Υπό όρους προσδοκία | Οι σημαντικές του ιδιότητες με 5+ παραδείγματα

Πίνακας Περιεχομένων

Για την τυχαία μεταβλητή που εξαρτάται η μία από την άλλη απαιτεί τον υπολογισμό των πιθανών υπό όρους που έχουμε ήδη συζητήσει, τώρα θα συζητήσουμε μερικές ακόμη παραμέτρους για τέτοιες τυχαίες μεταβλητές ή πειράματα όπως η υπό όρους προσδοκία και η υπό όρους διακύμανση για διαφορετικούς τύπους τυχαίων μεταβλητών.

Υπό όρους προσδοκία

   Ο ορισμός της συνάρτησης μάζας πιθανότητας υπό όρους της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου Υ είναι

p_ {X | Y} (x | y) = P \ αριστερά {X = x | Y = y \ δεξιά} = \ frac {p (x, y)} {p_ {Y} (y)}

εδώ σY(y)> 0, έτσι η υπό όρους προσδοκία για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή X δίνεται Y όταν pY (y)> 0 είναι

E \ αριστερά [X | Y = y \ δεξιά] = \ sum_ {x} ^ {} xP \ αριστερά \ {X = x | Y = y \ δεξιά \}

= \ άθροισμα {x} ^ {} xp_ {X | Y} (x | y)

στην παραπάνω αναμενόμενη πιθανότητα είναι η υπό όρους πιθανότητα.

  Με παρόμοιο τρόπο, εάν τα Χ και Υ είναι συνεχή, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπό όρους της τυχαίας μεταβλητής X που δίδεται είναι Υ

f_ {X | Y} (x | y) = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)}

όπου f (x, y) είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης και για όλα τα yfY(y)> 0, οπότε η υπό όρους προσδοκία για την τυχαία μεταβλητή X θα είναι y

E \ αριστερά [X | Y = y \ δεξιά] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {X | Y} (x | y) dx

για όλα τα yfY(y)> 0.

   Όπως γνωρίζουμε ότι όλες οι ιδιότητες της πιθανότητας ισχύουν για την υπό όρους πιθανότητα, όπως και για την υπό όρους προσδοκία, όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας ικανοποιούνται από την υπό όρους προσδοκία, για παράδειγμα η υπό όρους προσδοκία της συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής θα είναι

\ begin {array} {c} E [g (X) \ mid Y = y] = \ left \ {\ begin {array} {l} \ sum_ {x} g (x) p_ {X \ mid Y} ( x \ mid y) \ quad \ text {στη διακριτή περίπτωση} \\ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X \ mid} \ gamma (x \ mid y) dx \ text {στη συνεχή περίπτωση} \ end {array} \ end {array}

και το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών στην υπό όρους προσδοκία θα είναι

\ begin {aligned} E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ mid Y = y \ right] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} E \ αριστερά [X_ { i} \ mid Y = y \ right] \ end {στοίχιση}

Υπό όρους προσδοκία για το άθροισμα των διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών

    Για να βρούμε υπό όρους προσδοκία του αθροίσματος των διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών X και Y με παραμέτρους n και p που είναι ανεξάρτητες, γνωρίζουμε ότι το X + Y θα είναι επίσης διωνυμική τυχαία μεταβλητή με τις παραμέτρους 2n και p, οπότε για την τυχαία μεταβλητή X δοθείσα X + Y = m η υπό όρους προσδοκία θα επιτευχθεί με τον υπολογισμό της πιθανότητας

\ start {aligned} P [X = k \ mid X + Y = m] & = \ frac {P [X = k, X + Y = m]} {P (X + Y = m)} \\ & = \ frac {P [X = k, Y = mk]} {P [X + Y = m]} \\ & = \ frac {P [X = k \ mid P [Y = mk \ mid} {P (X + Y = m]} \\ & = \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {l} n \\ k \ end {array} \ δεξιά) p ^ {k} (1-p) ^ {nk} \ left (\ begin {array} {c} n \\ mk \ end {array} \ δεξιά) p ^ {mk} (1-p) ^ {n-m + k}} {\ αριστερά (\ begin {array } {l} 2 n \\ m \ end {array} \ δεξιά) p ^ {m} (1-p) ^ {2 nm}} \ τέλος {στοίχιση}

αφού το ξέρουμε αυτό

E [X] = E \ αριστερά [X_ {1} \ δεξιά] + \ cdots + E \ αριστερά [X_ {m} \ δεξιά] = \ frac {mn} {N}

έτσι η υπό όρους προσδοκία του X δεδομένου X + Y = m είναι

E [X \ mid X + Y = m] = \ frac {m} {2}

Παράδειγμα:

Βρείτε την υπό όρους προσδοκία

E [X \ mid Y = y].

εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αρθρώσεων των συνεχών τυχαίων μεταβλητών X και Y δίνεται ως

f (x, y) = \ frac {e ^ {- x / y} e ^ {- y}} {y} & 0

λύση:

Για τον υπολογισμό της υπό όρους προσδοκίας απαιτούμε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπό όρους, έτσι

\ start {aligned} f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) & = \ frac {f (x, y)} {f_ {Y} (y)} \\ & = \ frac {f (x, y)} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) dx} \\ & = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y} e ^ {- y} } {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y_ {e} -y} dx} \\ & = \ frac {(1 / y) e ^ {- x / y}} {\ int_ {0} ^ {\ infty} (1 / y) e ^ {- x / y} dx} \\ & = \ frac {1} {y} e ^ {- x / y} \ τέλος {στοίχιση}

αφού για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή η υπό όρους προσδοκία είναι

E [X \ mid Y = y] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) dx

Ως εκ τούτου για τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας η υπό όρους προσδοκία θα ήταν

E [X \ mid Y = y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {x} {y} e ^ {- x / y} dx = y

Προσδοκία με προετοιμασία || Προσδοκία με υπό όρους προσδοκία

                Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία με τη βοήθεια της υπό όρους προσδοκίας του X δεδομένου του Y ως

E [X] = E [E [X \ mid Y]]

για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές θα είναι

E [X] = \ sum_ {y} E [X \ mid Y = y] P \ {Y = y \}

που μπορεί να ληφθεί ως

\ start {aligned} \ sum_ {y} E [X \ mid Y = y] P \ {Y = y \} & = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x P [X = x \ mid Y = y \} P \ {Y = y \} \\ & = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x \ frac {P \ {X = x, Y = y \}} {P \ {Y = y \} } P [Y = y \} \\ & = \ sum_ {y} \ sum_ {x} x P [X = x, Y = y \} \\ & = \ sum_ {x} x \ sum_ {y} P \ {X = x, Y = y \} \\ & = \ sum_ {x} x P \ {X = x \} \\ & = E [X] \ τέλος {στοίχιση}

και για το συνεχές τυχαίο μπορούμε επίσης να δείξουμε

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E \ αριστερά [X | Y = y | f_ {Y} (y) dy \ δεξιά.

Παράδειγμα:

                Ένα άτομο παγιδεύεται στο κτίριο του υπόγεια καθώς η είσοδος είναι μπλοκαρισμένη λόγω κάποιου βαρύ φορτίου ευτυχώς υπάρχουν τρεις αγωγοί από τους οποίους μπορεί να βγει ο πρώτος σωλήνας να τον βγάλει με ασφάλεια μετά από 3 ώρες, ο δεύτερος μετά από 5 ώρες και ο τρίτος αγωγός μετά 7 ώρες, Εάν κάποιος από αυτούς τους αγωγούς επιλέξει εξίσου πιθανό από αυτόν, τότε ποιος θα ήταν ο αναμενόμενος χρόνος που θα έρθει έξω με ασφάλεια.

Λύση:

Αφήστε το X να είναι η τυχαία μεταβλητή που υποδηλώνει το χρόνο σε ώρες έως ότου το άτομο βγήκε με ασφάλεια και το Y δηλώνει το σωλήνα που επιλέγει αρχικά, έτσι

E [X] = E [X \ mid Y = 1] P \ {Y = 1 \} + E [X \ mid Y = 2] P \ {Y = 2 \} + E [X \ mid Y = 3] P \ {Y = 3 \} \\ = \ frac {1} {3} (E [X \ mid Y = 1] + E [X \ mid Y = 2] + E [X \ mid Y = 3])

αφού

$ E [X \ mid Y = 1] = 3 $ \\ $ E [X \ mid Y = 2] = 5 + E [X] $ \\ $ E [X \ mid Y = 3] = 7 + E [ X] $

Εάν το άτομο επιλέξει το δεύτερο σωλήνα, ξοδεύει 5 κατοικίες σε αυτό, αλλά βγαίνει έξω με τον αναμενόμενο χρόνο

E [X \ mid Y = 2] = 5 + E [X]

έτσι η προσδοκία θα είναι

E[X]=\frac{1}{3}(3+5+E[X]+7+E[X]) \quad E[X]=15

Προσδοκία αθροίσματος τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιώντας προσδοκία υπό όρους

                Αφήστε το N να είναι ο τυχαίος αριθμός τυχαίων μεταβλητών και το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών είναι     τότε η προσδοκία  

E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ δεξιά] = E \ αριστερά [E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ μέσα N \ δεξιά] \ δεξιά ]

αφού

E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ mid N = n \ right] = E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ mid N = n \ δεξιά ] \\ = E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ δεξιά] \ κείμενο {από την ανεξαρτησία των} X_ {i} \ text {και} N \\ = n E [X ] \ text {όπου} E [X] = E \ αριστερά [X_ {i} \ δεξιά]

as

E \ αριστερά [\ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ mid N \ right] = NE [X]

έτσι

E \ αριστερά [\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ δεξιά] = E [NE [X]] = E [N] E [X]

Συσχέτιση της διμερούς κατανομής

Εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διμεταβλητής τυχαίας μεταβλητής X και Y είναι

\ begin {array} {c} f (x, y) = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma_ {x} \ sigma_ {y} \ sqrt {1- \ rho ^ {2}}} \ exp \ αριστερά \ {- \ frac {1} {2 \ αριστερά (1- \ rho ^ {2} \ δεξιά)} \ δεξιά. & {\ αριστερά [\ αριστερά (\ frac {x- \ mu_ {x}} {\ sigma_ {x}} \ δεξιά) ^ {2} + \ αριστερά (\ frac {y- \ mu_ {y}} {\ sigma_ {y}} \ δεξιά) ^ {2} \ δεξιά.} & \ αριστερά. \ αριστερά.-2 \ rho \ frac {\ αριστερά (x- \ mu_ {x} \ δεξιά) \ αριστερά (y- \ mu_ {y} \ δεξιά)} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} \ δεξιά] \ δεξιά \} \ τέλος {πίνακας}

όπου

\ mu_ {x} = E [X], \ sigma_ {x} ^ {2} = \ operatorname {Var} (X) $ και $ \ mu_ {y} = E [Y], \ sigma_ {y} ^ {2} = \ operatorname {Var} (Y) $

τότε η συσχέτιση μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής X και Y για τη διμερή κατανομή με τη συνάρτηση πυκνότητας είναι

δεδομένου ότι η συσχέτιση ορίζεται ως

$ \ operatorname {Corr} (X, Y) = \ frac {\ operatorname {Cov} (X, Y)} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} $ \\ $ = \ frac {E [XY] - \ mu_ {x} \ mu_ {y}} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} $

δεδομένου ότι η προσδοκία που χρησιμοποιεί υπό όρους προσδοκία είναι

E [XY] = E [E [XY \ mid Y]]

για την κανονική κατανομή, η υπό όρους κατανομή Χ που δίνεται Υ έχει μέση τιμή

mu_ {x} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ αριστερά (y- \ mu_ {y} \ δεξιά)

τώρα η προσδοκία του XY δεδομένου του Y είναι

υπό όρους προσδοκία
Κανονική κατανομή

αυτό δίνει

έναρξη {aligned} E [XY] & = E \ left [Y \ mu_ {x} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ αριστερά (Y ^ {2} - \ mu_ {y} Y \ δεξιά) \ δεξιά] \\ & = \ mu_ {x} E [Y] + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} E \ αριστερά [Y ^ {2 } - \ mu_ {y} Y \ δεξιά] \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ αριστερά (E \ αριστερά [Y ^ {2} \ δεξιά] - \ mu_ {y} ^ {2} \ δεξιά) \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ frac {\ sigma_ {x}} {\ sigma_ {y}} \ operatorname {Var} (Y) \\ & = \ mu_ {x} \ mu_ {y} + \ rho \ sigma_ {x} \ sigma_ {y} \ end {στοίχιση}

ως εκ τούτου

\ operatorname {Corr} (X, Y) = \ frac {\ rho \ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x} \ sigma_ {y}} = \ rho

Διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής

    Στη γεωμετρική κατανομή ας κάνουμε διαδοχικά ανεξάρτητα τεστ που οδηγούν σε επιτυχία με πιθανότητα p, Εάν το Ν αντιπροσωπεύει το χρόνο της πρώτης επιτυχίας σε αυτές τις διαδοχές, τότε η διακύμανση του Ν όπως εξ ορισμού θα είναι

\ operatorname {Var} (N) = E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] - (E [N]) ^ {2}

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Y = 1 εάν η πρώτη δοκιμή οδηγήσει σε επιτυχία και Y = 0 εάν η πρώτη δοκιμή καταλήξει σε αποτυχία, τώρα για να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία εδώ εφαρμόζουμε την υπό όρους προσδοκία ως

E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] = E \ αριστερά [E \ αριστερά [N ^ {2} \ μέσα Y \ δεξιά] \ δεξιά]

αφού

E \ αριστερά [N ^ {2} \ mid Y = 1 \ right] = 1 \\ E \ αριστερά [N ^ {2} \ mid Y = 0 \ right] = E \ αριστερά [(1 + N) ^ { 2} \ δεξιά]

αν η επιτυχία είναι στην πρώτη δοκιμή τότε N = 1 και N2= 1 εάν η αποτυχία εμφανιστεί στην πρώτη δοκιμή, τότε για να επιτευχθεί η πρώτη επιτυχία, ο συνολικός αριθμός δοκιμών θα έχει την ίδια κατανομή με την 1, δηλαδή την πρώτη δοκιμή που οδηγεί σε αποτυχία με τον απαραίτητο αριθμό πρόσθετων δοκιμών, δηλαδή

E \ αριστερά [N ^ {2} \ mid Y = 0 \ right] = E \ αριστερά [(1 + N) ^ {2} \ δεξιά]

Έτσι, η προσδοκία θα είναι

E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] = E \ αριστερά [N ^ {2} \ mid Y = 1 \ right] P \ {Y = 1 \} + E \ αριστερά [N ^ {2} \ mid Y = 0 \ δεξιά] P \ {Y = 0 \} \\ = p + (1-p) E \ αριστερά [(1 + N) ^ {2} \ δεξιά] \\ = 1 + (1-p) E \ αριστερά [2 N + N ^ {2} \ δεξιά]

δεδομένου ότι η προσδοκία της γεωμετρικής κατανομής είναι so

E [N] = 1 / σελ

ως εκ τούτου

E\left[N^{2}\right]=1+\frac{2(1-p)}{p}+(1-p) E\left[N^{2}

E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] = \ frac {2-p} {p ^ {2}}

έτσι θα είναι η διακύμανση της γεωμετρικής κατανομής

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (N) & = E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] - (E [N]) ^ {2} \\ = & \ frac {2-p} { p ^ {2}} - \ αριστερά (\ frac {1} {p} \ δεξιά) ^ {2} \\ = & \ frac {1-p} {p ^ {2}} \ τέλος {στοίχιση}

Προσδοκία ελάχιστης ακολουθίας ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών

   Η ακολουθία ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών U1, Ή2 … .. στο διάστημα (0, 1) και το Ν ορίζεται ως

N = \ min \ αριστερά \ {n: \ sum_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> 1 \ δεξιά \}

τότε για την προσδοκία του Ν, για οποιοδήποτε x ∈ [0, 1] η τιμή του Ν

N (x) = \ min \ αριστερά \ {n: \ sum_ {i = 1} ^ {n} U_ {i}> x \ δεξιά \}

θα θέσουμε την προσδοκία του Ν ως

m (x) = E [Ν (x)]

για να βρούμε την προσδοκία χρησιμοποιούμε τον ορισμό της προσδοκίας υπό όρους σε συνεχή τυχαία μεταβλητή

E [X \ mid Y = y] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x f_ {X \ mid Y} (x \ mid y) dx

τώρα προετοιμασία για τον πρώτο όρο της ακολουθίας  έχουμε

m (x) = \ int_ {0} ^ {1} E \ αριστερά [N (x) \ mid U_ {1} = y \ δεξιά] dy

εδώ

E \ αριστερά [N (x) \ mid U_ {1} = y \ δεξιά] = \ αριστερά \ {\ έναρξη {array} {ll} 1 & \ text {if} y> x \\ 1 + m (xy) & \ text {if} y \ leq x \ end {array} \ δεξιά.

Ο υπόλοιπος αριθμός της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής είναι ίδιος στο σημείο όπου η πρώτη ομοιόμορφη τιμή είναι y, στην αρχή και μετά επρόκειτο να προσθέσει ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές μέχρι το άθροισμά τους να ξεπεράσει το x - y.

Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή προσδοκίας, η τιμή του ακέραιου θα είναι

m (x) = 1 + \ int_ {0} ^ {x} m (xy) dy \\ = 1 + \ int_ {0} ^ {x} m (u) du \ text {αφήνοντας} u = xy

αν διαφοροποιήσουμε αυτήν την εξίσωση

m ^ {\ prime} (x) = m (x)

\ frac {m ^ {\ prime} (x)} {m (x)} = 1

τώρα ενσωματώνει αυτό δίνει

\ log [m (x)] = x + c

ως εκ τούτου

m (x) = ke ^ {x}

η τιμή του k = 1 εάν x = 0, έτσι

m (x) = e ^ {x}

και m (1) = e, ο αναμενόμενος αριθμός ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών στο διάστημα (0, 1) που πρέπει να προστεθούν έως ότου το άθροισμα ξεπεράσει το 1, είναι ίσο με e

Πιθανότητα χρήσης υπό όρους προσδοκίας || πιθανότητες με χρήση κλιματισμού

   Μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα επίσης χρησιμοποιώντας την υπό όρους προσδοκία όπως η προσδοκία που βρήκαμε με την υπό όρους προσδοκία, για να πάρουμε αυτό να θεωρήσει ένα συμβάν και μια τυχαία μεταβλητή X ως

X = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ text {if} E \ text {παρουσιάζεται} \\ 0 & \ text {if} E \ text {δεν εμφανίζεται} \ τέλος {array} \ σωστά.

από τον ορισμό αυτής της τυχαίας μεταβλητής και της προσδοκίας σαφώς

E [X] = P (E) \\ E [X \ mid Y = y] = P (E \ mid Y = y) $ για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή $ Y $

τώρα με την υπό όρους προσδοκία με κάθε έννοια που έχουμε

P (E) = \ sum_ {y} P (E \ mid Y = y) P (Y = y) \ quad $ εάν το $ Y $ είναι διακριτό \\ $ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (E \ mid Y = y) f_ {Y} (y) dy \ quad $ εάν το $ Y $ είναι συνεχές

Παράδειγμα:

υπολογίστε τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X, εάν το U είναι η ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (0,1), και θεωρήστε την υπό όρους κατανομή του X δεδομένου U = p ως διωνυμική με τις παραμέτρους n και p.

Λύση:

Για την τιμή του U η πιθανότητα από τη ρύθμιση είναι

\ start {aligned} P [X = i] & = \ int_ {0} ^ {1} P \ αριστερά [X = i \ mid U = pl f_ {U} (p) dp \ δεξιά. \\ & = \ int_ {0} ^ {1} P [X = i \ mid U = p \} dp \\ & = \ frac {n!} {i! (ni)!} \ int_ {0} ^ {1} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} dp \ end {στοίχιση}

έχουμε το αποτέλεσμα

\ int_ {0} ^ {1} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} dp = \ frac {i! (ni)!} {(n + 1)!}

έτσι θα πάρουμε

P [X = i] = \ frac {1} {n + 1} \ quad i = 0, \ ldots, n

Παράδειγμα:

Ποια είναι η πιθανότητα των X <Y, Εάν τα X και Y είναι οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας fX και fY αντίστοιχα.

Λύση:

Χρησιμοποιώντας υπό όρους προσδοκία και υπό όρους πιθανότητα

\ start {aligned} P \ {X

as

FX (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {y} f_ {X} (x) dx

Παράδειγμα:

Υπολογίστε την κατανομή του αθροίσματος των συνεχών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y.

Λύση:

Για να βρούμε την κατανομή του X + Y, πρέπει να βρούμε την πιθανότητα του αθροίσματος χρησιμοποιώντας τη ρύθμιση ως εξής

\ start {aligned} P (X + Y

Συμπέρασμα:

Η υπό όρους προσδοκία για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή με διαφορετικά παραδείγματα λαμβάνοντας υπόψη ορισμένους από τους τύπους αυτών των τυχαίων μεταβλητών που συζητήθηκαν χρησιμοποιώντας την ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή και την κοινή κατανομή σε διαφορετικές συνθήκες, Επίσης, η προσδοκία και πιθανότητα πώς να βρείτε χρησιμοποιώντας υπό όρους προσδοκία εξηγείται Παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα παρακάτω βιβλία ή για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την Πιθανότητα, ακολουθήστε μας Σελίδες μαθηματικών.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks