Για την τυχαία μεταβλητή που εξαρτάται η μία από την άλλη απαιτεί τον υπολογισμό των πιθανών υπό όρους που έχουμε ήδη συζητήσει, τώρα θα συζητήσουμε μερικές ακόμη παραμέτρους για τέτοιες τυχαίες μεταβλητές ή πειράματα όπως η υπό όρους προσδοκία και η υπό όρους διακύμανση για διαφορετικούς τύπους τυχαίων μεταβλητών.
Υπό όρους προσδοκία
Ο ορισμός της συνάρτησης μάζας πιθανότητας υπό όρους της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου Υ είναι
εδώ pY(y)>0 , άρα η υπό όρους προσδοκία για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή Το X δίνεται Y όταν το pY (y)>0 είναι
στην παραπάνω προσδοκία η πιθανότητα είναι η υπό όρους πιθανότητα.
Με παρόμοιο τρόπο, εάν τα Χ και Υ είναι συνεχή, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπό όρους της τυχαίας μεταβλητής X που δίδεται είναι Υ
όπου f (x, y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης και για όλα τα yfY(y)> 0, οπότε η υπό όρους προσδοκία για την τυχαία μεταβλητή X θα είναι y
για όλα τα yfY(y)> 0.
Όπως γνωρίζουμε ότι όλα τα Οι ιδιότητες της πιθανότητας ισχύουν για υπό όρους πιθανότητα το ίδιο ισχύει και για την υπό όρους προσδοκία, όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας ικανοποιούνται από την υπό όρους προσδοκία, για παράδειγμα η υπό όρους προσδοκία της συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής θα είναι
και το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών στην υπό όρους προσδοκία θα είναι
Υπό όρους προσδοκία για το άθροισμα των διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών
Για να βρείτε υπό όρους προσδοκία του αθροίσματος των διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών X και Y με παραμέτρους n και p που είναι ανεξάρτητες, γνωρίζουμε ότι η X+Y θα είναι επίσης διωνυμική τυχαία μεταβλητή με τις παραμέτρους 2n και p, έτσι για την τυχαία μεταβλητή X δίνοντας X+Y=m η υπό όρους προσδοκία θα ληφθεί με τον υπολογισμό η πιθανότητα
αφού το ξέρουμε αυτό
έτσι η υπό όρους προσδοκία του X δεδομένου X + Y = m είναι
Παράδειγμα:
Βρείτε την υπό όρους προσδοκία
αν η άρθρωση συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συνεχών τυχαίων μεταβλητών Τα Χ και Υ δίνονται ως
λύση:
Για τον υπολογισμό της υπό όρους προσδοκίας απαιτούμε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπό όρους, έτσι
αφού για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή η υπό όρους προσδοκία είναι
Ως εκ τούτου για τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας η υπό όρους προσδοκία θα ήταν
Προσδοκία με προετοιμασία || Προσδοκία με υπό όρους προσδοκία
Μπορούμε να υπολογίσουμε το μαθηματική προσδοκία με τη βοήθεια της υπό όρους προσδοκίας του Χ δεδομένου του Υ ως
για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές θα είναι
που μπορεί να ληφθεί ως
και για το συνεχές τυχαίο μπορούμε επίσης να δείξουμε
Παράδειγμα:
Ένα άτομο παγιδεύεται στο κτίριο του υπόγεια καθώς η είσοδος είναι μπλοκαρισμένη λόγω κάποιου βαρύ φορτίου ευτυχώς υπάρχουν τρεις αγωγοί από τους οποίους μπορεί να βγει ο πρώτος σωλήνας να τον βγάλει με ασφάλεια μετά από 3 ώρες, ο δεύτερος μετά από 5 ώρες και ο τρίτος αγωγός μετά 7 ώρες, Εάν κάποιος από αυτούς τους αγωγούς επιλέξει εξίσου πιθανό από αυτόν, τότε ποιος θα ήταν ο αναμενόμενος χρόνος που θα έρθει έξω με ασφάλεια.
Λύση:
Αφήστε το X να είναι η τυχαία μεταβλητή που υποδηλώνει το χρόνο σε ώρες έως ότου το άτομο βγήκε με ασφάλεια και το Y δηλώνει το σωλήνα που επιλέγει αρχικά, έτσι
αφού
Εάν το άτομο επιλέξει το δεύτερο σωλήνα, ξοδεύει 5 κατοικίες σε αυτό, αλλά βγαίνει έξω με τον αναμενόμενο χρόνο
έτσι η προσδοκία θα είναι
Προσδοκία αθροίσματος τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιώντας προσδοκία υπό όρους
Αφήστε το N να είναι ο τυχαίος αριθμός τυχαίων μεταβλητών και το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών είναι τότε η προσδοκία
αφού
as
έτσι
Συσχέτιση της διμερούς κατανομής
Εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διμεταβλητής τυχαίας μεταβλητής X και Y είναι
όπου
τότε η συσχέτιση μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής X και Y για τη διμερή κατανομή με τη συνάρτηση πυκνότητας είναι
δεδομένου ότι η συσχέτιση ορίζεται ως
δεδομένου ότι η προσδοκία που χρησιμοποιεί υπό όρους προσδοκία είναι
για την κανονική κατανομή, η υπό όρους κατανομή Χ που δίνεται Υ έχει μέση τιμή
τώρα η προσδοκία του XY δεδομένου του Y είναι
αυτό δίνει
ως εκ τούτου
Διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής
Στη γεωμετρική κατανομή ας κάνουμε διαδοχικά ανεξάρτητα τεστ που οδηγούν σε επιτυχία με πιθανότητα p, Εάν το Ν αντιπροσωπεύει το χρόνο της πρώτης επιτυχίας σε αυτές τις διαδοχές, τότε η διακύμανση του Ν όπως εξ ορισμού θα είναι
Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Y = 1 εάν η πρώτη δοκιμή οδηγήσει σε επιτυχία και Y = 0 εάν η πρώτη δοκιμή καταλήξει σε αποτυχία, τώρα για να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία εδώ εφαρμόζουμε την υπό όρους προσδοκία ως
αφού
αν η επιτυχία είναι στην πρώτη δοκιμή τότε N = 1 και N2= 1 εάν η αποτυχία εμφανιστεί στην πρώτη δοκιμή, τότε για να επιτευχθεί η πρώτη επιτυχία, ο συνολικός αριθμός δοκιμών θα έχει την ίδια κατανομή με την 1, δηλαδή την πρώτη δοκιμή που οδηγεί σε αποτυχία με τον απαραίτητο αριθμό πρόσθετων δοκιμών, δηλαδή
Έτσι, η προσδοκία θα είναι
δεδομένου ότι η προσδοκία της γεωμετρικής κατανομής είναι so
ως εκ τούτου
και
E
έτσι θα είναι η διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής
Προσδοκία ελάχιστης ακολουθίας ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών
Η ακολουθία ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών U1, Ή2 … .. στο διάστημα (0, 1) και το Ν ορίζεται ως
τότε για την προσδοκία του Ν, για οποιοδήποτε x ∈ [0, 1] η τιμή του Ν
θα θέσουμε την προσδοκία του Ν ως
για να βρούμε την προσδοκία χρησιμοποιούμε τον ορισμό της προσδοκίας υπό όρους σε συνεχή τυχαία μεταβλητή
τώρα προετοιμασία για τον πρώτο όρο της ακολουθίας έχουμε
εδώ
Ο υπόλοιπος αριθμός της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής είναι ίδιος στο σημείο όπου η πρώτη ομοιόμορφη τιμή είναι y, στην αρχή και μετά επρόκειτο να προσθέσει ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές μέχρι το άθροισμά τους να ξεπεράσει το x - y.
Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή προσδοκίας, η τιμή του ακέραιου θα είναι
αν διαφοροποιήσουμε αυτήν την εξίσωση
και
τώρα ενσωματώνει αυτό δίνει
ως εκ τούτου
η τιμή του k = 1 εάν x = 0, έτσι
m
και m (1) = e, ο αναμενόμενος αριθμός ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών στο διάστημα (0, 1) που πρέπει να προστεθούν έως ότου το άθροισμα ξεπεράσει το 1, είναι ίσο με e
Πιθανότητα χρήσης υπό όρους προσδοκίας || πιθανότητες με χρήση κλιματισμού
Μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα επίσης χρησιμοποιώντας την υπό όρους προσδοκία όπως η προσδοκία που βρήκαμε με την υπό όρους προσδοκία, για να πάρουμε αυτό να θεωρήσει ένα συμβάν και μια τυχαία μεταβλητή X ως
από τον ορισμό αυτής της τυχαίας μεταβλητής και της προσδοκίας σαφώς
τώρα με την υπό όρους προσδοκία με κάθε έννοια που έχουμε
Παράδειγμα:
υπολογίστε το συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X , εάν U είναι η ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (0,1), και θεωρήστε την υπό συνθήκη κατανομή του X δεδομένου U=p ως διωνυμική με παραμέτρους n και p.
Λύση:
Για την τιμή του U η πιθανότητα από τη ρύθμιση είναι
έχουμε το αποτέλεσμα
έτσι θα πάρουμε
Παράδειγμα:
Ποια είναι η πιθανότητα των X <Y, Εάν τα X και Y είναι οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας fX και fY αντίστοιχα.
Λύση:
Χρησιμοποιώντας υπό όρους προσδοκία και υπό όρους πιθανότητα
as
Παράδειγμα:
Υπολογίστε την κατανομή του αθροίσματος των συνεχών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y.
Λύση:
Για να βρούμε την κατανομή του X + Y, πρέπει να βρούμε την πιθανότητα του αθροίσματος χρησιμοποιώντας τη ρύθμιση ως εξής
Συμπέρασμα:
Η υπό όρους προσδοκία για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή με διαφορετικά παραδείγματα λαμβάνοντας υπόψη ορισμένους από τους τύπους αυτών των τυχαίων μεταβλητών που συζητήθηκαν χρησιμοποιώντας την ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή και την κοινή κατανομή σε διαφορετικές συνθήκες, Επίσης, η προσδοκία και πιθανότητα πώς να βρείτε χρησιμοποιώντας υπό όρους προσδοκία εξηγείται Παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα παρακάτω βιβλία ή για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την Πιθανότητα, ακολουθήστε μας Σελίδες μαθηματικών.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
