Στη θεωρία πιθανότητας το Η ανισότητα του Τσέμπισεφ Το κεντρικό θεώρημα ορίου ασχολείται με τις καταστάσεις όπου θέλουμε να βρούμε την κατανομή πιθανότητας αθροίσματος μεγάλων αριθμών τυχαίων μεταβλητών σε περίπου κανονική κατάσταση, Πριν κοιτάξουμε τα θεώρηματα ορίου βλέπουμε μερικές από τις ανισότητες, οι οποίες παρέχουν τα όρια για τις πιθανότητες εάν μέση και διακύμανση είναι γνωστή.
Η ανισότητα του Μάρκοφ
Η ανισότητα του Markov για την τυχαία μεταβλητή X που παίρνει μόνο θετική τιμή για> 0 είναι
για να το αποδείξετε για> 0 θεωρία
Από
λαμβάνοντας τώρα την προσδοκία αυτής της ανισότητας που έχουμε
ο λόγος είναι
που δίνει την ανισότητα του Markov για> 0 ως
Η ανισότητα του Τσέμπισεφ
Για το πεπερασμένο ο μέσος όρος και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X η ανισότητα του Chebyshev για k>0 είναι
όπου το sigma και mu αντιπροσωπεύει τη διακύμανση και τον μέσο όρο της τυχαίας μεταβλητής, για να το αποδείξουμε αυτό χρησιμοποιούμε το Η ανισότητα του Μάρκοφ ως η μη αρνητική τυχαία μεταβλητή
ως εκ τούτου, για την τιμή ενός σταθερού τετραγώνου
αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με
όπως ξεκάθαρα
Παραδείγματα ανισοτήτων του Markov και του Chebyshev:
- Εάν η παραγωγή συγκεκριμένου αντικειμένου λαμβάνεται ως τυχαία μεταβλητή για την εβδομάδα με μέσο όρο 50, βρείτε την πιθανότητα παραγωγής που υπερβαίνει τα 75 σε μια εβδομάδα και ποια θα ήταν η πιθανότητα εάν η παραγωγή μιας εβδομάδας είναι μεταξύ 40 και 60, υπό την προϋπόθεση ότι η διακύμανση για αυτό η εβδομάδα είναι 25;
Λύση: Εξετάστε την τυχαία μεταβλητή X για την παραγωγή του αντικειμένου για μια εβδομάδα, στη συνέχεια, για να βρείτε την πιθανότητα παραγωγής που υπερβαίνει τα 75 που θα χρησιμοποιήσουμε Η ανισότητα του Μάρκοφ as
Τώρα η πιθανότητα για παραγωγή μεταξύ 40 και 60 με διακύμανση 25 θα χρησιμοποιήσουμε Η ανισότητα του Τσέμπισεφ as
so
Αυτό δείχνει την πιθανότητα για την εβδομάδα εάν η παραγωγή είναι μεταξύ 40 και 60 είναι 3/4.
2. Δείξτε ότι το η ανισότητα του chebyshev που παρέχει ανώτερο όριο στην πιθανότητα δεν είναι ιδιαίτερα πιο κοντά στην πραγματική τιμή της πιθανότητας.
Λύση:
Λάβετε υπόψη ότι η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται ομοιόμορφα με μέση τιμή 5 και διακύμανση 25/3 στο διάστημα (0,1) και μετά από το η ανισότητα του chebyshev μπορούμε να γράψουμε
αλλά η πραγματική πιθανότητα θα είναι
που απέχει πολύ από την πραγματική πιθανότητα ομοίως αν λάβουμε την τυχαία μεταβλητή Χ ως κανονικά κατανεμημένη με μέσο όρο και διακύμανση τότε Η ανισότητα του Τσέμπισεφ θα είναι
αλλά η πραγματική πιθανότητα είναι
Αδύναμος νόμος μεγάλων αριθμών
Ο ασθενής νόμος για την ακολουθία τυχαίων μεταβλητών θα ακολουθηθεί από το αποτέλεσμα που Η ανισότητα του Τσέμπισεφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εργαλείο για αποδείξεις, για παράδειγμα για την απόδειξη
εάν η διακύμανση είναι μηδέν, είναι οι μόνες τυχαίες μεταβλητές που έχουν διακυμάνσεις ίσες με 0 είναι εκείνες που είναι σταθερές με πιθανότητα 1, έτσι Η ανισότητα του Τσέμπισεφ για n μεγαλύτερο από ή ίσο με 1
as
από τη συνέχεια της πιθανότητας
που αποδεικνύει το αποτέλεσμα.
για να το αποδείξουμε αυτό υποθέτουμε ότι η διακύμανση είναι επίσης πεπερασμένη για κάθε τυχαία μεταβλητή στην ακολουθία, έτσι η προσδοκία και η διακύμανση
τώρα από το Η ανισότητα του Τσέμπισεφ το άνω όριο της πιθανότητας ως
που θα τείνει στο άπειρο
Θεώρημα Κεντρικού Ορίου
Η καλύτερη κεντρικό θεώρημα ορίου είναι ένα από τα σημαντικά αποτελέσματα στη θεωρία πιθανότητας καθώς δίνει την κατανομή στο άθροισμα μεγάλων αριθμών που είναι περίπου φυσιολογικό διανομή Εκτός από τη μέθοδο για την εύρεση των κατά προσέγγιση πιθανοτήτων για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το κεντρικό όριο θεώρημα δείχνει επίσης τις εμπειρικές συχνότητες τόσων πολλών φυσικών πληθυσμών παρουσιάζουν καμπάνες σε σχήμα καμπάνιας, κανονικές καμπύλες.
«Εάν η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών Z1,Z2,…. έχουν τη λειτουργία διανομής και τη λειτουργία δημιουργίας ροπής ως FZn και Μzn τότε
Θεώρημα Κεντρικού Ορίου: Για την ακολουθία ταυτόσημων κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X1,X2,……. καθένα από τα οποία έχει το μέσο μ και διακύμανση σ2 τότε η κατανομή του αθροίσματος
τείνει στο κανονικό κανονικό όπως το n τείνει στο άπειρο για να είναι πραγματικές τιμές
Απόδειξη: Για να αποδείξετε το αποτέλεσμα θεωρήστε το μέσο όρο ως μηδέν και τη διακύμανση ως ένα δηλαδή μ = 0 & σ2= 1 και το λειτουργία δημιουργίας στιγμής για το Χi υπάρχει και έχει πεπερασμένη αξία, ώστε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για την τυχαία μεταβλητή Xi/ √n θα είναι
στη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για το άθροισμα ΣXi/ √n θα είναι
Τώρα ας πάρουμε L (t) = logM (t)
so
για να δείξουμε την απόδειξη που δείχνουμε πρώτα
δείχνοντας την ισοδύναμη μορφή του
αφού
Ως εκ τούτου, αυτό δείχνει το αποτέλεσμα για το μέσο μηδέν και τη διακύμανση 1, και το ίδιο αποτέλεσμα ακολουθεί και για τη γενική περίπτωση λαμβάνοντας επίσης
και για κάθε ένα που έχουμε
Παράδειγμα Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου
Για να υπολογίσει την απόσταση του έτους φωτός ενός αστεριού από το εργαστήριο ενός αστρονόμου, χρησιμοποιεί μερικές τεχνικές μέτρησης, αλλά λόγω αλλαγής της ατμόσφαιρας κάθε φορά η απόσταση που μετριέται δεν είναι ακριβής, αλλά με κάποιο λάθος, ώστε να βρει την ακριβή απόσταση που σχεδιάζει να παρατηρήστε συνεχώς σε μια ακολουθία και τον μέσο όρο αυτών των αποστάσεων ως την εκτιμώμενη απόσταση. Εάν λάβει υπόψη τις τιμές της μέτρησης πανομοιότυπα κατανεμημένων και ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μέσο d και διακύμανση 4 έτη φωτός, βρείτε τον αριθμό των μετρήσεων που πρέπει να κάνετε για να λάβετε το σφάλμα 0.5 στην εκτιμώμενη και πραγματική αξία;
Λύση: Ας θεωρήσουμε τις μετρήσεις ως ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στην ακολουθία X1,X2,…….Χn έτσι από το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου μπορούμε να γράψουμε
που είναι η προσέγγιση σε τυπικό κανονική κατανομή οπότε η πιθανότητα θα είναι
έτσι για να πάρει την ακρίβεια της μέτρησης στο 95 τοις εκατό, ο αστρονόμος θα πρέπει να μετρά n * αποστάσεις όπου
έτσι από τον κανονικό πίνακα διανομής μπορούμε να το γράψουμε ως
που λέει ότι η μέτρηση πρέπει να γίνει για 62 φορές, αυτό μπορεί επίσης να παρατηρηθεί με τη βοήθεια του Η ανισότητα του Τσέμπισεφ παίρνοντας
έτσι η ανισότητα οδηγεί σε
ως εκ τούτου για το n = 16 / 0.05 = 320 που δίνει βεβαιότητα ότι θα υπάρχει μόνο σφάλμα 5% στη μέτρηση της απόστασης του αστεριού από το εργαστήριο των παρατηρήσεων.
2. Ο αριθμός των μαθητών που γίνονται δεκτοί στο μάθημα μηχανικής κατανέμεται Poisson με μέσο όρο 100, αποφασίστηκε ότι εάν οι μαθητές που έχουν εισαχθεί είναι 120 ή περισσότεροι η διδασκαλία θα γίνεται σε δύο ενότητες διαφορετικά σε μία ενότητα μόνο, ποια θα είναι η πιθανότητα ότι θα υπάρξει να είστε δύο ενότητες για το μάθημα;
Λύση: Ακολουθώντας τη διανομή Poisson, θα είναι η ακριβής λύση
η οποία προφανώς δεν δίνει τη συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, Εάν θεωρήσουμε την τυχαία μεταβλητή X όπως οι μαθητές παραδέχθηκαν τότε από το κεντρικό θεώρημα ορίου
Που μπορεί να είναι
που είναι η αριθμητική τιμή.
3. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι το άθροισμα σε δέκα κύβους όταν κυλήσει είναι μεταξύ 30 και 40 συμπεριλαμβανομένων 30 και 40;
Λύση: Εδώ θεωρούμε τον κύβο ως Χi για δέκα τιμές του i. ο μέσος όρος και η διακύμανση θα είναι
ακολουθώντας έτσι το κεντρικό θεώρημα ορίου μπορούμε να γράψουμε
που είναι η απαιτούμενη πιθανότητα.
4. Για τις ομοιόμορφα κατανεμημένες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Xi στο διάστημα (0,1) ποια θα είναι η προσέγγιση της πιθανότητας
Λύση: Από τη διανομή Unifrom γνωρίζουμε ότι ο μέσος όρος και η διακύμανση θα είναι
Τώρα χρησιμοποιώντας το κεντρικό θεώρημα ορίου μπορούμε
έτσι η άθροιση της τυχαίας μεταβλητής θα είναι 14 τοις εκατό.
5. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο αξιολογητής της εξέτασης θα δώσει βαθμούς θα είναι 25 εξετάσεις στην έναρξη 450 λεπτών, εάν υπάρχουν 50 εξετάσεις των οποίων ο χρόνος βαθμολογίας είναι ανεξάρτητος με μέσο όρο 20 λεπτά και τυπική απόκλιση 4 λεπτά.
Λύση: Εξετάστε το χρόνο που απαιτείται για να βαθμολογήσετε την εξέταση με την τυχαία μεταβλητή Xi έτσι θα είναι η τυχαία μεταβλητή X
δεδομένου ότι αυτή η εργασία για 25 εξετάσεις είναι περίπου 450 λεπτά
εδώ χρησιμοποιώντας το κεντρικό θεώρημα ορίου
που είναι η απαιτούμενη πιθανότητα.
Θεώρημα Κεντρικού Ορίου για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές
Για την ακολουθία που δεν διανέμεται πανομοιότυπα αλλά έχει ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει τη μέση μ και διακύμανση σ2 αρκεί να ικανοποιεί
- κάθε Χi είναι ομοιόμορφα οριοθετημένο
- το άθροισμα των διακυμάνσεων είναι άπειρο
Ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών
Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών είναι πολύ κρίσιμη έννοια του θεωρία πιθανότητας που λέει ότι ο μέσος όρος της ακολουθίας της κοινώς κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής με πιθανότητα ένα να συγκλίνει στον μέσο όρο της ίδιας κατανομής
Δήλωση: Για την ακολουθία του ταυτόσημα διανέμονται και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X1,X2, ……. καθένα από τα οποία έχει το πεπερασμένο μέσο με πιθανότητα ένα τότε
Απόδειξη: Για να το αποδείξετε αυτό θεωρήστε ότι ο μέσος όρος κάθε τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν και η σειρά
τώρα για αυτό θεωρήστε τη δύναμη αυτού ως
μετά την επέκταση των όρων της δεξιάς πλευράς έχουμε τους όρους της φόρμας
δεδομένου ότι αυτά είναι ανεξάρτητα, έτσι ο μέσος όρος αυτών θα είναι
με τη βοήθεια του συνδυασμού του ζευγαριού θα γίνει τώρα η επέκταση της σειράς
αφού
so
παίρνουμε
Αυτό υποδηλώνει την ανισότητα
ως εκ τούτου
Με τη σύγκλιση της σειράς δεδομένου ότι η πιθανότητα κάθε τυχαίας μεταβλητής είναι έτσι
αφού
Αν ο μέσος όρος κάθε τυχαίας μεταβλητής δεν είναι ίσος με μηδέν τότε με απόκλιση και πιθανότητα μπορούμε να το γράψουμε ως
or
που απαιτείται αποτέλεσμα.
Ανισότητα Chebyshev μίας όψης
Η μονόπλευρη ανισότητα Chebysheve για την τυχαία μεταβλητή X με μέση μηδενική και πεπερασμένη διακύμανση εάν> 0 είναι
για να το αποδείξετε αυτό για το b> 0 αφήστε την τυχαία μεταβλητή X ως
που δίνει
έτσι χρησιμοποιώντας το Η ανισότητα του Μάρκοφ
που δίνει την απαιτούμενη ανισότητα. για το μέσο και τη διακύμανση μπορούμε να το γράψουμε ως
Αυτό περαιτέρω μπορεί να γραφτεί ως
Παράδειγμα:
Βρείτε το ανώτατο όριο της πιθανότητας ότι η παραγωγή της εταιρείας που διανέμεται τυχαία θα είναι τουλάχιστον 120, εάν η παραγωγή αυτής της συγκεκριμένης εταιρείας έχει μέση τιμή 100 και διακύμανση 400.
Λύση:
Χρησιμοποιώντας τη μονόπλευρη ανεπάρκεια chebyshev
έτσι αυτό δίνει την πιθανότητα της παραγωγής μέσα σε μια εβδομάδα τουλάχιστον 120 είναι 1/2, τώρα το όριο αυτής της πιθανότητας θα επιτευχθεί Η ανισότητα του Μάρκοφ
που δείχνει το ανώτερο όριο για την πιθανότητα.
Παράδειγμα:
Εκατό ζευγάρια λαμβάνονται από διακόσια άτομα με εκατό άνδρες και εκατό γυναίκες βρίσκουν το ανώτατο όριο της πιθανότητας ότι το πολύ τριάντα ζευγάρια θα αποτελούνται από άνδρες και γυναίκες.
Λύση:
Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Xi as
έτσι το ζεύγος μπορεί να εκφραστεί ως
Δεδομένου ότι κάθε άντρας μπορεί εξίσου πιθανό να ζευγαρώσει με τους υπόλοιπους ανθρώπους, στους οποίους εκατό είναι γυναίκες
με τον ίδιο τρόπο εάν τα i και j δεν είναι ίδια τότε
as
ως εκ τούτου έχουμε
χρησιμοποιώντας τα chebyshev ανισότητα
που λέει ότι η πιθανότητα σύζευξης 30 ανδρών με γυναίκες είναι μικρότερη από έξι, έτσι μπορούμε να βελτιώσουμε το όριο χρησιμοποιώντας μονόπλευρη ανισότητα chebyshev
Τσέρνοφ Δεσμώτης
Εάν η λειτουργία δημιουργίας στιγμής είναι ήδη γνωστή τότε
as
με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να γράψουμε για t <0 ως
Έτσι, το Chernoff δεσμεύεται να οριστεί ως
Αυτή η ανισότητα αντιπροσωπεύει όλες τις τιμές του θετικού ή αρνητικού.
Το Chernoff οριοθετεί την τυπική τυπική τυχαία μεταβλητή
Το Chernoff έχει όρια για το πρότυπο κανονική τυχαία μεταβλητή του οποίου η λειτουργία παραγωγής ροπής
is
Έτσι, ελαχιστοποιώντας αυτήν την ανισότητα και τους όρους ισχύος από τη δεξιά πλευρά δίνει> 0
και για <0 είναι
Το Chernoff οριοθετεί την τυχαία μεταβλητή Poisson
Το Chernoff οριοθετεί την τυχαία μεταβλητή Poisson της οποίας η λειτουργία δημιουργίας στιγμής
is
Έτσι, ελαχιστοποιώντας αυτήν την ανισότητα και τους όρους ισχύος από τη δεξιά πλευρά δίνει> 0
και θα ήταν
Παράδειγμα σχετικά με το Chernoff Bounds
Σε ένα παιχνίδι εάν ένας παίκτης είναι εξίσου πιθανό είτε να κερδίσει είτε να χάσει το παιχνίδι ανεξάρτητα από οποιαδήποτε προηγούμενη βαθμολογία, βρείτε το chernoff δεσμευμένο για την πιθανότητα
Λύση: Αφήστε το Xi δηλώστε τη νίκη του παίκτη τότε η πιθανότητα θα είναι
για την ακολουθία του n παίζει let
οπότε η λειτουργία δημιουργίας στιγμής θα είναι
εδώ χρησιμοποιώντας τις επεκτάσεις εκθετικών όρων
έτσι έχουμε
τώρα εφαρμόζει την ιδιότητα της λειτουργίας δημιουργίας στιγμής
Αυτό δίνει την ανισότητα
ως εκ τούτου
Συμπέρασμα:
Συζητήθηκαν οι ανισότητες και το θεώρημα ορίων για τους μεγάλους αριθμούς και τα δικαιολογημένα παραδείγματα για τα όρια των πιθανοτήτων ελήφθησαν επίσης για να δουν την ιδέα. η έννοια εύκολα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, διαβάστε τα παρακάτω βιβλία ή για περισσότερα άρθρα σχετικά με την πιθανότητα, ακολουθήστε το δικό μας Σελίδες μαθηματικών.
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
