Θεώρημα ανισότητας και κεντρικού ορίου του Chebyshev | Οι σημαντικές του ιδιότητες με 10+ κρίσιμα παραδείγματα

Στη θεωρία πιθανότητας το Η ανισότητα του Τσέμπισεφ Το κεντρικό θεώρημα ορίου ασχολείται με τις καταστάσεις όπου θέλουμε να βρούμε την κατανομή πιθανότητας αθροίσματος μεγάλων αριθμών τυχαίων μεταβλητών σε περίπου κανονική κατάσταση, Πριν κοιτάξουμε τα θεώρηματα ορίου βλέπουμε μερικές από τις ανισότητες, οι οποίες παρέχουν τα όρια για τις πιθανότητες εάν μέση και διακύμανση είναι γνωστή.

Πίνακας Περιεχομένων

Η ανισότητα του Μάρκοφ

Η ανισότητα του Markov για την τυχαία μεταβλητή X που παίρνει μόνο θετική τιμή για> 0 είναι

P \ {X \ geq a \} \ leq \ frac {E [X]} {α}

για να το αποδείξετε για> 0 θεωρία

I = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ text {if} X \ geq a \\ 0 & \ text {διαφορετικά} \ τέλος {πίνακας} \ δεξιά.

Από

X \ geq 0 \\ \\ I \ leq \ frac {X} {α}

λαμβάνοντας τώρα την προσδοκία αυτής της ανισότητας που έχουμε

E [I] \ leq \ frac {E [X]} {α}

ο λόγος είναι

E [I] = P \ {X \ geq α \}

που δίνει την ανισότητα του Markov για> 0 ως

P \ {X \ geq a \} \ leq \ frac {E [X]} {α}

Η ανισότητα του Τσέμπισεφ

    Για την πεπερασμένη μέση τιμή και τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X, η ανισότητα του Chebyshev για k> 0 είναι

P (| X- \ mu | \ geq k \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {k ^ {2}}

όπου το sigma και mu αντιπροσωπεύει τη διακύμανση και τον μέσο όρο της τυχαίας μεταβλητής, για να το αποδείξουμε αυτό χρησιμοποιούμε το Η ανισότητα του Μάρκοφ ως η μη αρνητική τυχαία μεταβλητή

(X- \ mu) ^ {2}

ως εκ τούτου, για την τιμή ενός σταθερού τετραγώνου

P \ αριστερά \ {(X- \ mu) ^ {2} \ geq k ^ {2} \ δεξιά \} \ leq \ frac {E \ αριστερά [(X- \ mu) ^ {2} \ δεξιά]} { κ ^ {2}}

αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με

P (| X- \ mu | \ geq k \} \ leq \ frac {E \ αριστερά [(X- \ mu) ^ {2} \ δεξιά]} {k ^ {2}} = \ frac {\ sigma ^ {2}} {k ^ {2}}

όπως ξεκάθαρα

(X- \ mu) ^ {2} \ equiv k ^ {2} \ text {if και μόνο if} | X- \ mu | \ geq k

Παραδείγματα ανισοτήτων Markov και Chebyshev :

  1. Εάν η παραγωγή συγκεκριμένου αντικειμένου λαμβάνεται ως τυχαία μεταβλητή για την εβδομάδα με μέσο όρο 50, βρείτε την πιθανότητα παραγωγής που υπερβαίνει τα 75 σε μια εβδομάδα και ποια θα ήταν η πιθανότητα εάν η παραγωγή μιας εβδομάδας είναι μεταξύ 40 και 60, υπό την προϋπόθεση ότι η διακύμανση για αυτό η εβδομάδα είναι 25;

Λύση: Εξετάστε την τυχαία μεταβλητή X για την παραγωγή του αντικειμένου για μια εβδομάδα, στη συνέχεια, για να βρείτε την πιθανότητα παραγωγής που υπερβαίνει τα 75 που θα χρησιμοποιήσουμε Η ανισότητα του Μάρκοφ as

P(X>75\} \leq \frac{E[X]}{75}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}

Τώρα η πιθανότητα για παραγωγή μεταξύ 40 και 60 με διακύμανση 25 θα χρησιμοποιήσουμε Η ανισότητα του Τσέμπισεφ as

P \ {| X-50 | \ geq 10 \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {10 ^ {2}} = \ frac {1} {4}

so

P\{|X-50|<10\} \geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

Αυτό δείχνει την πιθανότητα για την εβδομάδα εάν η παραγωγή είναι μεταξύ 40 και 60 είναι 3/4.

2. Δείξτε ότι το η ανισότητα του chebyshev που παρέχει ανώτερο όριο στην πιθανότητα δεν είναι ιδιαίτερα πιο κοντά στην πραγματική τιμή της πιθανότητας.

Λύση:

Λάβετε υπόψη ότι η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται ομοιόμορφα με μέση τιμή 5 και διακύμανση 25/3 στο διάστημα (0,1) και μετά από το η ανισότητα του chebyshev μπορούμε να γράψουμε

P (| X-5 |> 4 \} \ leq \ frac {25} {3 (16)} \ περίπου 0.52

αλλά η πραγματική πιθανότητα θα είναι

P (| X-5 |> 4 \} = 0.20

που απέχει πολύ από την πραγματική πιθανότητα ομοίως αν λάβουμε την τυχαία μεταβλητή Χ ως κανονικά κατανεμημένη με μέσο όρο και διακύμανση τότε Η ανισότητα του Τσέμπισεφ θα είναι

P \ {| X- \ mu |> 2 \ sigma \} \ leq \ frac {1} {4}

αλλά η πραγματική πιθανότητα είναι

P (| X- \ mu |> 2 \ sigma \} = P \ αριστερά \ {\ αριστερά | \ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ δεξιά |> 2 \ δεξιά \} = 2 [1- \ Phi (2)] περίπου 0.0456

Αδύναμος νόμος μεγάλων αριθμών

Ο ασθενής νόμος για την ακολουθία τυχαίων μεταβλητών θα ακολουθηθεί από το αποτέλεσμα που Η ανισότητα του Τσέμπισεφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εργαλείο για αποδείξεις, για παράδειγμα για την απόδειξη

P \ {X = E [X] \} = 1

εάν η διακύμανση είναι μηδέν, είναι οι μόνες τυχαίες μεταβλητές που έχουν διακυμάνσεις ίσες με 0 είναι εκείνες που είναι σταθερές με πιθανότητα 1, έτσι Η ανισότητα του Τσέμπισεφ για n μεγαλύτερο από ή ίσο με 1

P \ αριστερά \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ δεξιά \} = 0

as

n \ rightarrow \ infty

από τη συνέχεια της πιθανότητας

\ start {aligned} 0 = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P \ left \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ δεξιά \} & = P \ αριστερά \ {\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ αριστερά \ {| X- \ mu |> \ frac {1} {n} \ δεξιά \} \ δεξιά \} \\ & = P \ {X \ neq \ mu \} \ τέλος {στοίχιση}

που αποδεικνύει το αποτέλεσμα.

Αδύναμος νόμος μεγάλων αριθμών: Για την ακολουθία ταυτόσημων κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει τον πεπερασμένο μέσο E [Xi] = μ, τότε για κάθε ε> 0

P \ αριστερά \ {\ αριστερά | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ δεξιά | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty

για να το αποδείξουμε αυτό υποθέτουμε ότι η διακύμανση είναι επίσης πεπερασμένη για κάθε τυχαία μεταβλητή στην ακολουθία, έτσι η προσδοκία και η διακύμανση

E \ αριστερά [\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ δεξιά] = \ mu \ quad \ text {και} \ quad \ operatorname {Var} \ αριστερά (\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ δεξιά) = \ frac {\ sigma ^ {2}} {n}

τώρα από το Η ανισότητα του Τσέμπισεφ το άνω όριο της πιθανότητας ως

P \ αριστερά \ {\ αριστερά | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ δεξιά | \ geq \ varepsilon \ right \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {n \ varepsilon ^ {2}}

που θα τείνει στο άπειρο

P \ αριστερά \ {\ αριστερά | \ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n}} {n} - \ mu \ δεξιά | \ geq \ varepsilon \ right \} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty

Θεώρημα Κεντρικού Ορίου

Η κεντρικό θεώρημα ορίου είναι ένα από τα σημαντικά αποτελέσματα στη θεωρία πιθανότητας καθώς δίνει την κατανομή στο άθροισμα μεγάλων αριθμών που είναι περίπου φυσιολογικό διανομή Εκτός από τη μέθοδο για την εύρεση των κατά προσέγγιση πιθανοτήτων για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το κεντρικό όριο θεώρημα δείχνει επίσης τις εμπειρικές συχνότητες τόσων πολλών φυσικών πληθυσμών παρουσιάζουν καμπάνες σε σχήμα καμπάνιας, κανονικές καμπύλες.

«Εάν η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών Z1,Z2,…. έχουν τη λειτουργία διανομής και τη λειτουργία δημιουργίας ροπής ως FZn και Μzn τότε

M_ {Z_ {n}} (t) \ rightarrow M_ {Z} (t) \ text {για όλα τα t και μετά} F_ {Z_ {n}} (t) \ δεξί βέλος F_ {Z} (t) \ κείμενο { για όλα τα t στα οποία} F_ {Z} (t) \ text {είναι συνεχές "}

Θεώρημα Κεντρικού Ορίου: Για την ακολουθία ταυτόσημων κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει τη μέση μ και διακύμανση σ2 τότε η κατανομή του αθροίσματος

\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}}

τείνει στο κανονικό κανονικό όπως το n τείνει στο άπειρο για να είναι πραγματικές τιμές

P \ αριστερά \ {\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}} \ leq a \ right \} \ δεξί βέλος \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {a} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \ quad \ text {as} n \ δεξί βέλος \ infty

Απόδειξη: Για να αποδείξετε το αποτέλεσμα θεωρήστε το μέσο όρο ως μηδέν και τη διακύμανση ως ένα δηλαδή μ = 0 & σ2= 1 και το λειτουργία δημιουργίας στιγμής για το Χi υπάρχει και έχει πεπερασμένη αξία, ώστε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για την τυχαία μεταβλητή Xi/ √n θα είναι

E \ αριστερά [\ exp \ αριστερά \ {\ frac {t X_ {i}} {\ sqrt {n}} \ δεξιά \} \ δεξιά] = M \ αριστερά (\ frac {t} {\ sqrt {n}} \σωστά)

στη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για το άθροισμα ΣXi/ √n θα είναι

\ αριστερά [M \ αριστερά (\ frac {L} {\ sqrt {n}} \ δεξιά) \ δεξιά] ^ {n}

Τώρα ας πάρουμε L (t) = logM (t)

so

\ start {aligned} L (0) & = 0 \\ L ^ {\ prime} (0) & = \ frac {M ^ {\ prime} (0)} {M (0)} \\ & = \ mu \\ & = 0 \\ L ^ {\ prime \ prime} (0) & = \ frac {M (0) M ^ {\ prime \ prime} (0) - \ αριστερά [M ^ {\ prime} (0 ) \ δεξιά] ^ {2}} {[M (0)] ^ {2}} \\ & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \\ & = 1 \ τέλος {στοίχιση}

για να δείξουμε την απόδειξη που δείχνουμε πρώτα

[M (t / \ sqrt {n})] ^ {n} \ rightarrow e ^ {2 ^ {2} / 2} \ text {as} n \ rightarrow \ infty

δείχνοντας την ισοδύναμη μορφή του

n L (t / \ sqrt {n}) \ δεξί βέλος t ^ {2} / 2

αφού

\ start {aligned} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {L (t / \ sqrt {n})} {n ^ {- 1}} & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {-L ^ {\ prime} (t / \ sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t} {- 2 n ^ {- 2}} \ quad \ text {από τον κανόνα του L'Hôpital} \ \ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ αριστερά [\ frac {L ^ {\ prime} (t / \ sqrt {n}) t} {2 n ^ {- 1/2}} \ δεξιά] \\ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ αριστερά [\ frac {-L ^ {\ prime \ prime} (t / \ sqrt {n}) n ^ {- 3/2} t ^ {2 }} {- 2 n ^ {- 3/2}} \ δεξιά] \ τετράγωνο \ κείμενο {ξανά από τον κανόνα του L'Hôpital} \\ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ αριστερά [L ^ {\ prime \ prime} \ αριστερά (\ frac {t} {\ sqrt {n}} \ δεξιά) \ frac {t ^ {2}} {2} \ δεξιά] \\ & = \ frac {t ^ {2}} {2} \ end {στοίχιση}

Ως εκ τούτου, αυτό δείχνει το αποτέλεσμα για το μέσο μηδέν και τη διακύμανση 1, και το ίδιο αποτέλεσμα ακολουθεί και για τη γενική περίπτωση λαμβάνοντας επίσης

X_ {i} ^ {*} = \ αριστερά (X_ {i} - \ mu \ δεξιά) / \ sigma

και για κάθε ένα που έχουμε

P \ αριστερά \ {\ frac {X_ {1} + \ cdots + X_ {n} -n \ mu} {\ sigma \ sqrt {n}} \ leq a \ right \} \ rightarrow \ Phi (a)

Παράδειγμα Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου

Για να υπολογίσει την απόσταση του έτους φωτός ενός αστεριού από το εργαστήριο ενός αστρονόμου, χρησιμοποιεί μερικές τεχνικές μέτρησης, αλλά λόγω αλλαγής της ατμόσφαιρας κάθε φορά η απόσταση που μετριέται δεν είναι ακριβής, αλλά με κάποιο λάθος, ώστε να βρει την ακριβή απόσταση που σχεδιάζει να παρατηρήστε συνεχώς σε μια ακολουθία και τον μέσο όρο αυτών των αποστάσεων ως την εκτιμώμενη απόσταση. Εάν λάβει υπόψη τις τιμές της μέτρησης πανομοιότυπα κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μέσο d και διακύμανση 4 έτη φωτός, βρείτε τον αριθμό των μετρήσεων που πρέπει να κάνετε για να λάβετε το σφάλμα 0.5 στην εκτιμώμενη και πραγματική αξία;

Λύση: Ας θεωρήσουμε τις μετρήσεις ως ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στην ακολουθία X1,X2,…….Χn έτσι από το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου μπορούμε να γράψουμε

Z_ {n} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} -nd} {2 \ sqrt {n}}

που είναι η προσέγγιση στην τυπική κανονική κατανομή, έτσι η πιθανότητα θα είναι

\ αριστερά. \ έναρξη {array} {rl} P \ αριστερά \ {- 0.5 \ leq \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}} {n} -d \ leq 0.5 \ δεξιά. \ end {array} \ right \} = P \ αριστερά \ {- 0.5 \ frac {\ sqrt {n}} {2} \ leq Z_ {n} \ leq 0.5 \ frac {\ sqrt {n}} {2} \ δεξιά \} \ περίπου \ Phi \ αριστερά (\ frac {\ sqrt {n}} {4} \ δεξιά) - \ Phi \ αριστερά (\ frac {- \ sqrt {n}} {4} \ δεξιά) = 2 \ Phi \ αριστερά (\ frac {\ sqrt {n}} {4} \ δεξιά) -1

έτσι για να πάρει την ακρίβεια της μέτρησης στο 95 τοις εκατό, ο αστρονόμος θα πρέπει να μετρά n * αποστάσεις όπου

2 \ Phi \ αριστερά (\ frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} \ δεξιά) -1 = 0.95 \ quad \ text {ή} \ quad \ Phi \ αριστερά (\ frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} \ δεξιά) = 0.975

έτσι από τον κανονικό πίνακα διανομής μπορούμε να το γράψουμε ως

\ frac {\ sqrt {n ^ {*}}} {4} = 1.96 \ quad \ text {ή} \ quad n ^ {*} = (7.84) ^ {2} \ περίπου 61.47

που λέει ότι η μέτρηση πρέπει να γίνει για 62 φορές, αυτό μπορεί επίσης να παρατηρηθεί με τη βοήθεια του Η ανισότητα του Τσέμπισεφ παίρνοντας

E \ αριστερά [\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} \ δεξιά] = d \ quad \ operatorname {Var} \ αριστερά (\ sum_ {i = 1} ^ { n} \ frac {X_ {i}} {n} \ δεξιά) = \ frac {4} {n}

έτσι η ανισότητα οδηγεί σε

P \ αριστερά \ {\ αριστερά | \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} -d \ δεξιά |> 0.5 \ δεξιά \} \ leq \ frac {4} {n (0.5) ^ {2}} = \ frac {16} {n}

ως εκ τούτου για το n = 16 / 0.05 = 320 που δίνει βεβαιότητα ότι θα υπάρχει μόνο σφάλμα 5% στη μέτρηση της απόστασης του αστεριού από το εργαστήριο των παρατηρήσεων.

2. Ο αριθμός των μαθητών που γίνονται δεκτοί στο μάθημα μηχανικής κατανέμεται Poisson με μέσο όρο 100, αποφασίστηκε ότι εάν οι μαθητές που έχουν εισαχθεί είναι 120 ή περισσότεροι η διδασκαλία θα γίνεται σε δύο ενότητες διαφορετικά σε μία ενότητα μόνο, ποια θα είναι η πιθανότητα ότι θα υπάρξει να είστε δύο ενότητες για το μάθημα;

Λύση: Ακολουθώντας τη διανομή Poisson, θα είναι η ακριβής λύση

e ^ {- 100} \ sum_ {i = 120} ^ {\ infty} \ frac {(100) ^ {i}} {i!}

η οποία προφανώς δεν δίνει τη συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, Εάν θεωρήσουμε την τυχαία μεταβλητή X όπως οι μαθητές παραδέχθηκαν τότε από το κεντρικό θεώρημα ορίου

P \ {X \ geq 120 \} = P \ {X \ cong 119.5 \}

Που μπορεί να είναι

\ begin {array} {l} = P \ αριστερά \ {\ frac {X-100} {\ sqrt {100}} \ geq \ frac {119.5-100} {\ sqrt {100}} \ δεξιά \} \\ \ περίπου 1- \ Phi (1.95) \\ περίπου 0.0256 \ end {array}

που είναι η αριθμητική τιμή.

3. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι το άθροισμα σε δέκα κύβους όταν κυλήσει είναι μεταξύ 30 και 40 συμπεριλαμβανομένων 30 και 40;

Λύση: Εδώ θεωρούμε τον κύβο ως Χi για δέκα τιμές του i. ο μέσος όρος και η διακύμανση θα είναι

E\left(X_{i}\right)=\frac{7}{2}, \quad \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=E\left[X_{i}^{2}\right]-\left(E\left[X_{i}\right]\right)^{2}=\frac{35}{12}

ακολουθώντας έτσι το κεντρικό θεώρημα ορίου μπορούμε να γράψουμε

\ start {aligned} P [29.5 \ leq X \ leq 40.5 \} & = P \ αριστερά \ {\ frac {29.5-35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ leq \ frac {X -35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ leq \ frac {40.5-35} {\ sqrt {\ frac {350} {12}}} \ δεξιά \} \\ & \ περίπου 2 \ Phi (1.0184) -1 \\ & \ περίπου 0.692 \ end {στοίχιση}

που είναι η απαιτούμενη πιθανότητα.

4. Για τις ομοιόμορφα κατανεμημένες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Xi στο διάστημα (0,1) ποια θα είναι η προσέγγιση της πιθανότητας

P \ αριστερά \ {\ sum_ {i = 1} ^ {10} X_ {i}> 6 \ δεξιά \}

Λύση: Από τη διανομή Unifrom γνωρίζουμε ότι ο μέσος όρος και η διακύμανση θα είναι

E \ αριστερά [X_ {i} \ δεξιά] = \ frac {1} {2} \ qquad \ operatorname {Var} \ left (X_ {i} \ right) = \ frac {1} {12}

Τώρα χρησιμοποιώντας το κεντρικό θεώρημα ορίου μπορούμε

\ start {aligned} P \ left \ {\ sum_ {1} ^ {10} X_ {i}> 6 \ δεξιά \} & = P \ αριστερά \ {\ frac {\ sum_ {1} ^ {10} X_ { i} -5} {\ sqrt {10 \ αριστερά (\ frac {1} {12} \ δεξιά)}}> \ frac {6-5} {\ sqrt {10 \ αριστερά (\ frac {1} {12} \ δεξιά)}} \ δεξιά \} \\ & \ περίπου 1- \ Phi (\ sqrt {1.2}) \\ & \ περίπου 0.1367 \ τέλος {στοίχιση}

έτσι η άθροιση της τυχαίας μεταβλητής θα είναι 14 τοις εκατό.

5. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο αξιολογητής της εξέτασης θα δώσει βαθμούς θα είναι 25 εξετάσεις στην έναρξη 450 λεπτών, εάν υπάρχουν 50 εξετάσεις των οποίων ο χρόνος βαθμολογίας είναι ανεξάρτητος με μέσο όρο 20 λεπτά και τυπική απόκλιση 4 λεπτά.

Λύση: Εξετάστε το χρόνο που απαιτείται για να βαθμολογήσετε την εξέταση με την τυχαία μεταβλητή Xi έτσι θα είναι η τυχαία μεταβλητή X

X = \ sum_ {i = 1} ^ {25} X_ {i}

δεδομένου ότι αυτή η εργασία για 25 εξετάσεις είναι περίπου 450 λεπτά

P \ {X \ leq 450 \}

E[X]=\sum_{i=1}^{25} E\left[X_{i}\right]=25(20)=500

\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{25}\\  \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=25(16)=400

εδώ χρησιμοποιώντας το κεντρικό θεώρημα ορίου

\ start {aligned} P [X \ leq 450 \} & = P \ αριστερά (\ frac {X-500} {\ sqrt {400}} \ leq \ frac {450-500} {\ sqrt {400}} \ δεξιά) \\ & \ περ. P (Z \ leq-2.5 \} \\ & = P (Z \ geq 2.5 \} \\ & = 1- \ Phi (2.5) = 0.006 \ τέλος {στοίχιση}

που είναι η απαιτούμενη πιθανότητα.

Θεώρημα Κεντρικού Ορίου για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές

Για την ακολουθία που δεν διανέμεται πανομοιότυπα αλλά έχει ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει τη μέση μ και διακύμανση σ2 αρκεί να ικανοποιεί

  1. κάθε Χi είναι ομοιόμορφα οριοθετημένο
  2. το άθροισμα των διακυμάνσεων είναι άπειρο

P \ αριστερά \ {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ αριστερά (X_ {i} - \ mu_ {i} \ δεξιά)} {\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n } \ sigma_ {i} ^ {2}}} \ simeq a \ right \} \ rightarrow \ Phi (a) \ quad \ text {as} n \ rightarrow \ infty

Ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών

Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών είναι πολύ κρίσιμη έννοια της θεωρίας πιθανότητας που λέει ότι ο μέσος όρος της ακολουθίας της κοινώς κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής με πιθανότητα θα συγκλίνει με τον μέσο όρο της ίδιας κατανομής

Δήλωση: Για την ακολουθία πανομοιότυπων κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει το πεπερασμένο μέσο με πιθανότητα ένα τότε

\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n} \ rightarrow \ mu \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty ^ {\ dagger}

Απόδειξη: Για να το αποδείξετε αυτό θεωρήστε ότι ο μέσος όρος κάθε τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν και η σειρά

S_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}

τώρα για αυτό θεωρήστε τη δύναμη αυτού ως

\ start {aligned} E \ αριστερά [S_ {n} ^ {4} \ δεξιά] = & E \ αριστερά [\ αριστερά (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ δεξιά) \ αριστερά (X_ {1 } + \ cdots + X_ {n} \ δεξιά) \ δεξιά. \\ & \ αριστερά. \ φορές \ αριστερά (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ δεξιά) \ αριστερά (X_ {1} + \ cdots + X_ {n} \ δεξιά) \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

μετά την επέκταση των όρων της δεξιάς πλευράς έχουμε τους όρους της φόρμας

X_ {i} ^ {4}, \ quad X_ {i} ^ {3} X_ {j}, \ quad X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2}, \ τετράγωνο X_ {i} ^ {2} X_ {j} X_ {k}, \ quad \ quad X_ {i} X_ {j} X_ {k} X_ {l}

δεδομένου ότι αυτά είναι ανεξάρτητα, έτσι ο μέσος όρος αυτών θα είναι

\ start {aligned} E \ αριστερά [X_ {i} ^ {3} X_ {j} \ δεξιά] & = E \ αριστερά [X_ {i} ^ {3} \ δεξιά] E \ αριστερά [X_ {j} \ δεξιά] = 0 \\ E \ αριστερά [X_ {i} ^ {2} X_ {j} X_ {k} \ δεξιά] & = E \ αριστερά [X_ {i} ^ {2} \ δεξιά] E \ αριστερά [ X_ {j} \ δεξιά] E \ αριστερά [X_ {k} \ δεξιά] = 0 \\ E \ αριστερά [X_ {i} X_ {j} X_ {k} X_ {l} \ δεξιά] & = 0 \\ \ end {στοίχιση}

με τη βοήθεια του συνδυασμού του ζευγαριού θα γίνει τώρα η επέκταση της σειράς

\ start {aligned} E \ αριστερά [S_ {n} ^ {4} \ δεξιά] & = n E \ αριστερά [X_ {i} ^ {4} \ δεξιά] +6 \ αριστερά (\ έναρξη {array} {l } n \\ 2 \ end {array} \ δεξιά) E \ αριστερά [X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2} \ δεξιά] \\ & = n K + 3 n (n-1) E \ αριστερά [X_ {i} ^ {2} \ δεξιά] E \ αριστερά [X_ {j} ^ {2} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

αφού

0 \leq \operatorname{Var}\left(X_{i}^{2}\right)=E\left[X_{i}^{4}\right]-\left(E\left[X_{i}^{2}\right]\right)^{2}

so

\ αριστερά (E \ αριστερά [X_ {i} ^ {2} \ δεξιά] \ δεξιά) ^ {2} \ leq E \ αριστερά [X_ {i} ^ {4} \ δεξιά] = Κ

παίρνουμε

E \ αριστερά [S_ {n} ^ {4} \ δεξιά] \ leq n K + 3 n (n-1) K

Αυτό υποδηλώνει την ανισότητα

E \ αριστερά [\ frac {S_ {n} ^ {4}} {n ^ {4}} \ δεξιά] \ leq \ frac {K} {n ^ {3}} + \ frac {3 K} {n ^ {2}}

ως εκ τούτου

E\left[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} E\left[\frac{s_{n}^{4}}{n^{4}}\right]<\infty

Με τη σύγκλιση της σειράς δεδομένου ότι η πιθανότητα κάθε τυχαίας μεταβλητής είναι έτσι

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {S_ {n} ^ {4}} {n ^ {4}} = 0

αφού

\ frac {S_ {n}} {n} \ rightarrow 0 \ quad \ text {as} \ quad n \ rightarrow \ infty

Αν ο μέσος όρος κάθε τυχαίας μεταβλητής δεν είναι ίσος με μηδέν τότε με απόκλιση και πιθανότητα μπορούμε να το γράψουμε ως

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ αριστερά (X_ {i} - \ mu \ δεξιά)} {n} = 0

or

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {X_ {i}} {n} = \ mu

που απαιτείται αποτέλεσμα.

Ανισότητα Chebyshev μίας όψης

Η μονόπλευρη ανισότητα Chebysheve για την τυχαία μεταβλητή X με μέση μηδενική και πεπερασμένη διακύμανση εάν> 0 είναι

Η ανισότητα του Τσέμπισεφ
chebyshev ανισότητα

για να το αποδείξετε αυτό για το b> 0 αφήστε την τυχαία μεταβλητή X ως

Το X \ geq a \ text {ισοδυναμεί με} X + b \ geq a + b

που δίνει

P [X \ geq a] = P [X + b \ geq a + b] \\ \ leq P [(X + b) ^ {2} \ geq (a + b) ^ {2}]

έτσι χρησιμοποιώντας το Η ανισότητα του Μάρκοφ

Η ανισότητα του Τσέμπισεφ
μονόπλευρη chebyshev

που δίνει την απαιτούμενη ανισότητα. για το μέσο και τη διακύμανση μπορούμε να το γράψουμε ως

P (X- \ mu \ geq a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}} \\ P (\ mu-X \ geq a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + α ^ {2}}

Αυτό περαιτέρω μπορεί να γραφτεί ως

\ begin {array} {l} P (X \ geq \ mu + a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}} \\ P \ { X \ leq \ mu-a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + a ^ {2}} \ τέλος {πίνακας}

Παράδειγμα:

Βρείτε το ανώτατο όριο της πιθανότητας ότι η παραγωγή της εταιρείας που διανέμεται τυχαία θα είναι τουλάχιστον 120, εάν η παραγωγή αυτής της συγκεκριμένης εταιρείας έχει μέση τιμή 100 και διακύμανση 400.

Λύση:

Χρησιμοποιώντας τη μονόπλευρη ανεπάρκεια chebyshev

P \ {X \ geq 120 \} = P (X-100 \ geq 20 \} \ leq \ frac {400} {400+ (20) ^ {2}} = \ frac {1} {2}

έτσι αυτό δίνει την πιθανότητα της παραγωγής μέσα σε μια εβδομάδα τουλάχιστον 120 είναι 1/2, τώρα το όριο αυτής της πιθανότητας θα επιτευχθεί Η ανισότητα του Μάρκοφ

P [X \ geq 120 \} \ leq \ frac {E (X)} {120} = \ frac {5} {6}

που δείχνει το ανώτερο όριο για την πιθανότητα.

Παράδειγμα:

Εκατό ζευγάρια λαμβάνονται από διακόσια άτομα με εκατό άνδρες και εκατό γυναίκες βρίσκουν το ανώτατο όριο της πιθανότητας ότι το πολύ τριάντα ζευγάρια θα αποτελούνται από άνδρες και γυναίκες.

Λύση:

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Xi as

X_ {i} = \ αριστερά \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ text {αν ο άνδρας i έχει αντιστοιχιστεί με γυναίκες} \\ 0 & \ text {αλλιώς} \ τέλος {πίνακας} \ δεξιά.

έτσι το ζεύγος μπορεί να εκφραστεί ως

X = \ sum_ {i = 1} ^ {100} X_ {i}

Δεδομένου ότι κάθε άντρας μπορεί εξίσου πιθανό να ζευγαρώσει με τους υπόλοιπους ανθρώπους, στους οποίους εκατό είναι γυναίκες

E \ αριστερά [X_ {i} \ δεξιά] = P \ αριστερά \ {X_ {i} = 1 \ δεξιά \} = \ frac {100} {199}

με τον ίδιο τρόπο εάν τα i και j δεν είναι ίδια τότε

\ start {aligned} E \ αριστερά [X_ {i} X_ {j} \ δεξιά] & = P \ αριστερά \ {X_ {i} = 1, X_ {j} = 1 \ δεξιά \} \\ & = P \ αριστερά \ {X_ {i} = 1 \ δεξιά \} P \ αριστερά [X_ {j} = 1 \ μέσα X_ {i} = 1 \ δεξιά \} = \ frac {100} {199} \ frac {99} { 197} \ τέλος {στοίχιση}

as

P \ αριστερά \ {X_ {j} = 1 \ μέσα X_ {i} = 1 \ δεξιά \} = 99/197

ως εκ τούτου έχουμε

έναρξη {aligned} E [X] & = \ sum_ {i = 1} ^ {100} E \ αριστερά [X_ {i} \ δεξιά] \\ & = (100) \ frac {100} {199} \\ & \ περίπου 50.25 \\ \ όνομα Operatorn {Var} (X) & = \ sum_ {i = 1} ^ {100} \ operatorname {Var} \ αριστερά (X_ {i} \ δεξιά) +2 \ sum_ {i

χρησιμοποιώντας τα chebyshev ανισότητα

P \ {X \ leq 30 \} \ leq P \ {| X-50.25 | \ geq 20.25 \} \ leq \ frac {25.126} {(20.25) ^ {2}} \ περίπου 0.061

που λέει ότι η πιθανότητα σύζευξης 30 ανδρών με γυναίκες είναι μικρότερη από έξι, έτσι μπορούμε να βελτιώσουμε το όριο χρησιμοποιώντας μονόπλευρη ανισότητα chebyshev

\ begin {aligned} P [X \ leq 30 \} & = P [X \ leq 50.25-20.25 \ rangle \\ & \ leq \ frac {25.126} {25.126+ (20.25) ^ {2}} \\ & \ περίπου, 0.058 \ τέλος {στοίχιση}

Chernoff Bound

Εάν η λειτουργία δημιουργίας στιγμής είναι ήδη γνωστή τότε

\ start {aligned} P [X \ geq a \} & = P \ αριστερά (e ^ {\ ell X} \ geq e ^ {\ downarrow a} \ δεξιά) \\ & \ leq E \ αριστερά [e ^ { t X} \ δεξιά] ε ^ {- ta} \ τέλος {στοίχιση}

as

M (t) = E \ αριστερά [e ^ {LX} \ δεξιά]

με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να γράψουμε για t <0 ως

\ start {aligned} P \ {X \ leq a \} & = P \ αριστερά \ {e ^ {IX} \ geq e ^ {[\ alpha} \ δεξιά \} \\ & \ leq E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] ε ^ {- ta} \ τέλος {στοίχιση}

Έτσι, το Chernoff δεσμεύεται να οριστεί ως

\ begin {array} {ll} P \ {X \ geq a \} \ leq e ^ {- f \ tau} M (t) & \ text {για όλους} t> 0 \\ P \ {X \ leq a \} \ leq e ^ {- \ pi \ tau} M (t) & \ text {για όλους} t <0 \ end {array}

Αυτή η ανισότητα αντιπροσωπεύει όλες τις τιμές του θετικού ή αρνητικού.

Το Chernoff οριοθετεί την τυπική τυπική τυχαία μεταβλητή

Το Chernoff οριοθετεί την τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή της οποίας η λειτουργία δημιουργίας ροπής

Μ (t) = e ^ {e ^ {2} / 2}

is

P \ {Z \ geq a \ rangle \ leq e ^ {- ta} e ^ {t ^ {2} / 2} \ quad \ text {για όλους} \ quad t> 0

Έτσι, ελαχιστοποιώντας αυτήν την ανισότητα και τους όρους ισχύος από τη δεξιά πλευρά δίνει> 0

P \ {Z \ geq a \} \ simeq e ^ {- \ lambda ^ {2} / 2}

και για <0 είναι

P \ {Z \ leq a \} \ leqq e ^ {- \ alpha ^ {2} / 2}

Το Chernoff οριοθετεί την τυχαία μεταβλητή Poisson

Το Chernoff οριοθετεί την τυχαία μεταβλητή Poisson της οποίας η λειτουργία δημιουργίας στιγμής

M (t) = e ^ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {\ prime} -1 \ δεξιά)}

is

P \ {X \ geq i \} \ leq e ^ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά)} e ^ {- it} \ quad t> 0

Έτσι, ελαχιστοποιώντας αυτήν την ανισότητα και τους όρους ισχύος από τη δεξιά πλευρά δίνει> 0

P \ {X \ geq i \} \ leq e ^ {\ lambda \ omega / \ lambda-1)} \ αριστερά (\ frac {\ lambda} {i} \ δεξιά)

και θα ήταν

P \ {X \ geq i \} \ leq \ frac {e ^ {- 2} (e \ lambda) ^ {i}} {l ^ {i}}

Παράδειγμα σχετικά με το Chernoff Bounds

Σε ένα παιχνίδι εάν ένας παίκτης είναι εξίσου πιθανό είτε να κερδίσει είτε να χάσει το παιχνίδι ανεξάρτητα από οποιαδήποτε προηγούμενη βαθμολογία, βρείτε το chernoff δεσμευμένο για την πιθανότητα

Λύση: Αφήστε το Xi δηλώστε τη νίκη του παίκτη τότε η πιθανότητα θα είναι

P \ αριστερά \ {X_ {i} = 1 \ δεξιά \} = P \ αριστερά \ {X_ {i} = - 1 \ δεξιά \} = \ frac {1} {2}

για την ακολουθία του n παίζει let

S_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}

οπότε η λειτουργία δημιουργίας στιγμής θα είναι

E \ αριστερά [e ^ {\ ell X} \ δεξιά] = \ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}

εδώ χρησιμοποιώντας τις επεκτάσεις εκθετικών όρων

\ start {aligned} e ^ {I} + e ^ {- l} & = 1 + t + \ frac {t ^ {2}} {2!} + \ frac {t ^ {3}} {3!} + \ cdots + \ αριστερά (1-t + \ frac {t ^ {2}} {2!} - \ frac {t ^ {3}} {3!} + \ cdots \ δεξιά) \\ & = 2 \ αριστερά \ { 1+ \ frac {t ^ {2}} {2!} + \ Frac {t ^ {4}} {4!} + \ Cdots \ δεξιά \} \\ & = 2 \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} \ frac {t ^ {2 n}} {(2 n)!} \\ & \ simeq 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ αριστερά (t ^ {2} / 2 \ δεξιά) ^ {n}} {n!} \ Quad \ operatorname {since} (2 n)! \ geq n! 2 ^ {n} \\ & = 2 e ^ {t ^ {2} / 2} \ end {στοίχιση}

έτσι έχουμε

E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] \ geq e ^ {t ^ {2} / 2}

τώρα εφαρμόζει την ιδιότητα της λειτουργίας δημιουργίας στιγμής

\ start {aligned} E \ αριστερά [e ^ {\ mathcal {S} _ {n}} \ δεξιά] & = \ αριστερά (E \ αριστερά [e ^ {LX} \ δεξιά] \ δεξιά) ^ {n} \ \ & \ leq e ^ {n ^ {2} / 2} \ end {στοίχιση}

Αυτό δίνει την ανισότητα

P \ αριστερά \ {S_ {n} \ geq a \ δεξιά \} \ leq e ^ {- \ alpha ^ {2} / 2 n} \ quad a> 0

ως εκ τούτου

P \ αριστερά \ {S_ {10} \ geq 6 \ δεξιά \} \ leq e ^ {- 36/20} \ περίπου 0.1653

Συμπέρασμα:

Συζητήθηκαν οι ανισότητες και το θεώρημα ορίων για τους μεγάλους αριθμούς και τα δικαιολογημένα παραδείγματα για τα όρια των πιθανοτήτων ελήφθησαν επίσης για να δουν την ιδέα. η έννοια εύκολα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, διαβάστε τα παρακάτω βιβλία ή για περισσότερα άρθρα σχετικά με την πιθανότητα, ακολουθήστε το δικό μας Σελίδες μαθηματικών.

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks