = 0 που μπορεί να γραφτεί με τη μορφή, y = ax + b, την οποία γνωρίζουμε ως τη μορφή γραμμικής συνάρτησης.

Ποιο γράφημα χρησιμοποιείται για την εμφάνιση αλλαγής σε μια παρεχόμενη μεταβλητή όταν αλλάζει μια δεύτερη μεταβλητή;

Για να σχεδιάσουμε ένα ιδανικό γράφημα μιας συνάρτησης, χρειαζόμαστε είτε μια συγκεκριμένη αλγεβρική έκφραση είτε έναν άπειρο αριθμό σημείων δεδομένων. Στην πραγματική ζωή, και οι δύο δεν είναι διαθέσιμες τις περισσότερες φορές. Τα δεδομένα που έχουμε είναι διάσπαρτα. Με άλλα λόγια, μπορεί να έχουμε μια λίστα (x, y) σημείων που μπορεί να γραφεί στο γράφημα, αλλά τα σημεία ενδέχεται να μην βρίσκονται πολύ πυκνά. Αλλά πρέπει να συνδέσουμε αυτά τα σημεία ούτως ή άλλως, καθώς δεν υπάρχει άλλος τρόπος να δούμε το μοτίβο ή την τάση των μεταβλητών. Ένα γράφημα που λαμβάνεται με τον τρόπο αυτό είναι γνωστό ως γράφημα γραμμής.

Ονομάζεται έτσι επειδή τα γειτονικά σημεία ενώνονται με ευθείες γραμμές. Αυτό το γράφημα είναι πιο κατάλληλο για την απεικόνιση μιας σύνδεσης μεταξύ δύο μεταβλητών όπου η μία εξαρτάται από την άλλη και αλλάζουν και οι δύο. Τα γραφήματα χρονοσειρών είναι παραδείγματα γραφημάτων όπου ο άξονας Χ αντιπροσωπεύει τον χρόνο σε μονάδες ωρών / ημερών / μηνών / ετών και ο άξονας Υ αντιπροσωπεύει τη μεταβλητή της οποίας η τιμή αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

Πωλήσεις2010201120122013201420152016201720182019
Έτος4000470044504920534051205450568055605900
Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας
Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Παράδειγμα γραφήματος γραμμής

Περιοδική συνάρτηση

Όταν η εξαρτημένη μεταβλητή επαναλαμβάνει την τιμή της σε μια καθορισμένη περίοδο ή διάστημα της ανεξάρτητης μεταβλητής, η συνάρτηση ονομάζεται περιοδική. Το διάστημα ονομάζεται περίοδος ή θεμελιώδης περίοδος, μερικές φορές ως βασική περίοδος ή πρωταρχική περίοδος επίσης. Τα κριτήρια για μια συνάρτηση να είναι περιοδική είναι για κάποια πραγματική σταθερά T, f (x + T) = f (x). Αυτό σημαίνει ότι το f (x) επαναλαμβάνει την τιμή του μετά από κάθε μονάδα T του x. Ενδέχεται να σημειώσουμε την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο και θα βρούμε την ίδια τιμή στις μονάδες T δεξιά και αριστερά σε αυτό το σημείο. Αυτό είναι το χαρακτηριστικό μιας περιοδικής συνάρτησης.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας:    Το Sin (x) έχει περίοδο 2

Η παραπάνω εικόνα απεικονίζει την περιοδική συμπεριφορά του Sinx. Παίρνουμε δύο τυχαίες τιμές του x, όπως x1 και x2 και σχεδιάζουμε γραμμές παράλληλες προς τον άξονα x από sin (x1) και sin (x2). Σημειώνουμε ότι και οι δύο γραμμές συναντούν ξανά το γράφημα σε απόσταση ακριβώς 2π. Εξ ου και η περίοδος του Sinx είναι 2π. Έτσι μπορούμε να γράψουμε sin (x + 2 π) = sinx για οποιοδήποτε x. Οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι επίσης περιοδικές. Το Cosine έχει την ίδια περίοδο με το Sin και το ίδιο και το Cosec και το Sec. Ο Ταν έχει μια περίοδο π και το Cot.

Ποιος όρος δίνει τον αριθμό κύκλων μιας περιοδικής συνάρτησης που συμβαίνουν σε μια οριζόντια μονάδα;

Μια πλήρης περίοδος ονομάζεται κύκλος. Έτσι, υπάρχει ακριβώς ένας κύκλος στις μονάδες Τ του x. Ως εκ τούτου, υπάρχουν 1 / T κύκλοι σε μία μονάδα x. Ο αριθμός 1 / T έχει ιδιαίτερη σημασία στη μελέτη των περιοδικών συναρτήσεων, καθώς λέει πόσο συχνά η συνάρτηση επαναλαμβάνει τις τιμές της. Εξ ου και ο όρος «συχνότητα» αποδίδεται στον αριθμό 1 / T. Η συχνότητα δηλώνεται με το 'f', το οποίο δεν πρέπει να συγχέεται με τη συνάρτηση 'f' Όσο υψηλότερη είναι η συχνότητα τόσο περισσότερος αριθμός κύκλων υπάρχουν ανά μονάδα. Η συχνότητα και η περίοδος είναι αντιστρόφως ανάλογες μεταξύ τους, που σχετίζονται με f = 1 / T ή T = 1 / f. Για το Sin (X), η περίοδος είναι 2π, οπότε η συχνότητα θα ήταν 1 / 2π.

Παραδείγματα:

  1. Υπολογίστε την περίοδο και τη συχνότητα του Sin (3x)

Καθώς το Sin (x) έχει έναν κύκλο σε 2π, το Sin (3x) θα έχει 3 κύκλους σε 2π καθώς το x προχωρά 3 φορές πιο γρήγορα στο Sin (3x). Έτσι, η συχνότητα θα είναι 3 φορές μεγαλύτερη από το Sin (x), δηλαδή 3 / 2π. Αυτό κάνει την περίοδο 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

  1. Υπολογίστε την περίοδο Sin2x + sin3x

Σημειώστε ότι οποιοδήποτε ακέραιο πολλαπλάσιο της θεμελιώδους περιόδου είναι επίσης τελεία. Σε αυτό το πρόβλημα, υπάρχουν δύο στοιχεία της συνάρτησης. Πρώτα έχει μια περίοδο π και η δεύτερη 2π / 3. Αλλά αυτά τα δύο είναι διαφορετικά, οπότε κανένα δεν μπορεί να είναι η περίοδος της σύνθετης συνάρτησης. Όποια κι αν είναι η περίοδος της σύνθεσης, πρέπει να είναι και η περίοδος των συστατικών. Επομένως, πρέπει να είναι ένα κοινό ακέραιο πολλαπλάσιο και στα δύο. Αλλά θα μπορούσαν να υπάρχουν απείρως πολλά από αυτά. Ως εκ τούτου, η θεμελιώδης περίοδος θα ήταν το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων των συστατικών. Σε αυτό το πρόβλημα που είναι Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας: Περίοδος σύνθετης συνάρτησης

  1. Υπολογίστε την περίοδο (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Είναι ασήμαντο αλλά αρκετά ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι ο κανόνας που επινοήσαμε στο προηγούμενο πρόβλημα, ισχύει στην πραγματικότητα για οποιαδήποτε σύνθεση περιοδικών συναρτήσεων. Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση και η πραγματική περίοδος θα ήταν η LCM των περιόδων των συστατικών. Δηλαδή LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

  1. Υπολογίστε την περίοδο του Sinx + sin πx

Αρχικά, φαίνεται προφανές ότι η περίοδος πρέπει να είναι LCM (2π, 2), αλλά τότε συνειδητοποιούμε ότι ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει καθώς το 2π είναι παράλογο, έτσι είναι τα πολλαπλάσια του και το 2 είναι λογικό και έτσι είναι τα πολλαπλάσια του. Έτσι, δεν θα μπορούσε να υπάρχει κοινό ακέραιο πολλαπλάσιο σε αυτούς τους δύο αριθμούς. Επομένως, αυτή η συνάρτηση δεν είναι περιοδική.

Η συνάρτηση κλασματικού μέρους {x} είναι περιοδική.

f (x) = {x}

Αυτό είναι γνωστό ως συνάρτηση κλασματικού μέρους. Αφήνει το μεγαλύτερο ακέραιο τμήμα ενός πραγματικού αριθμού και αφήνει μόνο το κλασματικό μέρος. Έτσι, η τιμή του είναι πάντα μεταξύ 0 και 1 αλλά ποτέ ίση με 1. Αυτό το γράφημα θα πρέπει να καταστήσει σαφές ότι έχει μια περίοδο 1.

Χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας:  Η συνάρτηση κλασματικού μέρους {x}

                                                                           

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Μέχρι στιγμής συζητήσαμε τα χαρακτηριστικά των γραφημάτων λειτουργίας. Πρέπει τώρα να είμαστε σαφείς σχετικά με τα χαρακτηριστικά και τους διαφορετικούς τύπους γραφημάτων. Είχαμε επίσης μια ιδέα της γραφικής ερμηνείας των συναρτήσεων. Το επόμενο άρθρο θα καλύπτει πολύ περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με έννοιες όπως εύρος και τομέας, αντίστροφες συναρτήσεις, διάφορες συναρτήσεις και γραφήματα τους, καθώς και πολλά επεξεργασμένα προβλήματα. Για να μπείτε βαθύτερα στη μελέτη, σας συνιστούμε να διαβάσετε παρακάτω

Λογισμός από τον Michael Spivak.

Άλγεβρα από τον Michael Artin.

Για περισσότερα άρθρα μαθηματικών, παρακαλώ Κάνε κλικ εδώ.

Σχετικά με τον Sourav Bhattacharyya

Είμαι ο Sourav Bhattacharyya, ένας μηχανικός τηλεπικοινωνιών από το επάγγελμα και τους λάτρεις των μαθηματικών από το χόμπι. Έχω ολοκληρώσει τη Μηχανική μου από το Πανεπιστήμιο Jadavpur.
Ξοδεύω τον περισσότερο χρόνο μου για την επίλυση διαφόρων ειδών μαθηματικών προβλημάτων και πιστεύω ακράδαντα ότι η ίδια γνώση και εμπειρία θα μοιραστώ μέσω αυτής της υπέροχης πλατφόρμας Lambdageeks. Προσπαθώ να εκπροσωπήσω με τρόπο που οι μαθητές θα ερωτευτούν τα μαθηματικά.
Είναι τιμή για μένα να είμαι μέρος ενός τέτοιου οργανισμού όπου μπορώ να τους αναζωπυρώσω που θέλουν να μάθουν Μαθηματικά.

Lambda Geeks