Εξίσωση συνέχειας | Όλα είναι σημαντική ιδέα

Λίστα περιεχομένου

  • Εξίσωση συνέχειας
  • Διαφορική μορφή εξίσωσης συνέχειας
  • Εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστη ροή
  • Εξίσωση συνέχειας για δισδιάστατη συνεπίπεδη ροή
  • Παράδειγμα εξίσωσης συνέχειας
  • Ερώτηση & απαντήσεις
  • MCQ
  • Συμπέρασμα

Εξίσωση συνέχειας

Το ρευστό που ρέει μέσω του σωλήνα ρεύματος θεωρείται ως το ιδανικό ρευστό. Δεν υπάρχει ροή σε όλη τη γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι το υγρό εισέρχεται στο ένα άκρο και αφήνει στο άλλο άκρο δεν υπάρχει ενδιάμεση έξοδος. Εξετάστε την κατάσταση ροής στη διατομή εισόδου 1-1 όπως παρακάτω,

Σωλήνας ροής
παράμετροιΤμήμα εισόδου 1-1Τμήμα εξόδου 2-2
Επιφάνεια εγκάρσιας διατομήςAA + dA
Μέση πυκνότητα υγρού??+d;
Μέση ταχύτητα ροήςVV + dV

Η υγρή μάζα που ρέει μεταξύ αυτών των δύο θεωρημένων τμημάτων δίνεται με τον ακόλουθο τύπο,

dm = (AV? dt) - (A + dA) (V + dV) (? + d?) dt Εξίσωση… 1

απλοποιώντας την παραπάνω εξίσωση,

dm/dt = - (AV d? + V? dA + A? dV) Eq… 2

Όπως γνωρίζουμε ότι η σταθερή ροή σημαίνει σταθερό ρυθμό ροής μάζας, σημαίνει εδώ dm / dt = 0. 2 γύρισαν όπως παρακάτω,

(AV d? + V? DA + A? DV) = 0 Ισο ... 3

Τώρα, διαιρέστε την εξίσωση 3 με? AV, η εξίσωση θα είναι σαν,

(d?/?) + (dA/A) + (dV/V) = 0 Eq… 4

d (? AV) = 0 Eq… 5

; AV = Σταθερή εξίσωση… 6

Εδώ, το Εξ. 6 μας κάνει να γνωρίζουμε ότι η μάζα του υγρού που διέρχεται μέσω του σωλήνα ρεύματος είναι σταθερή σε κάθε τμήμα.

Ας υποθέσουμε ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο (υγρό) τότε η πυκνότητα του υγρού δεν θα αλλάξει σε κανένα σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητα υγρού είναι σταθερή.

AV = Σταθερό

A1 V1 = A2 V2                                                                                                                           Εξ.… 7

Εξ. 7 αντιπροσωπεύει την εξίσωση συνέχειας για σταθερή ασυμπίεστη ροή εντός του σωλήνα ροής. Η εξίσωση συνέχειας δίνει μια βασική κατανόηση της περιοχής και της ταχύτητας. Η αλλαγή της περιοχής διατομής επηρεάζει την ταχύτητα ροής εντός του σωλήνα ρεύματος, του σωλήνα, του κοίλου καναλιού κ.λπ. Αυτό το προϊόν είναι σταθερό σε οποιοδήποτε σημείο του σωλήνα ροής. Η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την περιοχή διατομής του σωλήνα ρεύματος ή του σωλήνα.

Διαφορική μορφή εξίσωσης συνέχειας

Για να αντλήσετε τη διαφορική μορφή της εξίσωσης συνέχειας, σκεφτείτε ένα αντικείμενο όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι διαστάσεις είναι dx, dy και dz. Υπάρχουν κάποιες υποθέσεις για αυτόν τον σχηματισμό. Η μάζα του υγρού δεν δημιουργείται ή καταστρέφεται, δεν υπάρχει κοιλότητα ή φυσαλίδες στο υγρό (συνεχής ροή). Θεωρούμε dx στην κατεύθυνση x, dy σε y και dz σε z κατευθύνσεις για ευκολία στην παραγωγή.

Αν u είναι η ταχύτητα της ροής του υγρού όπως φαίνεται στην όψη του σχήματος. Υποτίθεται ότι η ταχύτητα είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια διατομής του προσώπου. Η ταχύτητα υγρού στην επιφάνεια 1-2-3-4 είναι u. τώρα; η επιφάνεια 5-6-7-8 είναι απόσταση dx μακριά από 1-2-3-4. Έτσι, η ταχύτητα στα 5-6-7-8 δίνεται ως

u + ∂u / ∂x dx
Διαφορική μορφή της εξίσωσης συνέχειας
Διαφορική μορφή της εξίσωσης συνέχειας

Όπως γνωρίζουμε ότι υπάρχει αλλαγή στην πυκνότητα με τη χρήση συμπιέσιμου υγρού. Εάν το συμπιέσιμο ρευστό διέρχεται από ένα αντικείμενο, η πυκνότητα θα αλλάξει.

Η ροή μάζας που εισέρχεται στο αντικείμενο δίνεται ως

Ροή μάζας =; AV

Ρυθμός ροής μάζας =; AV dt

Το υγρό εισέρχεται στο 1-2-3-4

Ρευστό εισόδου = πυκνότητα (περιοχή * ταχύτητα) dt

Ρευστό εισόδου = ρ u dy dz dt

Εξ.… 1

Το υγρό φεύγει από 5-6-7-8

Υγρό εξόδου

ρευστό εξόδου = [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt	

Εξ.… 2

Τώρα, η διαφορά μεταξύ υγρού εισόδου και υγρού εξόδου είναι η μάζα που παραμένει στη ροή κατεύθυνσης x.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt
= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Εξ.… 3

Ομοίως, θεωρούμε ότι η μάζα του ρευστού σε y και z δίνεται όπως παρακάτω,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Εξ.… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Εξ.… 5

Εδώ, τα v και w είναι οι ταχύτητες του ρευστού σε διευθύνσεις y και z, αντίστοιχα.

Για τη ροή μάζας υγρού και στις τρεις κατευθύνσεις, οι άξονες δίδονται με την προσθήκη του Εξ. 3, 4 και 5. Δίνεται ως κάτω από τη συνολική μάζα υγρού,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Εξ.… 6

Ο ρυθμός μεταβολής της μάζας μέσα στο αντικείμενο δίνεται από,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × όγκος) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Εξ.… 7

Σύμφωνα με την κατανόηση της μαζικής διατήρησης Εξ. 6 ίσο με εξ. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση και απλοποιώντας την, παίρνουμε,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Εξ.… 8

Εξ. 8 είναι. Εξίσωση συνέχειας για γενική ροή. Μπορεί να είναι σταθερό ή ασταθές, συμπιέσιμο ή ασυμπίεστο.

Εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστη ροή

Αν σκεφτούμε ότι η ροή είναι σταθερή και ασυμπίεστη. Γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση σταθερής ροής ??/? T = 0. Εάν η ροή είναι ασυμπίεστη, τότε η πυκνότητα; παραμένει σταθερό. Έτσι, εξετάζοντας αυτήν την προϋπόθεση, η εξίσωση 8 μπορεί να γραφτεί ως,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Εξίσωση συνέχειας για δισδιάστατη συνεπίπεδη ροή

Σε δισδιάστατη ροή, υπάρχουν δύο κατευθύνσεις x και y. Ετσι, u ταχύτητα σε κατεύθυνση x και v ταχύτητα στην κατεύθυνση y. Δεν υπάρχει κατεύθυνση z, έτσι η ταχύτητα στην κατεύθυνση z είναι μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις συνθήκες, η Εξ. 8 γύρισε όπως παρακάτω,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Συμπιέσιμη ροή

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Μη συμπιέσιμη ροή, η πυκνότητα είναι μηδέν

Παράδειγμα εξίσωσης συνέχειας

Υπάρχει αέρας ροής μέσω του σωλήνα με ρυθμό 0.25 kg / s σε απόλυτη πίεση 2.25 bar και θερμοκρασία 300 K. Εάν η ταχύτητα ροής είναι 7.5 m / s, τότε ποια θα είναι η ελάχιστη διάμετρος του σωλήνα;

Δεδομένα,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300 Κ,

V = 7.5 m / s,

Υπολογίστε την πυκνότητα του αέρα,

P =? RT

; = P / RT

; = (2.25 * 105 ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m3

Ρυθμός ροής μάζας αέρα,

m =? AV

A = m /? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m2

Όπως γνωρίζουμε αυτήν την περιοχή,

Α = π D2 / 4

D = √ ((A * 4) / π)
D = √ ((0.012 * 4) / 3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Ένα πίδακα νερού προς τα πάνω είναι το άκρο του ακροφυσίου με ταχύτητα 15 m / s. Η διάμετρος του ακροφυσίου είναι 20 mm. ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας κατά τη λειτουργία. Ποια θα είναι η διάμετρος του πίδακα νερού στα 5 m πάνω από το άκρο του ακροφυσίου.

Ans.

Πρώτα απ 'όλα, φανταστείτε το σύστημα. η ροή είναι σε κατακόρυφη κατεύθυνση.

Δεδομένα,

V1 = ταχύτητα πίδακα στο άκρο του ακροφυσίου

V2 = ταχύτητα πίδακα στα 5 m πάνω από το άκρο του ακροφυσίου

Ομοίως, οι περιοχές Α1 και Α2.

Έχουμε γενική εξίσωση κίνησης όπως παρακάτω,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s
〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Τώρα, εφαρμόστε εξίσωση συνέχειας,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) / 11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2
π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Διάμετρος = 0.023 m = 23 mm

Ερωτήσεις & Απαντήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της εξίσωσης συνέχειας και της εξίσωσης Navier Stokes;

Τα ρευστά, εξ ορισμού, μπορούν να ρέουν αλλά είναι ουσιαστικά ασυμπίεστο στη φύση. ο εξίσωση συνέχειας είναι συνέπεια του γεγονότος ότι αυτό που πηγαίνει σε σωλήνα / σωλήνα πρέπει επίσης να απελευθερωθεί. Έτσι, στο τέλος, η περιοχή επί το χρόνο της ταχύτητας στο άκρο ενός σωλήνα / σωλήνα πρέπει να παραμείνει σταθερή.

Σε μια αναγκαία συνέπεια, εάν η περιοχή του σωλήνα / σωλήνα μειωθεί, η ταχύτητα του υγρού πρέπει επίσης να αυξηθεί για να διατηρηθεί η ταχύτητα ροής σταθερή.

Ενώ η Εξίσωση Navier-Stokes περιγράφει τις σχέσεις μεταξύ της ταχύτητας, της πίεσης, των θερμοκρασιών και της πυκνότητας ενός κινούμενου υγρού. Αυτή η εξίσωση συνήθως συνδυάζεται με διάφορες μορφές διαφορικών εξισώσεων. Συνήθως, είναι πολύ περίπλοκο να λυθεί αναλυτικά.

Σε τι βασίζεται η εξίσωση συνέχειας;

Η εξίσωση της συνέχειας λέει ότι ο όγκος του υγρού που εισέρχεται στον σωλήνα οποιασδήποτε διατομής πρέπει να είναι ίσος με τον όγκο του υγρού που αφήνει την άλλη πλευρά της περιοχής διατομής, που σημαίνει ότι ο ρυθμός ροής πρέπει να είναι σταθερός και ακολουθήστε τη σχέση-

Ας υποθέσουμε ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο (υγρό), τότε η πυκνότητα υγρού δεν θα αλλάξει σε κανένα σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητα υγρού είναι σταθερή.

AV = Σταθερό

Ρυθμός ροής = A1 V1 = A2 V2

Σε τι χρησιμοποιείται η εξίσωση συνέχειας;

Εξίσωση συνέχειας έχει πολλές εφαρμογές στον τομέα της υδροδυναμικής, της αεροδυναμικής, του ηλεκτρομαγνητισμού, της κβαντικής μηχανικής. Είναι μια σημαντική ιδέα για τον θεμελιώδη κανόνα της Αρχής του Μπερνούλι, εμπλέκεται έμμεσα στην αρχή και τις εφαρμογές της Αεροδυναμικής.

Η εξίσωση της συνέχειας εκφράζει έναν τοπικό νόμο διατήρησης ανάλογα με το πλαίσιο. Είναι απλώς μια μαθηματική δήλωση που είναι λεπτή αλλά πολύ ισχυρή σχετικά με την τοπική διατήρηση συγκεκριμένων ποσοτήτων.

Διατηρείται η εξίσωση της συνέχειας για υπερηχητική ροή;

Ναι, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για υπερηχητική ροή. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για άλλες ροές όπως υπερηχητική, υπερηχητική και υποηχητική. Η διαφορά είναι ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συντηρητική μορφή της εξίσωσης.

Ποια είναι η τρισδιάστατη μορφή της εξίσωσης συνέχειας για σταθερή ασυμπίεστη ροή;

Αν σκεφτούμε ότι η ροή είναι σταθερή και ασυμπίεστη. Γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση σταθερής ροής ??/? T = 0. Εάν η ροή είναι ασυμπίεστη, τότε η πυκνότητα; παραμένει σταθερό. Έτσι, εξετάζοντας αυτήν την προϋπόθεση, η εξίσωση 8 μπορεί να γραφτεί ως,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Ποια είναι η τρισδιάστατη μορφή της εξίσωσης συνέχειας για σταθερή συμπιέσιμη και ασυμπίεστη ροή;

Σε δισδιάστατη ροή, υπάρχουν δύο κατευθύνσεις x και y. Έτσι, η ταχύτητα u σε κατεύθυνση x και η ταχύτητα v στην κατεύθυνση y. Δεν υπάρχει κατεύθυνση z, έτσι η ταχύτητα στην κατεύθυνση z είναι μηδέν. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις συνθήκες, η Εξ. 8 γύρισε όπως παρακάτω,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0
 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ποιο από τα παρακάτω είναι μια μορφή εξίσωσης συνέχειας;

  1. v1 A1 = v2 A2
  2. v1 t1 = v2 t2
  3. ΔV / τ
  4. v1 / ΕΝΑ1 = v2 / ΕΝΑ2

Τι δίνει η εξίσωση συνέχειας στην έννοια της κίνησης ενός ιδανικού υγρού;

  1. Καθώς η περιοχή διατομής αυξάνεται, η ταχύτητα αυξάνεται.
  2. Καθώς η περιοχή διατομής μειώνεται, η ταχύτητα αυξάνεται.
  3. Καθώς η περιοχή διατομής μειώνεται, η ταχύτητα μειώνεται.
  4. Καθώς η περιοχή διατομής αυξάνεται, ο όγκος μειώνεται.
  5. Καθώς αυξάνεται η ένταση, η ταχύτητα μειώνεται.

Η εξίσωση της συνέχειας βασίζεται στην αρχή του

a) διατήρηση της μάζας

β) διατήρηση της ορμής

γ) εξοικονόμηση ενέργειας

δ) διατήρηση της δύναμης

Δύο παρόμοιες διαμέτρους σωλήνα του d συγκλίνουν για να αποκτήσουν ένα σωλήνα διαμέτρου D. Ποια μπορεί να είναι η παρατήρηση μεταξύ d και D ;. Η ταχύτητα ροής στο νέο σωλήνα θα είναι διπλάσια από κάθε έναν από τους δύο σωλήνες;

a) Δ = δ

β) D = 2d

γ) D = 3δ

δ) D = 4d

Οι σωλήνες διαφορετικών διαμέτρων d1 και d2 συγκλίνουν για να αποκτήσουν ένα σωλήνα διαμέτρου 2d. Εάν η ταχύτητα του υγρού και στους δύο σωλήνες είναι v1 και v2, ποια θα είναι η ταχύτητα ροής στο νέο σωλήνα;

α) v1 + v2

β) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

δ) 2 (v1 + v2)

Συμπέρασμα

Αυτό το άρθρο περιλαμβάνει παραλλαγές εξισώσεων συνέχειας με τη διαφορετική τους μορφή και συνθήκες. Βασικά παραδείγματα και ερωτήσεις δίνονται για καλύτερη κατανόηση της έννοιας της εξίσωσης συνέχειας.

Για περισσότερα άρθρα με σχετικά θέματα, Κάνε κλικ εδώ

Σχετικά με τον Deepakkumar Jani

Είμαι ο Deepak Kumar Jani, ακολουθώντας διδακτορικό στη Μηχανική - Ανανεώσιμη ενέργεια. Έχω πέντε χρόνια διδασκαλίας και διετή ερευνητική εμπειρία. Το αντικείμενο που ενδιαφέρομαι είναι η θερμική μηχανική, η αυτοκινητοβιομηχανία, η Μηχανολογική μέτρηση, το Σχέδιο Μηχανικής, η Μηχανική Ρευστών κ.λπ. Έχω υποβάλει δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για την «Υβριδοποίηση πράσινης ενέργειας για παραγωγή ενέργειας». Έχω δημοσιεύσει 17 ερευνητικά έγγραφα και δύο βιβλία.
Χαίρομαι που είμαι μέλος του Lambdageeks και θα ήθελα να παρουσιάσω κάποια από τα στοιχεία μου με απλοϊκό τρόπο στους αναγνώστες.
Εκτός από τους ακαδημαϊκούς και την έρευνα, μου αρέσει η περιπλάνηση στη φύση, η σύλληψη της φύσης και η ευαισθητοποίηση για τη φύση μεταξύ των ανθρώπων.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/jani-deepak-b0558748/.
Ανατρέξτε επίσης στο κανάλι You-tube σχετικά με την «Πρόσκληση από τη Φύση»

Αφήστε ένα σχόλιο

Η διεύθυνση email σας δεν θα δημοσιευθεί. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται *

Lambda Geeks