Συνεχής τυχαία μεταβλητή, τύποι και κατανομή της
Η τυχαία μεταβλητή που λαμβάνει τις πεπερασμένες ή μετρήσιμες άπειρες τιμές είναι γνωστή ως διακριτή τυχαία μεταβλητή και το ζεύγος της με πιθανότητα σχηματίζει την κατανομή για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή. Τώρα για την τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές ως μετρήσιμες, ποια θα ήταν η πιθανότητα και τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά που πρόκειται να συζητήσουμε. Έτσι, εν συντομία, η συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η τυχαία μεταβλητή της οποίας το σύνολο τιμών είναι μετρήσιμο. Το πραγματικό παράδειγμα της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η διάρκεια ζωής των ηλεκτρικών ή ηλεκτρονικών εξαρτημάτων και η άφιξη συγκεκριμένου δημόσιου οχήματος στις στάσεις κ.λπ.
Συνεχής λειτουργία τυχαίας μεταβλητής και πυκνότητας πιθανότητας
Τυχαία μεταβλητή θα είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή εάν για μια μη αρνητική πραγματική συνάρτηση f στο x ∈ ℝ και Β ⊆ ℝ και
αυτή η συνάρτηση f είναι γνωστή ως Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της δεδομένης τυχαίας μεταβλητής X.
Η καλύτερη Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας προφανώς ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα πιθανότητας
Δεδομένου ότι από τα αξιώματα της πιθανότητας γνωρίζουμε ότι η συνολική πιθανότητα είναι έτσι
Για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, η πιθανότητα θα υπολογιστεί σε σχέση με μια τέτοια συνάρτηση f, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα για το συνεχές διάστημα, ας πούμε [a, b] τότε θα ήταν
Όπως γνωρίζουμε, η ολοκλήρωση αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη, έτσι αυτή η πιθανότητα δείχνει τέτοια περιοχή για την πιθανότητα όπως
εξισώνοντας a = b η τιμή θα είναι
και με παρόμοιο τρόπο η πιθανότητα για την τιμή μικρότερη ή ίση με τη συγκεκριμένη τιμή, ακολουθώντας αυτήν θα είναι
Παράδειγμα: Ο συνεχής χρόνος εργασίας του ηλεκτρονικού στοιχείου εκφράζεται με τη μορφή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται ως
βρείτε την πιθανότητα ότι το στοιχείο θα λειτουργεί αποτελεσματικά μεταξύ 50 και 150 ωρών και η πιθανότητα μικρότερης από 100 ώρες.
δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή αντιπροσωπεύει τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται στην ερώτηση δίνει τη συνολική πιθανότητα ως
Έτσι θα πάρουμε την αξία του λ
λ = 1/100
για την πιθανότητα 50 ωρών έως 150 ωρών που έχουμε
με τον ίδιο τρόπο η πιθανότητα θα είναι μικρότερη από 100
Παράδειγμα: Η συσκευή που βασίζεται στον υπολογιστή έχει αριθμό chipset με διάρκεια ζωής που δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Στη συνέχεια, μετά από 150 ώρες βρείτε την πιθανότητα ότι πρέπει να αντικαταστήσουμε 2 chipset από συνολικά 5 μάρκες.
ας σκεφτούμε Ei γίνετε το event για να αντικαταστήσετε το i-th chipset. έτσι η πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος θα είναι
καθώς λειτουργούν όλες οι μάρκες ανεξάρτητα, έτσι η πιθανότητα αντικατάστασης 2 θα είναι
Λειτουργία αθροιστικής διανομής
Η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή ορίζεται με τη βοήθεια της λειτουργίας κατανομής πιθανότητας ως
σε άλλη μορφή
μπορούμε να αποκτήσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με τη βοήθεια της λειτουργίας κατανομής ως
Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής
Προσδοκία
Η καλύτερη μαθηματική προσδοκία ή μέσος όρος της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να οριστεί ως
- Για οποιαδήποτε πραγματική αποτιμώμενη συνάρτηση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η προσδοκία X θα είναι
όπου g είναι η πραγματική αξία λειτουργία.
- Για κάθε μη αρνητικό συνεχές τυχαία μεταβλητή Υ η προσδοκία θα είναι
- Για οποιεσδήποτε σταθερές a και b
E [aX + b] = aE [X] + b
Διαφορά
Η διακύμανση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X με τον μέσο όρο ή την προσδοκία της παραμέτρου μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο όπως είναι η διακριτή τυχαία μεταβλητή
Η απόδειξη όλων των παραπάνω ιδιότητες της προσδοκίας και της διακύμανσης μπορούμε εύκολα να λάβουμε ακολουθώντας απλώς τα βήματα που έχουμε στη διακριτή τυχαία μεταβλητή και τους ορισμούς της προσδοκίας, της διακύμανσης και της πιθανότητας σε όρους συνεχούς τυχαίας μεταβλητής
Παράδειγμα: Εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από
τότε βρείτε την προσδοκία και τη διακύμανση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X.
Λύση: Για τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
η αναμενόμενη τιμή από τον ορισμό θα είναι
Τώρα για να βρούμε τη διακύμανση χρειαζόμαστε E [X2]
Από
so
Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή
Εάν η συνεχής τυχαία μεταβλητή X έχει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από
στο διάστημα (0,1) τότε αυτή η κατανομή είναι γνωστή ως ομοιόμορφη κατανομή και η τυχαία μεταβλητή είναι γνωστή ως ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή.
- Για οποιεσδήποτε σταθερές a και b έτσι ώστε 0
Προσδοκία και διακύμανση της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής
Για την ομοιόμορφα συνεχή τυχαία μεταβλητή X στο γενικό διάστημα (α, β) η προσδοκία από τον ορισμό θα είναι
και διακύμανση θα πάρουμε αν βρούμε το πρώτο E [X2]
so
Παράδειγμα: Σε έναν συγκεκριμένο σταθμό, τα τρένα για τον συγκεκριμένο προορισμό φτάνουν με συχνότητα 15 λεπτών από τις 7 π.μ. και ποια θα είναι η πιθανότητα για περισσότερο από 7 λεπτά.
Λύση: Καθώς ο χρόνος από 7 έως 7.30 κατανέμεται ομοιόμορφα ώστε ο επιβάτης να βρίσκεται στο σιδηροδρομικό σταθμό δηλώστε το με ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή X. έτσι το διάστημα θα είναι (0, 30)
Δεδομένου ότι για να πάρει το τρένο μέσα σε 5 λεπτά ο επιβάτης πρέπει να βρίσκεται στο σταθμό μεταξύ 7.10 έως 7.15 ή 7.25 έως 7.30, οπότε η πιθανότητα
= 1/3
Με παρόμοιο τρόπο για να πάρετε το τρένο αφού περιμένετε περισσότερα από 10 λεπτά, ο επιβάτης πρέπει να βρίσκεται στο σταθμό από 7 έως 7.05 ή 7.15 έως 7.20, ώστε η πιθανότητα να είναι
Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα για την ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή X που κατανέμεται στο διάστημα (0,10)
για X <3, X> 6 και 3
Λύση: δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή δίνεται ως ομοιόμορφα κατανεμημένη, έτσι οι πιθανότητες θα είναι
Παράδειγμα: (Παράδοξο Μπέρτραντς) Για οποιαδήποτε τυχαία χορδή ενός κύκλου. Ποια θα ήταν η πιθανότητα ότι το μήκος αυτής της τυχαίας χορδής θα είναι μεγαλύτερο από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο.
Αυτά τα προβλήματα δεν έχουν εκκαθάριση σχετικά με την τυχαία χορδή, οπότε αυτό το πρόβλημα αναδιατυπώθηκε από την άποψη της διαμέτρου ή της γωνίας και στη συνέχεια απαντήθηκε καθώς ελήφθη το 1/3.
Συμπέρασμα:
Σε αυτό το άρθρο συζητήθηκε η έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και η κατανομή της με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και δίνεται η μέση στατιστική παράμετρος, η διακύμανση για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή. Δίδεται η ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή και η κατανομή της με παράδειγμα που είναι ο τύπος συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο διαδοχικό άρθρο, θα επικεντρώσουμε ορισμένους σημαντικούς τύπους συνεχούς τυχαίας μεταβλητής με κατάλληλα παραδείγματα και ιδιότητες. , εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε:
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Αν θέλετε να διαβάσετε περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, τότε διαβάστε Σελίδα μαθηματικών.
