Υπό όρους διανομή | Οι 5 σημαντικές του ιδιότητες

Υπό όρους διανομή

   Είναι πολύ ενδιαφέρον να συζητήσουμε την υπό όρους περίπτωση διανομής όταν δύο τυχαίες μεταβλητές ακολουθούν την κατανομή που ικανοποιεί η μία δεδομένη την άλλη, πρώτα βλέπουμε εν συντομία την υπό όρους κατανομή και στην περίπτωση τυχαίων μεταβλητών, διακριτών και συνεχών και μετά μελετώντας μερικές προϋποθέσεις εστιάζουμε στην υπό όρους προσδοκίες.

Διακριτή κατανομή υπό όρους

     Με τη βοήθεια της συνάρτησης μάζας πιθανότητας άρθρωσης στην κατανομή αρθρώσεων ορίζουμε την κατανομή υπό όρους για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές X και Y χρησιμοποιώντας την πιθανότητα υπό όρους για το Χ δεδομένου του Y ως κατανομή με τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας

p_ {X | Y} (x | y) = P \ αριστερά {X = x | Y = y \ δεξιά}

= \ frac {P \ αριστερά {X = x, Y = y \ δεξιά}} {P \ αριστερά {Y = y \ δεξιά}}

= \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

υπό την προϋπόθεση ότι η πιθανότητα του παρονομαστή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, σε παρόμοια μπορούμε να το γράψουμε ως

F_ {X | Y} (x | y) = P \ αριστερά {X \ leq x | Y \ leq y \ δεξιά}

= \ sum_ {a \ leq x} p_ {X | Y} (α | y)

στην κοινή πιθανότητα εάν τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές τότε αυτό θα μετατραπεί σε

p_ {X | Y} (x | y) = P \ αριστερά {X = x | Y = y \ δεξιά}

= \ frac {P \ αριστερά {X = x, Y = y \ δεξιά}} {P \ αριστερά {Y = y \ δεξιά}}

= P \ αριστερά {X = x \ δεξιά}

έτσι η διακριτή κατανομή υπό όρους ή κατανομή υπό όρους για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές X δεδομένου το Υ είναι η τυχαία μεταβλητή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας με παρόμοιο τρόπο για το δεδομένο Υ που μπορούμε να προσδιορίσουμε

Παράδειγμα διακριτής κατανομής υπό όρους

  1. Βρείτε τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου Y = 1, εάν η συνάρτηση μάζας πιθανότητας αρθρώσεων για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y έχει ορισμένες τιμές ως

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Τώρα πρώτα απ 'όλα για την τιμή Y = 1 που έχουμε

p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5

χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης πιθανότητας μάζας

p_ {X | Y} (x | y) = P \ αριστερά {X = x | Y = y \ δεξιά}

= \ frac {P \ αριστερά {X = x, Y = y \ δεξιά}} {P \ αριστερά {Y = y \ δεξιά}}

= \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

έχουμε

p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}

p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}

  • λάβετε την υπό όρους κατανομή του X δεδομένου X + Y = n, όπου X και Y είναι Poisson διανομές με τις παραμέτρους λ1 και λ2 και τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές

Δεδομένου ότι οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, έτσι η υπό όρους κατανομή θα έχει πιθανότητα μάζας ως

P \ αριστερά {X = k | X + Y = n \ right} = \ frac {P \ left {X = k, X + Y = n \ right}} {P \ αριστερά {X + Y = n \ δεξιά} }

= \ frac {P \ αριστερά {X = k, X = n -k \ δεξιά}} {P \ αριστερά {X + Y = n \ δεξιά}}

= \ frac {P \ αριστερά {X = k \ δεξιά} P \ αριστερά {Y = nk \ δεξιά}} {P \ αριστερά {X + Y = n \ δεξιά}}

αφού το άθροισμα της τυχαίας μεταβλητής Poisson είναι πάλι Poisson έτσι

P \ αριστερά {X = k | X + Y = n \ δεξιά} = \ frac {e ^ {- \ lambda {1}} \ lambda {1} ^ {k}} {k!} \ Frac {e ^ { - \ lambda_ {2} ^ {}} \ lambda {2} ^ {nk}} {(nk)!} \ αριστερά [\ frac {e ^ {- (\ lambda {1} + \ lambda {2})} (\ lambda {1} + \ lambda _ {2}) ^ {n}} {n!} \ δεξιά] ^ {- 1}

= \ frac {n!} {(nk)! k!} \ frac {\ lambda {1} ^ {k} \ lambda {2} ^ {nk}} {(\ lambda {1} + \ lambda {2} ) ^ {n}}

= \ binom {n} {k} \ αριστερά (\ frac {\ lambda {1}} {\ lambda {1} + \ lambda {2}} \ δεξιά) ^ {k} \ αριστερά (\ frac {\ lambda { 2}} {\ lambda {1} + \ lambda {2}} \ δεξιά) ^ {nk}

Έτσι, η υπό όρους κατανομή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας θα είναι υπό όρους κατανομή για τέτοιες κατανομές Poisson. Η παραπάνω περίπτωση μπορεί να γενικευτεί για περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές.

Συνεχής κατανομή υπό όρους

   Η συνεχής υπό όρους κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου y που έχει ήδη οριστεί είναι η συνεχής κατανομή με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

Η πυκνότητα του παρονομαστή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, η οποία είναι για τη λειτουργία συνεχούς πυκνότητας

f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x, y) dxdy} {f_ {Y} (y) dy}

\ περίπου \ frac {P \ αριστερά {x \ leq X \ leq x + dx, y \ leq Y \ leq y + dy \ δεξιά}} {P \ αριστερά {y \ leq Y \ leq y + dy \ δεξιά}}

= P \ αριστερά {x \ leq X \ leq x + dx | y \ leq Y \ leq y + dy \ δεξιά}

έτσι η πιθανότητα για μια τέτοια συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους είναι

P \ αριστερά {X \ in A | Y = y \ δεξιά} = \ int_ {A} f_ {X | Y} (x | y) dx

Με τον ίδιο τρόπο όπως σε διακριτό εάν τα Χ και Υ είναι ανεξάρτητα σε συνεχή, τότε επίσης

f_ {X | Y} (x | y) dx = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)} = \ frac {f_ {X} (x) f_ {Y} (y) } {f_ {Y} (y)} = f_ {X} (x)

και ως εκ τούτου

\ frac {P \ αριστερά {x <X <x + dx | N = n \ δεξιά}} {dx} = \ frac {P \ αριστερά {N = n | x <X <x + dx \ δεξιά}} {P \ αριστερά {N = n \ δεξιά}} \ frac {P \ αριστερά {x <X <x + dx \ right}} {dx}

\ lim_ {dx \ to 0} \ frac {P \ αριστερά {x <X <x + dx | N = n \ δεξιά}} {dx} = \ frac {P \ αριστερά {N = n | X = x \ δεξιά }} {P \ αριστερά {N = n \ δεξιά}} f (x)

έτσι μπορούμε να το γράψουμε ως

f_ {X | N} (x | n) = \ frac {P \ αριστερά {N = n | X = x \ δεξιά}} {P \ αριστερά {N = n \ δεξιά}} f (x)

Παράδειγμα συνεχούς κατανομής υπό όρους

  1. Υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους της τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται Y εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης με το ανοιχτό διάστημα (0,1) δίνεται από

f (x, y) = \ begin {cases} \ frac {12} {5} x (2-xy) \ \ 0 <x <1, \ \ 0 <y <1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ αλλιώς \ τέλος {περιπτώσεις}

Εάν για την τυχαία μεταβλητή X δίνεται Y εντός (0,1) τότε χρησιμοποιώντας την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας έχουμε

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

= \ frac {f (x, y)} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) dx}

= \ frac {x (2-xy)} {\ int_ {0} ^ {1} x (2-xy) dx}

= \ frac {x (2-xy)} {\ frac {2} {3} - \ frac {y} {2}}

= \ frac {6x (2-xy)} {4-3y}

  • Υπολογίστε την πιθανότητα υπό όρους

P \ αριστερά {X> 1 | Y = y \ δεξιά}

εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης δίνεται από

f (x, y) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {y}} e ^ {- y}} {y} \ \ 0 <x <\ infty, \ \ 0 <y <\ infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ διαφορετικά \ τέλος {περιπτώσεις}

Για να βρούμε την πιθανότητα υπό όρους πρώτα απαιτούμε τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους, έτσι από τον ορισμό θα ήταν

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

= \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y} / y} {e ^ {- y} \ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y } dx}

= \ frac {1} {y} e ^ {- x / y}

τώρα χρησιμοποιώντας αυτήν τη συνάρτηση πυκνότητας κατά την πιθανότητα το υπό όρους πιθανότητα is

P \ αριστερά {X> 1 | Y = y \ δεξιά} = \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {y} e ^ {- x / y} dx

= e ^ {- x / y} \ lvert_ {1} ^ {\ infty}

= ε ^ {- 1 / ε}

Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

  Γνωρίζουμε ότι η Bivariate κανονική κατανομή των κανονικών τυχαίων μεταβλητών X και Y με τα αντίστοιχα μέσα και διακυμάνσεις καθώς οι παράμετροι έχουν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης

Υπό όρους διανομή
Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

έτσι για να βρούμε την υπό όρους κατανομή για μια τέτοια διαφοροποιημένη κανονική κατανομή για το Χ δεδομένου το Υ ορίζεται ακολουθώντας τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης

Υπό όρους διανομή
Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

Παρατηρώντας αυτό μπορούμε να πούμε ότι αυτό κατανέμεται κανονικά με το μέσο όρο

\ αριστερά (\ mu {x} + \ rho \ frac {\ sigma {x}} {\ sigma {y}} (y- \ mu {y}) \ δεξιά)

και διακύμανση

\ sigma _ {x} ^ {2} (1- \ rho ^ {2})

με τον ίδιο τρόπο, η συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους για το Υ δεδομένου X που έχει ήδη καθοριστεί θα αλλάζει τις θέσεις των παραμέτρων του Χ με το Υ

Η συνάρτηση οριακής πυκνότητας για το Χ μπορούμε να αποκτήσουμε από την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους χρησιμοποιώντας την τιμή της σταθεράς

Υπό όρους διανομή
Υπό όρους κατανομή της διμερούς κανονικής κατανομής

ας αντικαταστήσουμε το ακέραιο

w = \ frac {y- \ mu {y}} {\ sigma {y}}

η συνάρτηση πυκνότητας θα είναι τώρα

από τη συνολική τιμή του

από τον ορισμό της πιθανότητας, ώστε η συνάρτηση πυκνότητας να είναι τώρα

η οποία δεν είναι παρά η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητής X με τη συνήθη μέση τιμή και διακύμανση ως παραμέτρους.

Κοινή κατανομή πιθανότητας της λειτουργίας τυχαίων μεταβλητών

  Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε την κοινή κατανομή πιθανότητας δύο τυχαίων μεταβλητών, τώρα εάν έχουμε συναρτήσεις τέτοιων τυχαίων μεταβλητών, τότε ποια θα ήταν η κοινή κατανομή πιθανότητας αυτών των συναρτήσεων, πώς να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής επειδή έχουμε καταστάσεις πραγματικής ζωής όπου έχει συναρτήσεις των τυχαίων μεταβλητών,

Εάν Υ1 και Υ2 είναι οι συναρτήσεις των τυχαίων μεταβλητών X1 και Χ2 αντίστοιχα οι οποίες είναι από κοινού συνεχείς τότε η συνάρτηση συνεχούς πυκνότητας των δύο αυτών λειτουργιών θα είναι

f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}

όπου Ιακωβιανός

J (x_ {1}, x_ {2}) = \ begin {vmatrix} \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_1} & \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_2} \ \ \ \ \ frac { \ partial g_2} {\ partial x_1} & \ frac {\ partial g_2} {\ partial x_2} \ end {vmatrix} \ equiv \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_1} \ frac {\ partial g_2} {\ μερική x_2} - \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_2} \ frac {\ partial g_2} {\ partial x_1} \ neq 0

και Υ1 =g1 (X1, Χ2) και Υ2 =g2 (X1, Χ2) για ορισμένες λειτουργίες g1 και ζ2 . Εδώ g1 και ζ2 ικανοποιεί τους όρους του Ιακωβιανού ως συνεχή και έχει συνεχή μερική παράγωγα.

Τώρα η πιθανότητα για τέτοιες συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών θα είναι

Παραδείγματα κοινής πιθανότητας κατανομής της λειτουργίας τυχαίων μεταβλητών

  1. Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας των τυχαίων μεταβλητών Y1 =X1 +X2 και Υ2=X1 -X2 , όπου Χ1 και Χ2 είναι η από κοινού συνεχής με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης. συζητήστε επίσης για τη διαφορετική φύση της διανομής.

Εδώ πρώτα θα ελέγξουμε τον Jacobian

J (x_ {1}, x_ {2}) = \ begin {vmatrix} \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_1} & \ frac {\ partial g_1} {\ partial x_2} \ \\ \ frac {\ μερική g_2} {\ partial x_1} & \ frac {\ partial g_2} {\ partial x_2} \ end {vmatrix}

από g1(x1, Χ2) = x1 + x2  και ζ2(x1, Χ2) = x1 - Χ2 so

J (x_ {1}, x_ {2}) = \ begin {vmatrix} 1 & 1 \ \\ 1 & -1 \ end {vmatrix} = -2

απλοποιώντας το Y1 =X1 +X2 και Υ2=X1 -X2 , για την τιμή του X1 = 1/2 (Υ1 +Y2 ) και Χ2 = Υ1 -Y2 ,

f_{Y_{1}},<em>{Y</em>{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} - y_{2}}{2} \right )

εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

f_ {Y_ {1}, Y_ {2}} (y_ {1}, y_ {2}) = \ begin {cases} \ frac {1} {2} \ \ 0 \ leq y_ {1} + y_ {2 } \ leq 2 \ \, \ \ 0 \ leq y_ {1} - y_ {2} \ leq 2 \\ 0 \ \ αλλιώς \ τέλος {περιπτώσεις}

ή εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με συνήθεις παραμέτρους

ή εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές τότε

f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}

= \ frac {1} {4 \ pi} e ^ {- \ αριστερά (y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} \ δεξιά) / 4}

=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}

  • Εάν τα Χ και Υ είναι οι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές μεταβλητές όπως δίνεται
Υπό όρους διανομή

υπολογίστε την κοινή κατανομή για τις αντίστοιχες πολικές συντεταγμένες.

Θα μετατρέψουμε με τη συνήθη μετατροπή X και Y σε r και θ ως

g_ {1} (x, y) = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \ \ και \ \ \ theta = g_ {2} (x, y) = tan ^ {- 1} \ frac {y} {x}

έτσι τα μερική παράγωγα αυτής της συνάρτησης θα είναι

\ frac {\ partial g_ {1}} {\ partial x} = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

\ frac {\ partial g_ {2}} {\ partial x} = \ frac {1} {1+ (y / x) ^ {2}} \ αριστερά (\ frac {-y} {x ^ {2}} \ δεξιά) ^ {2} = \ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}

\ frac {\ partial g_ {1}} {\ partial y} = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

\ frac {\ partial g_ {2}} {\ partial y} = \ frac {1} {x \ αριστερά [1+ (y / x) ^ {2} \ δεξιά]} = \ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}

έτσι ο Jacobian που χρησιμοποιεί αυτές τις λειτουργίες είναι

J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}

Εάν και οι δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι μεγαλύτερες από το μηδέν, τότε η συνάρτηση συνάρτησης πυκνότητας υπό όρους είναι

f (x, y | X> 0, Y> 0) = \ frac {f (x, y)} {P (X> 0, Y> 0)} = \ frac {2} {\ pi} e ^ { - (x ^ {2} + y ^ {2}) / 2} \ \ x> 0, \ \ y> 0

τώρα η μετατροπή της καρτεσιανής συντεταγμένης σε πολική συντεταγμένη χρησιμοποιώντας

r = \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \ \ και \ \ \ theta = tan ^ {- 1} \ αριστερά (\ frac {y} {x} \ δεξιά)

έτσι θα είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τις θετικές τιμές

f (r, \ theta | X> 0, Y> 0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 0 <\ theta <\ frac {\ pi } {2}, \ \ 0 <r <\ infty

για τους διαφορετικούς συνδυασμούς των Χ και Υ οι συναρτήσεις πυκνότητας είναι παρόμοιοι

f (r, \ theta | X 0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ \ pi / 2 <\ theta <\ pi, \ \ 0 < r <\ infty

f (r, \ theta | X <0, Y <0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ \ pi <\ theta <3 \ pi / 2, \ \ 0 <r <\ infty

f (r, \ theta | X> 0, Y <0) = \ frac {2} {\ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 3 \ pi / 2 <\ theta <2 \ pi, \ \ 0 <r <\ infty

τώρα από τον μέσο όρο των παραπάνω πυκνότητας μπορούμε να δηλώσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας ως

f (r, \ theta) = \ frac {1} {2 \ pi} re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 0 <\ theta <2 \ pi, \ \ 0 <r <\ infty

και η συνάρτηση οριακής πυκνότητας από αυτήν την πυκνότητα συνδέσμου των πολικών συντεταγμένων στο διάστημα (0, 2π)

f (r) = re ^ {- r ^ {2} / 2}, \ \ 0 <r <\ infty

  • Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης για τη λειτουργία τυχαίων μεταβλητών

U = X + Y και V = X / (X + Y)

όπου X και Y είναι η κατανομή γάμμα με παραμέτρους (α + λ) και (β + λ) αντίστοιχα.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης κατανομής γάμμα και κατανομής αρθρώσεων, η συνάρτηση πυκνότητας για την τυχαία μεταβλητή X και Y θα είναι

f_ {X, Y} (x, y) = \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ Gamma (\ alpha)} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda y} (\ lambda y) ^ {\ beta -1}} {\ Gamma (\ beta)}

= \ frac {\ lambda ^ {\ alpha + \ beta}} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} e ^ {- \ lambda (x + y)} x ^ {\ alpha -1} y ^ {\ beta -1}

θεωρήστε τις δεδομένες λειτουργίες ως

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

έτσι είναι η διαφοροποίηση αυτών των λειτουργιών

\ frac {\ partial g_ {1}} {\ partial x} = \ frac {\ partial g_ {1}} {\ partial y} = 1

\ frac {\ partial g_ {2}} {\ partial x} = \ frac {y} {(x + y) ^ {2}}

\ frac {\ partial g_ {2}} {\ partial y} = - \ frac {x} {(x + y) ^ {2}}

τώρα είναι ο Ιακωβιανός

J (x, y) = \ begin {vmatrix} 1 & 2 \ \\ \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} & \ frac {-x} {(x + y) ^ {2 }} \ τέλος {vmatrix} = - \ frac {1} {x + y}

μετά την απλοποίηση των δεδομένων εξισώσεων οι μεταβλητές x = uv και y = u (1-v) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

f_ {U, V} (u, v) = f_ {X, Y} \ αριστερά [uv, u (1-v) \ δεξιά] u

= \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda u} (\ lambda u) ^ {\ alpha + \ beta -1}} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)} \ frac {v ^ {\ alpha - 1} (1-v) ^ {\ beta -1} \ Gamma (\ alpha + \ beta)} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)}

μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση

B (\ alpha, \ beta) = \ int_ {0} ^ {1} v ^ {\ alpha -1} (1-v) ^ {\ beta -1} dv

= \ frac {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}

  • Υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης για

Y1 =X1 +X2+ Χ3 , ΚΑΙ2 =X1- Χ2 , ΚΑΙ3 =X1 - Χ3

όπου οι τυχαίες μεταβλητές X1 , Χ2, Χ3 είναι οι τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές.

Τώρα ας υπολογίσουμε το Jacobian χρησιμοποιώντας μερικά παράγωγα του

Y1 =X1 +X2+ Χ3 , ΚΑΙ2 =X1- Χ2 , ΚΑΙ3 =X1 - Χ3

as

J = \ έναρξη {vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \\ 1 & -1 & 0 \\ \ 1 & 0 & -1 \ end {vmatrix} = 3

απλοποίηση για τις μεταβλητές X1 , Χ2 και Χ3

X1 = (Υ1 + Υ2 + Υ3) / 3, Χ2 = (Υ1 - 2Υ2 + Υ3) / 3, Χ3 = (Υ1 + Υ2 -2 Υ3) / 3

μπορούμε να γενικεύσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων ως

f_ {Y_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ {X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n} } (x_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot x_ {n}) | J (x_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot x_ {n}) | ^ {- 1}

έτσι έχουμε

f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )

για την κανονική μεταβλητή είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σύνδεσης

f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}

ως εκ τούτου

f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}

όπου είναι ο δείκτης

Q (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = \ αριστερά (\ frac {(y_ {1} + y_ {2} + y_ {3})} {3} \ δεξιά) ^ {2 } + \ αριστερά (\ frac {(y_ {1} -2y_ {2} + y_ {3})} {3} \ δεξιά) ^ {2} + \ αριστερά (\ frac {(y_ {1} + y_ { 2} -2ε_ {3})} {3} \ δεξιά) ^ {2}

=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}

υπολογίστε τη συνάρτηση πυκνότητας άρθρωσης του Υ1 …… Υn και συνάρτηση οριακής πυκνότητας για το Υn όπου

Y_ {i} = X_ {1} + \ cdot \ cdot \ cdot. + X_ {i} \ \ i = 1, \ cdot \ cdot \ cdot .., n

και Χi είναι ανεξάρτητες ταυτόσημες κατανεμημένες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με την παράμετρο λ.

για τις τυχαίες μεταβλητές της φόρμας

Y1 =X1 , ΚΑΙ2 =X1 + Χ2 , ……, Υn =X1 + …… + Χn

ο Ιακώβιος θα είναι της φόρμας

και ως εκ τούτου η τιμή του είναι μία και η συνάρτηση πυκνότητας συνδέσμου για την εκθετική τυχαία μεταβλητή

f_ {X_ {1} \ cdot \ cdot \ cdot X_ {n}} (x_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, x_ {n}) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} \ λάμδα ε ^ {- \ lambda x_ {i}} \ \ 0 <x_ {i} <\ infty, \ \ i = 1, \ cdot \ cdot \ cdot, n

και τις τιμές της μεταβλητής Xi θα είναι

X_ {1} = Y_ {1}, X_ {2} = Y_ {2} -Y_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, X_ {i} = Y_ {i} -Y_ {i-1}, \ cdot \ cdot \ cdot, X_ {n} = Y_ {n} -Y_ {n-1}

έτσι είναι η συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων

f_ {Y_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {1}, y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = f_ {X_ {1 }, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot, X_ {n}} (y_ {1}, y_ {2} -y_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot, y_ {i} -y_ { i-1}, \ cdot \ cdot \ cdot, y_ {n} -y_ {n-1})

= \ lambda ^ {n} exp \ αριστερά {- \ lambda \ αριστερά [y_ {1} + \ sum_ {i = 2} ^ {n} (y_ {i} -y_ {i-1}) \ δεξιά] \ σωστά }

= \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1}, 0 <y_ {i} -y_ {i-1}, i = 2, \ cdot \ cdot \ cdot, n

= \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {1} <y_ {2} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n}

Τώρα για να βρείτε τη συνάρτηση οριακής πυκνότητας του Yn θα ενσωματώσουμε ένα προς ένα ως

f_ {Y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {2}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ {y_ {2 }} \ lambda ^ {n} e ^ {- \ lambda y_ {n}} dy_ {1}

= \ lambda ^ {n} y_ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {2} <y_ {3} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n}

f_ {Y_ {3}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {3}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ int_ {0} ^ {y_ {3 }} \ lambda ^ {n} y_ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} dy_ {2}

= \ frac {\ lambda ^ {n}} {2} y_ {3} ^ {2} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {3} <y_ {4} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n}

σαν σοφός

f_ {Y_ {4}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot Y_ {n}} (y_ {4}, \ cdot \ cdot \ cdot \ cdot y_ {n}) = \ frac {\ lambda ^ {n}} {3!} Y_ {4} ^ {3} e ^ {- \ lambda y_ {n}} \ \ 0 <y_ {4} <\ cdot \ cdot \ cdot <y_ {n}

αν συνεχίσουμε αυτήν τη διαδικασία θα πάρουμε

f_ {Y_ {n}} (y_ {n}) = \ lambda ^ {n} \ frac {y_ {n} ^ {n-1}} {(n-1)!} e ^ {- \ lambda y_ { n}} \ \ 0 <y_ {n}

που είναι η συνάρτηση οριακής πυκνότητας.

Συμπέρασμα:

Η υπό όρους διανομή για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή με διαφορετικά παραδείγματα λαμβάνοντας υπόψη ορισμένους από τους τύπους αυτών των τυχαίων μεταβλητών που συζητήθηκαν, όπου η ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή παίζει σημαντικό ρόλο. Επιπλέον, η κοινή κατανομή για τη λειτουργία των συνεχόμενων συνεχόμενων τυχαίων μεταβλητών εξηγείται επίσης με κατάλληλα παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε τους παρακάτω συνδέσμους.

Για περισσότερες αναρτήσεις στα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks