Διανομή υπό όρους: 7 ενδιαφέροντα γεγονότα που πρέπει να γνωρίζετε

Υπό όρους διανομή

   Είναι πολύ ενδιαφέρον να συζητήσουμε την υπό όρους περίπτωση διανομής όταν δύο τυχαίες μεταβλητές ακολουθούν την κατανομή που ικανοποιεί η μία δεδομένη την άλλη, πρώτα βλέπουμε εν συντομία την υπό όρους κατανομή και στην περίπτωση τυχαίων μεταβλητών, διακριτών και συνεχών και μετά μελετώντας μερικές προϋποθέσεις εστιάζουμε στην υπό όρους προσδοκίες.

Διακριτή κατανομή υπό όρους

     Με τη βοήθεια της συνάρτησης μάζας πιθανότητας άρθρωσης στην κατανομή αρθρώσεων ορίζουμε την κατανομή υπό όρους για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές X και Y χρησιμοποιώντας την πιθανότητα υπό όρους για το Χ δεδομένου του Y ως κατανομή με τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας

1
2.PNG
3.PNG

υπό την προϋπόθεση ότι η πιθανότητα του παρονομαστή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, σε παρόμοια μπορούμε να το γράψουμε ως

4.PNG
5.PNG

στην κοινή πιθανότητα εάν τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές τότε αυτό θα μετατραπεί σε

6.PNG
7.PNG
8.PNG

έτσι η διακριτή κατανομή υπό όρους ή κατανομή υπό όρους για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές X δεδομένου το Υ είναι η τυχαία μεταβλητή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας με παρόμοιο τρόπο για το δεδομένο Υ που μπορούμε να προσδιορίσουμε

Παράδειγμα διακριτής κατανομής υπό όρους

  1. Βρείτε το συνάρτηση μάζας πιθανότητας τυχαίας μεταβλητής X δίνεται Y=1, εάν η κοινή συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y έχει κάποιες τιμές όπως

p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

Τώρα πρώτα απ 'όλα για την τιμή Y = 1 που έχουμε

9.PNG

χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης πιθανότητας μάζας

10.PNG
11.PNG
12.PNG

έχουμε

13.PNG

και

14.PNG
  • λάβετε την υπό όρους κατανομή του X δεδομένου X + Y = n, όπου X και Y είναι Poisson διανομές με τις παραμέτρους λ1 και λ2 και τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές

Δεδομένου ότι οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, έτσι η υπό όρους κατανομή θα έχει πιθανότητα μάζας ως

15.PNG
16.PNG
17.PNG

αφού το άθροισμα της τυχαίας μεταβλητής Poisson είναι πάλι Poisson έτσι

18.PNG
19.PNG
20.PNG

Έτσι, η υπό όρους κατανομή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας θα είναι υπό όρους κατανομή για τέτοιες κατανομές Poisson. Η παραπάνω περίπτωση μπορεί να γενικευτεί για περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές.

Συνεχής κατανομή υπό όρους

   Η συνεχής υπό όρους κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου y που έχει ήδη οριστεί είναι η συνεχής κατανομή με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

21.PNG

Η πυκνότητα του παρονομαστή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, η οποία είναι για τη λειτουργία συνεχούς πυκνότητας

22.PNG
23.PNG

έτσι η πιθανότητα για μια τέτοια συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους είναι

24.PNG

Με τον ίδιο τρόπο όπως σε διακριτό εάν τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητα σε συνεχή, τότε επίσης

25.PNG

και ως εκ τούτου

px 26
px 28 Αντίγραφο 1

έτσι μπορούμε να το γράψουμε ως

px 29 Αντίγραφο 1

Παράδειγμα συνεχούς κατανομής υπό όρους

  1. Υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους της τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται Y εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης με το ανοιχτό διάστημα (0,1) δίνεται από
px 30 Αντίγραφο 1

Εάν για την τυχαία μεταβλητή X δίνεται Y εντός (0,1) τότε χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας έχουμε

px 31
px 32
px 33
px 34
px 35
  • Υπολογίστε την πιθανότητα υπό όρους
px 36

εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης δίνεται από

px 37

Για να βρούμε την πιθανότητα υπό όρους πρώτα απαιτούμε τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους, έτσι από τον ορισμό θα ήταν

px 38
px 39
px 40

τώρα χρησιμοποιώντας αυτήν τη συνάρτηση πυκνότητας κατά την πιθανότητα το υπό όρους πιθανότητα is

100
101
px 41

Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

  Γνωρίζουμε ότι η Bivariate κανονική κατανομή των κανονικών τυχαίων μεταβλητών X και Y με τα αντίστοιχα μέσα και διακυμάνσεις καθώς οι παράμετροι έχουν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης

έτσι για να βρούμε την υπό όρους κατανομή για μια τέτοια διαφοροποιημένη κανονική κατανομή για το Χ δεδομένου το Υ ορίζεται ακολουθώντας τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης

Υπό όρους διανομή
Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

Παρατηρώντας αυτό μπορούμε να πούμε ότι αυτό κατανέμεται κανονικά με το μέσο όρο

px 42

και διακύμανση

px 43

με τον ίδιο τρόπο, η συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους για το Υ δεδομένου X που έχει ήδη καθοριστεί θα αλλάζει τις θέσεις των παραμέτρων του Χ με το Υ

Η συνάρτηση οριακής πυκνότητας για το Χ μπορούμε να αποκτήσουμε από την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους χρησιμοποιώντας την τιμή της σταθεράς

Υπό όρους διανομή
Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

ας αντικαταστήσουμε το ακέραιο

px 44

η συνάρτηση πυκνότητας θα είναι τώρα

Image3 1

από τη συνολική τιμή του

Image4

από τον ορισμό της πιθανότητας, ώστε η συνάρτηση πυκνότητας να είναι τώρα

Image5

η οποία δεν είναι παρά η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητής X με τη συνήθη μέση τιμή και διακύμανση ως παραμέτρους.

Κοινή κατανομή πιθανότητας της λειτουργίας τυχαίων μεταβλητών

  Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε την κοινή κατανομή πιθανότητας δύο τυχαίων μεταβλητών, τώρα εάν έχουμε συναρτήσεις τέτοιων τυχαίων μεταβλητών, τότε ποια θα ήταν η κοινή κατανομή πιθανότητας αυτών των συναρτήσεων, πώς να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής επειδή έχουμε καταστάσεις πραγματικής ζωής όπου έχει συναρτήσεις των τυχαίων μεταβλητών,

Εάν Υ1 και Υ2 είναι οι συναρτήσεις των τυχαίων μεταβλητών X1 και Χ2 αντίστοιχα οι οποίες είναι από κοινού συνεχείς τότε η συνάρτηση συνεχούς πυκνότητας των δύο αυτών λειτουργιών θα είναι

px 45

όπου Ιακωβιανός

px 46

και Υ1 =g1 (X1, Χ2) και Υ2 =g2 (X1, Χ2) για ορισμένες συναρτήσεις ζ1 και ζ2 . Εδώ g1 και ζ2 ικανοποιεί τους όρους του Ιακωβιανού ως συνεχή και έχει συνεχή μερική παράγωγα.

Τώρα η πιθανότητα για τέτοιες συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών θα είναι

Image7

Παραδείγματα κοινής πιθανότητας κατανομής της λειτουργίας τυχαίων μεταβλητών

  1. Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας των τυχαίων μεταβλητών Y1 =X1 +X2 και Υ2=X1 -X2 , όπου Χ1 και Χ2 είναι η από κοινού συνεχής με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης. συζητήστε επίσης για τη διαφορετική φύση της διανομής.

Εδώ πρώτα θα ελέγξουμε τον Jacobian

px 47

από g1(x1, Χ2) = x1 +x2  και ζ2(x1, Χ2) = x1 - Χ2 so

px 48

απλοποιώντας το Y1 =X1 +X2 και Υ2=X1 -X2 , για την τιμή του Χ1 = 1/2 (Υ1 +Y2 ) και Χ2 = Υ1 -Y2 ,

px 49

εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

px 50

ή εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με συνήθεις παραμέτρους

Image10

ή εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές τότε

px 51
px 52
px 53
  • Εάν τα Χ και Υ είναι οι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές μεταβλητές όπως δίνεται
Υπό όρους διανομή

υπολογίστε την κοινή κατανομή για τις αντίστοιχες πολικές συντεταγμένες.

Θα μετατρέψουμε με τη συνήθη μετατροπή X και Y σε r και θ ως

px 54

έτσι τα μερική παράγωγα αυτής της συνάρτησης θα είναι

px 55
px 56
px 57
px 58

έτσι ο Jacobian που χρησιμοποιεί αυτές τις λειτουργίες είναι

px 59

Εάν και οι δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι μεγαλύτερες από το μηδέν, τότε η συνάρτηση συνάρτησης πυκνότητας υπό όρους είναι

px 60

τώρα η μετατροπή της καρτεσιανής συντεταγμένης σε πολική συντεταγμένη χρησιμοποιώντας

px 61

άρα η πυκνότητα πιθανότητας λειτουργία για τις θετικές τιμές θα είναι

px 62

για το διαφορετικό συνδυασμοί των Χ και Υ οι συναρτήσεις πυκνότητας με παρόμοιους τρόπους είναι

px 63
px 64
px 65

τώρα από τον μέσο όρο των παραπάνω πυκνότητας μπορούμε να δηλώσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας ως

px 66

και η συνάρτηση οριακής πυκνότητας από αυτήν την πυκνότητα συνδέσμου των πολικών συντεταγμένων στο διάστημα (0, 2π)

px 67
  • Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης για τη λειτουργία τυχαίων μεταβλητών

U = X + Y και V = X / (X + Y)

όπου Χ και Υ είναι το κατανομή γάμμα με παραμέτρους (α + λ) και (β +λ) αντίστοιχα.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του κατανομή γάμμα και συνάρτηση κοινής κατανομής η συνάρτηση πυκνότητας για την τυχαία μεταβλητή X και Y θα είναι

px 68
px 69

θεωρήστε τις δεδομένες λειτουργίες ως

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

έτσι είναι η διαφοροποίηση αυτών των λειτουργιών

px 70
px 71
px 72

τώρα είναι ο Ιακωβιανός

px 73

αφού απλοποιηθούν οι δοσμένες εξισώσεις οι μεταβλητές x=uv και y=u(1-v) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

px 74
px 75

μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση

px 76
px 77
  • Υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης για

Y1 =X1 +X2+ Χ3 , ΚΑΙ2 =X1- Χ2 , ΚΑΙ3 =X1 - Χ3

όπου οι τυχαίες μεταβλητές X1 , X2, X3 είναι το πρότυπο κανονικές τυχαίες μεταβλητές.

Τώρα ας υπολογίσουμε το Jacobian χρησιμοποιώντας μερικά παράγωγα του

Y1 =X1 +X2+ Χ3 , ΚΑΙ2 =X1- Χ2 , ΚΑΙ3 =X1 - Χ3

as

px 78

απλοποίηση για τις μεταβλητές X1 , Χ2 και Χ3

X1 = (Υ1 + Υ2 + Υ3) / 3, Χ2 = (Υ1 - 2Υ2 + Υ3) / 3, Χ3 = (Υ1 + Υ2 -2 Υ3) / 3

μπορούμε να γενικεύσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων ως

px 79

έτσι έχουμε

px 80

για την κανονική μεταβλητή είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σύνδεσης

px 81

ως εκ τούτου

px 82

όπου είναι ο δείκτης

px 83
px 84

υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης του Υ1 …… Υn και συνάρτηση οριακής πυκνότητας για το Υn όπου

px 85

και Χi είναι ανεξάρτητες ταυτόσημες κατανεμημένες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με την παράμετρο λ.

για τις τυχαίες μεταβλητές της φόρμας

Y1 =X1 , ΚΑΙ2 =X1 + Χ2 , ……, Υn =X1 + ……+ Χn

ο Ιακώβιος θα είναι της φόρμας

Image11

και ως εκ τούτου η τιμή του είναι μία και η συνάρτηση πυκνότητας συνδέσμου για την εκθετική τυχαία μεταβλητή

px 86

και τις τιμές της μεταβλητής Xi θα είναι

px 87

έτσι είναι η συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων

px 88
px 89
px 90
px 91

Τώρα για να βρείτε τη συνάρτηση οριακής πυκνότητας του Yn θα ενσωματώσουμε ένα προς ένα ως

px 92
px 93

και

px 94 1
px 94 2

σαν σοφός

px 96

αν συνεχίσουμε αυτήν τη διαδικασία θα πάρουμε

px 97

που είναι η συνάρτηση οριακής πυκνότητας.

Συμπέρασμα:

Η υπό όρους διανομή για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή με διαφορετικά παραδείγματα λαμβάνοντας υπόψη ορισμένους από τους τύπους αυτών των τυχαίων μεταβλητών που συζητήθηκαν, όπου η ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή παίζει σημαντικό ρόλο. Επιπλέον η άρθρωση κατανομή για τη συνάρτηση κοινών συνεχών τυχαίων μεταβλητών εξηγείται επίσης με κατάλληλα παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, μεταβείτε στους παρακάτω συνδέσμους.

Για περισσότερες αναρτήσεις στα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH