Υπό όρους διακύμανση και προβλέψεις | Οι σημαντικές του ιδιότητες με παράδειγμα 5+

Σε αυτό το άρθρο η υπό όρους διακύμανση και οι προβλέψεις που χρησιμοποιούν την υπό όρους προσδοκία για το διαφορετικό είδος τυχαίας μεταβλητής με μερικά παραδείγματα που θα συζητήσουμε.

Πίνακας Περιεχομένων

Υπό όρους διακύμανση

Η υπό όρους διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται Y ορίζεται με παρόμοιο τρόπο όπως η υπό όρους προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται Y ως

Var (X | Y) = E [(XE [X | Y]) ^ {2} | Υ]

Εδώ η διακύμανση είναι η υπό όρους προσδοκία της διαφοράς μεταξύ της τυχαίας μεταβλητής και του τετραγώνου της υπό όρους προσδοκίας του X δεδομένου του Y όταν δίνεται η τιμή του Υ.

Η σχέση μεταξύ της υπό όρους διακύμανσης και της υπό όρους προσδοκίας είναι

\ operatorname {Var} (X \ mid Y) = E \ αριστερά [X ^ {2} \ mid Y \ right] - (E [X \ mid Y]) ^ {2} \\\ start {aligned} E [ \ operatorname {Var} (X \ mid Y)] & = E \ αριστερά [E \ αριστερά [X ^ {2} \ mid Y \ δεξιά] \ δεξιά] -E \ αριστερά [(E [X \ mid Y]) ^ {2} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] -E \ αριστερά [(E [X \ mid Y]) ^ {2} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση} \ \Από \; E [E [X \ mid Y]] = E [X], \; εμείς \; έχουν \\\ operatorname {Var} (E [X \ mid Y]) = E \ αριστερά [(E [X \ mid Y]) ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2}

Αυτό είναι κάπως παρόμοιο από τη σχέση της άνευ όρων διακύμανσης και της προσδοκίας που ήταν

\ operatorname {Var} (X) = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2}

και μπορούμε να βρούμε τη διακύμανση με τη βοήθεια της υπό όρους διακύμανσης ως

\ operatorname {Var} (X) = E [\ operatorname {Var} (X \ mid Y)] + \ operatorname {Var} (E [X \ mid Y])

Παράδειγμα διακύμανσης υπό όρους

Βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση του αριθμού των ταξιδιωτών που εισέρχονται στο λεωφορείο εάν οι άνθρωποι έφτασαν στην αποθήκη λεωφορείου διανέμεται Poisson με μέση λt και το αρχικό λεωφορείο που έφτασε στην αποθήκη λεωφορείου κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (0, T) ανεξάρτητα από τους ανθρώπους έφτασε ή όχι.

Λύση:

Για να βρείτε το μέσο όρο και τη διακύμανση αφήστε για οποιαδήποτε ώρα t, το Y είναι η τυχαία μεταβλητή για την ώρα άφιξης του λεωφορείου και N (t) είναι ο αριθμός των αφίξεων

E [N (Y) \ mid Y = t] = E [N (t) \ mid Y = t] \\ = E [N (t)]

από την ανεξαρτησία των Y και N (t)

= \ λάμδα t

αφού το Ν (t) είναι Poisson με μέση τιμή \lambda t
Ως εκ τούτου

E [N (Y) \ mid Y] = \ lambda Y

οπότε η λήψη προσδοκιών δίνει

E [N (Y)] = \ lambda E [Y] = \ frac {\ lambda T} {2}

Για να αποκτήσουμε το Var (N (Y)), χρησιμοποιούμε τον τύπο διακύμανσης υπό όρους

\ operatorname {Var} (N (Y) \ mid Y = t) = \ operatorname {Var} (N (t) \ mid Y = t) \\ = \ operatorname {Var} (N (t)) \ quadby \ quad ανεξαρτησία \ quad \ quad \\ = \ lambda t

έτσι

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (N (Y) \ mid Y) & = \ lambda Y \\ E [N (Y) \ mid Y] & = \ lambda Y \ end {aligned}

Ως εκ τούτου, από τον τύπο διακύμανσης υπό όρους,

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (N (Y)) & = E [\ lambda Y] + \ operatorname {Var} (\ lambda Y) \\ & = \ lambda \ frac {T} {2} + \ lambda ^ {2} \ frac {T ^ {2}} {12} \ τέλος {στοίχιση}

όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι Var (Y) = T2 / 12.

Διακύμανση ενός αθροίσματος ενός τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών

εξετάστε την ακολουθία ανεξάρτητων και πανομοιότυπων κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών X1,X2,X3, ………. και μια άλλη τυχαία μεταβλητή N ανεξάρτητα από αυτήν την ακολουθία, θα βρούμε τη διακύμανση του αθροίσματος αυτής της ακολουθίας ως

\ operatorname {Var} \ αριστερά (\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ δεξιά)

χρησιμοποιώντας

\ begin {aligned} E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ mid N \ right] & = NE [X] \\ \ operatorname {Var} \ αριστερά (\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ mid N \ right) & = N \ operatorname {Var} (X) \ right] \ end {στοίχιση}

το οποίο είναι προφανές με τον ορισμό της διακύμανσης και της υπό όρους διακύμανσης για την μεμονωμένη τυχαία μεταβλητή στο άθροισμα της ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών ως

\\ \ operatorname {Var} \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ right) = E [N] \ όνομα operatorn {Var} (X) + (E [X]) ^ { 2} \ όνομα λειτουργίας {Var} (N)

Πρόβλεψη

Στην πρόβλεψη η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να προβλεφθεί με βάση την παρατήρηση μιας άλλης τυχαίας μεταβλητής, για την πρόβλεψη της τυχαίας μεταβλητής Y εάν η παρατηρούμενη τυχαία μεταβλητή είναι X, χρησιμοποιούμε το g (X) ως συνάρτηση που λέει την προβλεπόμενη τιμή, προφανώς εμείς προσπαθήστε να επιλέξετε g (X) κλειστό στο Y για αυτό το καλύτερο g είναι g (X) = E (Y | X) γι 'αυτό πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την τιμή του g χρησιμοποιώντας την ανισότητα

\\ E \ αριστερά [(Yg (X)) ^ {2} \ δεξιά] \ geq E \ αριστερά [(YE [Y \ mid X]) ^ {2}

Αυτή η ανισότητα μπορούμε να πάρουμε ως

\ start {aligned} E \ left [(Yg (X)) ^ {2} \ mid X \ right] = & E \ left [(YE [Y \ mid X] + E [Y \ mid X] -g ( X)) ^ {2} \ mid X \ δεξιά] \\ = & E \ αριστερά [(YE [Y \ mid X]) ^ {2} \ mid X \ right] \\ & + E \ αριστερά [(E [Y \ mid X] -g (X)) ^ {2} \ mid X \ right] \\ & + 2 E [(YE [Y \ mid X]) (E [Y \ mid X] -g (X )) \ mid X] \ end {στοίχιση}

Ωστόσο, δεδομένου του X, το E [Y | X] -g (X), που είναι συνάρτηση του X, μπορεί να αντιμετωπιστεί ως σταθερά. Ετσι,

\ \ start {aligned} E [& (YE [Y \ mid X]) (E [Y \ mid X] -g (X)) \ mid X] \\ & = (E [Y \ mid X] -g (X)) E [YE [Y \ mid X] \ mid X] \\ & = (E [Y \ mid X] -g (X)) (E [Y \ mid X] -E [Y \ mid X] ]] \\ & = 0 \ τέλος {στοίχιση}

που δίνει την απαιτούμενη ανισότητα

\ E \ αριστερά [(Yg (X)) ^ {2} \ δεξιά] \ geq E \ αριστερά [(YE [Y \ mid X]) ^ {2}

a

Παραδείγματα πρόβλεψης

1. Παρατηρείται ότι το ύψος ενός ατόμου είναι έξι πόδια, ποια θα ήταν η πρόβλεψη του ύψους των γιων του μετά την ενηλικίωση εάν το ύψος του γιου που είναι x ίντσες τώρα κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή x + 1 και διακύμανση 4

Λύση: Αφήστε το X να είναι η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει το ύψος του ατόμου και το Y να είναι η τυχαία μεταβλητή για το ύψος του γιου, και στη συνέχεια η τυχαία μεταβλητή Y είναι

Y = X + e + 1

εδώ αντιπροσωπεύουμε την κανονική τυχαία μεταβλητή ανεξάρτητη από την τυχαία μεταβλητή X με μέση μηδέν και διακύμανση τέσσερα.

έτσι η πρόβλεψη για το ύψος των γιων είναι

E [Y \ mid X = 72] = E [X + 1 + e \ mid X = 72] \\ = 73 + E [e \ mid X = 72] \\ = 73 + E (e) \ τετραπλάσιο από \ τετραπλή ανεξαρτησία \\ = 73

έτσι το ύψος του γιου θα είναι 73 ίντσες μετά την ανάπτυξη.

2. Εξετάστε ένα παράδειγμα αποστολής σημάτων από τη θέση Α και τη θέση Β, εάν από τη θέση Α αποστέλλεται μια τιμή σήματος s η οποία στη θέση Β λαμβάνεται με κανονική κατανομή με μέση τιμή s και διακύμανση 1 ενώ εάν το σήμα S που αποστέλλεται στο Α είναι κανονικά κατανεμημένο με μέση \ mu και διακύμανση \ sigma ^ 2, πώς μπορούμε να προβλέψουμε ότι η τιμή σήματος R που θα σταλεί από τη θέση Α θα ληφθεί είναι r στη θέση Β;

Λύση: Οι τιμές σήματος S και R υποδηλώνουν εδώ τις τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται κανονικά, πρώτα βρίσκουμε τη συνάρτηση πυκνότητας υπό όρους S που δίνεται R ως

\ \ start {aligned} f_ {S \ mid R} (s \ mid r) & = \ frac {f_ {S, R} (s, r)} {f_ {R} (r)} \\ & = \ frac {f_ {S} (s) f_ {R \ mid S} (r \ mid s)} {f_ {R} (r)} \\ & = K e ^ {- (s- \ mu) ^ {2 } / 2 \ sigma ^ {2}} e ^ {- (rs) ^ {2} / 2} \ end {στοίχιση}

αυτό το Κ είναι ανεξάρτητο από το S, τώρα

\ \begin{aligned} \frac{(s-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}+\frac{(r-s)^{2}}{2}&=s^{2}\left(\frac{1}{2 \sigma^{2}}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{\mu}{\sigma^{2}}+r\right) s+C_{1}\\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left[s^{2}-2\left(\frac{\mu+r \sigma^{2}}{1+\sigma^{2}}\right) s\right]+C_{1} \\ &=\frac{1+\sigma^{2}}{2 \sigma^{2}}\left(s-\frac{\left(\mu+r \sigma^{2}\right)}{1+\sigma^{2}}\right)^{2}+C_{2} \end{aligned}

εδώ επίσης Γ1 Και C2 είναι ανεξάρτητοι στο S, έτσι η τιμή της συνάρτησης πυκνότητας υπό όρους είναι

\ f_S \ mid R (s \ mid r) = C e ^ {\ αριστερά \ {\ frac {- \ αριστερά [s- \ frac {\ αριστερά (\ mu + r \ sigma ^ {2} \ δεξιά)} { 1+ \ sigma ^ {2}} \ δεξιά] ^ {2}} {2 \ αριστερά (\ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ sigma ^ {2}} \ δεξιά)} \ δεξιά \} }}

Το C είναι επίσης ανεξάρτητο στο s, έτσι το σήμα που αποστέλλεται από τη θέση A ως R και λαμβάνεται στη θέση B ως r είναι φυσιολογικό με μέση και διακύμανση

\ begin {array} {l} E [S \ mid R = r] = \ frac {\ mu + r \ sigma ^ {2}} {1+ \ sigma ^ {2}} \\ \ operatorname {Var} ( S \ mid R = r) = \ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ sigma ^ {2}} \ end {array}

και το μέσο τετράγωνο σφάλμα για αυτήν την κατάσταση είναι

E [S \ mid R = r] = \ frac {1} {1+ \ sigma ^ {2}} \ mu + \ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ sigma ^ {2}} r

Γραμμική πρόβλεψη

Κάθε φορά που δεν μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης ακόμη και η μέση τιμή, η διακύμανση και η συσχέτιση μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών είναι γνωστή, σε μια τέτοια κατάσταση ο γραμμικός προγνωστικός παράγοντας μιας τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με μια άλλη τυχαία μεταβλητή είναι πολύ χρήσιμος που μπορεί να προβλέψει το ελάχιστο , έτσι για τον γραμμικό προγνωστικό παράγοντα της τυχαίας μεταβλητής Y σε σχέση με την τυχαία μεταβλητή X παίρνουμε a και b για να ελαχιστοποιήσουμε

\ start {aligned} E \ αριστερά [(Y- (a + b X)) ^ {2} \ δεξιά] = & E \ αριστερά [Y ^ {2} -2 a Y-2 b X Y + a ^ { 2} +2 ab X + b ^ {2} X ^ {2} \ δεξιά] \\ = & E \ αριστερά [Y ^ {2} \ δεξιά] -2 α E [Y] -2 b E [XY] + a ^ {2} +2 ab E [X] + b ^ {2} E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

Τώρα διαφοροποιήστε εν μέρει σε σχέση με το a και b που θα πάρουμε

\ start {aligned} \ frac {\ partial} {\ partial a} E \ left [(Yab X) ^ {2} \ right] & = - 2 E [Y] +2 a + 2 b E [X] \ \ \ frac {\ partial} {\ partial b} E \ left [(Yab X) ^ {2} \ right] & = - 2 E [XY] +2 a E [X] +2 b E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \\ \ τέλος {στοίχιση}

επίλυση αυτών των δύο εξισώσεων για ένα nd β θα πάρουμε

\ begin {aligned} b & = \ frac {E [XY] -E [X] E [Y]} {E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2}} = \ frac {\ operatorname {Cov} (X, Y)} {\ sigma_ {x} ^ {2}} = \ rho \ frac {\ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} \\ a & = E [ Y] -b E [X] = E [Y] - \ frac {\ rho \ sigma_ {y} E [X]} {\ sigma_ {x}} \ τέλος {στοίχιση}

ελαχιστοποιώντας έτσι αυτή την προσδοκία δίνει το γραμμικό προγνωστικό ως

\ mu_ {y} + \ frac {\ rho \ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} \ αριστερά (X- \ mu_ {x} \ δεξιά)

όπου τα μέσα είναι τα αντίστοιχα μέσα τυχαίων μεταβλητών X και Y, το σφάλμα για τον γραμμικό προγνωστικό παράγοντα θα ληφθεί με την προσδοκία

\ begin {array} {l} E \ αριστερά [\ αριστερά (Y- \ mu_ {y} - \ rho \ frac {\ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} \ αριστερά (X- \ mu_ {x } \ δεξιά) \ δεξιά) ^ {2} \ δεξιά] \\ \ quad = E \ αριστερά [\ αριστερά (Y- \ mu_ {y} \ δεξιά) ^ {2} \ δεξιά] + \ rho ^ {2} \ frac {\ sigma_ {y} ^ {2}} {\ sigma_ {x} ^ {2}} E \ αριστερά [\ αριστερά (X- \ mu_ {x} \ δεξιά) ^ {2} \ δεξιά] -2 \ rho \ frac {\ sigma_ {y}} {\ sigma_ {x}} E \ αριστερά [\ αριστερά (Y- \ mu_ {y} \ δεξιά) \ αριστερά (X- \ mu_ {x} \ δεξιά) \ δεξιά ] \\ \ quad = \ sigma_ {y} ^ {2} + \ rho ^ {2} \ sigma_ {y} ^ {2} -2 \ rho ^ {2} \ sigma_ {y} ^ {2} \\ \ quad = \ sigma_ {y} ^ {2} \ αριστερά (1- \ rho ^ {2} \ δεξιά) \ τέλος {πίνακας}

υπό όρους διακύμανση
υπό όρους διακύμανση: Σφάλμα στην πρόβλεψη

Αυτό το σφάλμα θα πλησιάζει το μηδέν εάν η συσχέτιση είναι απολύτως θετική ή απολύτως αρνητική που είναι ο συντελεστής συσχέτισης είναι είτε +1 είτε -1

Συμπέρασμα

Συζητήθηκε η διακύμανση υπό όρους για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή με διαφορετικά παραδείγματα, μια από τις σημαντικές εφαρμογές της υπό όρους προσδοκίας στην πρόβλεψη εξηγείται επίσης με κατάλληλα παραδείγματα και με τον καλύτερο γραμμικό προγνωστικό παράγοντα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε τους παρακάτω συνδέσμους.

Για περισσότερες αναρτήσεις στα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks