Συνεχής τυχαία μεταβλητή | Η σημαντική διανομή του

Συνεχής τυχαία μεταβλητή, τύποι και κατανομή της

     Η τυχαία μεταβλητή που λαμβάνει τις πεπερασμένες ή μετρήσιμες άπειρες τιμές είναι γνωστή ως διακριτή τυχαία μεταβλητή και το ζεύγος της με πιθανότητα σχηματίζει την κατανομή για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή. Τώρα για την τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές ως μετρήσιμες, ποια θα ήταν η πιθανότητα και τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά που πρόκειται να συζητήσουμε. Έτσι, εν συντομία, η συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η τυχαία μεταβλητή της οποίας το σύνολο τιμών είναι μετρήσιμο. Το πραγματικό παράδειγμα της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η διάρκεια ζωής των ηλεκτρικών ή ηλεκτρονικών εξαρτημάτων και η άφιξη συγκεκριμένου δημόσιου οχήματος στις στάσεις κ.λπ.

Συνεχής λειτουργία τυχαίας μεταβλητής και πυκνότητας πιθανότητας

                Τυχαία μεταβλητή  θα είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή εάν για μια μη αρνητική πραγματική συνάρτηση f στο x και Β ⊆    

    \ [P \ αριστερά \ {X \ in B \ δεξιά \} = \ int_ {B} f (x) dx \]

αυτή η συνάρτηση f είναι γνωστή ως Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας  της δεδομένης τυχαίας μεταβλητής X.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ικανοποιεί προφανώς τα ακόλουθα αξιώματα πιθανότητας

    \ [1. \ \ f (x) \ geq 0 \]

    \ [2. \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = 1 \]

Δεδομένου ότι από τα αξιώματα της πιθανότητας γνωρίζουμε ότι η συνολική πιθανότητα είναι έτσι

\ 1 = P [X \ in (- \ infty, \ infty)] = \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx \

Για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, η πιθανότητα θα υπολογιστεί σε σχέση με μια τέτοια συνάρτηση f, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα για το συνεχές διάστημα, ας πούμε [a, b] τότε θα ήταν

P \ αριστερά {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx

Όπως γνωρίζουμε, η ολοκλήρωση αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη, έτσι αυτή η πιθανότητα δείχνει τέτοια περιοχή για την πιθανότητα όπως

Συνεχής τυχαία μεταβλητή | Η σημαντική διανομή του
Συνεχής τυχαία μεταβλητή

εξισώνοντας a = b η τιμή θα είναι

P {\ αριστερά {X = a \ right}} = \ int_ {a} ^ {a} f (x) dx = 0

και με παρόμοιο τρόπο η πιθανότητα για την τιμή μικρότερη ή ίση με τη συγκεκριμένη τιμή, ακολουθώντας αυτήν θα είναι

P \ αριστερά {X <a \ right} = P \ αριστερά {X \ leq a \ right} = F (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

Παράδειγμα: Ο συνεχής χρόνος εργασίας του ηλεκτρονικού στοιχείου εκφράζεται με τη μορφή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται ως

x = \ έναρξη {case} \ lambda e ^ {- x / 100} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x \ geq 0 \ end {case}

βρείτε την πιθανότητα ότι το στοιχείο θα λειτουργεί αποτελεσματικά μεταξύ 50 και 150 ωρών και η πιθανότητα μικρότερης από 100 ώρες.

δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή αντιπροσωπεύει τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται στην ερώτηση δίνει τη συνολική πιθανότητα ως

1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x / 100} dx

Έτσι θα πάρουμε την αξία του λ

1=-\lambda (100)e^{-x/100}\lvert_{\infty }^{0}=100\lambda

λ = 1/100

για την πιθανότητα 50 ωρών έως 150 ωρών που έχουμε

P \ αριστερά {50 <X <150 \ right} = \ int_ {50} ^ {150} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {150} ^ {50}

=e^{-1/2} -e^{-3/2}\approx .384

με τον ίδιο τρόπο η πιθανότητα θα είναι μικρότερη από 100

P \ αριστερά {X <100 \ right} = \ int_ {0} ^ {100} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {0} ^ {100}

= 1- e ^ {- 1} \ περίπου. 633

Παράδειγμα: Η συσκευή που βασίζεται στον υπολογιστή έχει αριθμό chipset με διάρκεια ζωής που δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f (x) = \ begin {cases} 0 & \ x \ leq 100 \ \ frac {100} {x ^ {2}} & \ x> 100 \ τέλος {περιπτώσεις}

Στη συνέχεια, μετά από 150 ώρες βρείτε την πιθανότητα ότι πρέπει να αντικαταστήσουμε 2 chipset από συνολικά 5 μάρκες.

ας σκεφτούμε Ei γίνετε το event για να αντικαταστήσετε το i-th chipset. έτσι η πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος θα είναι

P (E_ {i}) = \ int_ {0} ^ {150} f (x) dx

=100\int_{100}^{150} x^{-2}dx =\frac{1}{3}

καθώς λειτουργούν όλες οι μάρκες ανεξάρτητα, έτσι η πιθανότητα αντικατάστασης 2 θα είναι

p(X) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}

Λειτουργία αθροιστικής διανομής

  Η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή ορίζεται με τη βοήθεια της λειτουργίας κατανομής πιθανότητας ως

F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du

σε άλλη μορφή

F (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

μπορούμε να αποκτήσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με τη βοήθεια της λειτουργίας κατανομής ως

\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F (a) = f (α)

Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Προσδοκία

Η μαθηματική προσδοκία ή μέσος όρος της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής  με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας  μπορεί να οριστεί ως

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

  • Για οποιαδήποτε πραγματική αποτιμώμενη συνάρτηση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η προσδοκία X θα είναι

E [g (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f (x) dx

όπου g είναι η συνάρτηση πραγματικής αποτίμησης.

  1. Για οποιαδήποτε μη αρνητική συνεχή τυχαία μεταβλητή Υ, η προσδοκία θα είναι

E [Y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} P \ αριστερά {Y> y \ δεξιά} dy

  • Για οποιεσδήποτε σταθερές a και b

E [aX + b] = aE [X] + b

Διαφορά

                Η διακύμανση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X με τον μέσο όρο ή την προσδοκία της παραμέτρου  μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο όπως είναι η διακριτή τυχαία μεταβλητή

Var (X) = E [(X - \ mu) ^ {2}]

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

Για οποιεσδήποτε σταθερές a και b

Var (aX + b) = a ^ {2} Var (X)

   Η απόδειξη όλων των παραπάνω ιδιοτήτων προσδοκίας και διακύμανσης που μπορούμε εύκολα να αποκτήσουμε ακολουθώντας τα βήματα που έχουμε στη διακριτή τυχαία μεταβλητή και τους ορισμούς της προσδοκίας, της διακύμανσης και της πιθανότητας όσον αφορά τη συνεχή τυχαία μεταβλητή

Παράδειγμα: Εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από

f (x) = \ έναρξη {περιπτώσεις} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ διαφορετικά \ τέλος {περιπτώσεις}

τότε βρείτε την προσδοκία και τη διακύμανση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X.

Λύση:  Για τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f (x) = \ έναρξη {περιπτώσεις} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ διαφορετικά \ τέλος {περιπτώσεις}

η αναμενόμενη τιμή από τον ορισμό θα είναι

E [X] = \ int xf (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {2} dx = \ frac {2} {3}

Τώρα για να βρείτε τη διακύμανση που χρειαζόμαστε ΠΡΩΗΝ2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} f (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {3} dx = \ frac {1} {2}

Από

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

so

Var (X) = \ frac {1} {2} - (\ frac {2} {3}) ^ {2} = \ frac {1} {18}

Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή

    Εάν η συνεχής τυχαία μεταβλητή X έχει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από

f (x) = \ έναρξη {περιπτώσεις} 1 & \ 0 <x <1 \\ 0 & \ αλλιώς \ τέλος {περιπτώσεις}

στο διάστημα (0,1) τότε αυτή η κατανομή είναι γνωστή ως ομοιόμορφη κατανομή και η τυχαία μεταβλητή είναι γνωστή ως ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή.

  • Για οποιεσδήποτε σταθερές a και b τέτοιες 0

P \ αριστερά {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = ba

  • Αντί για το διάστημα (0,1) μπορούμε να γενικεύσουμε την ομοιόμορφη κατανομή σε οποιοδήποτε γενικό διάστημα (α, β)  εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την τυχαία μεταβλητή είναι

f (x) = \ begin {cases} \ frac {1} {\ beta - \ alpha} & \ if \ \ \ alpha

Συνεχής τυχαία μεταβλητή
Συνεχής τυχαία μεταβλητή: Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή

Προσδοκία και διακύμανση της ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής

      Για την ομοιόμορφα συνεχή τυχαία μεταβλητή X στο γενικό διάστημα (α, β) η προσδοκία από τον ορισμό θα είναι

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

= \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {2 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta + \ alpha} {2}

και η διακύμανση θα έχουμε αν βρούμε πρώτα ΠΡΩΗΝ2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x ^ {2}} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {3} - \ alpha ^ {3}} {3 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3}

so

Var (X) = \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3} - \ frac {(\ alpha + \ beta) ^ {2}} {4}

= \ frac {(\ beta - \ alpha) ^ {2}} {12}

Παράδειγμα: Σε έναν συγκεκριμένο σταθμό, τα τρένα για τον συγκεκριμένο προορισμό φτάνουν με συχνότητα 15 λεπτών από τις 7 π.μ. και ποια θα είναι η πιθανότητα για περισσότερο από 7 λεπτά.

Λύση: Καθώς ο χρόνος από 7 έως 7.30 κατανέμεται ομοιόμορφα ώστε ο επιβάτης να βρίσκεται στο σιδηροδρομικό σταθμό δηλώστε το με ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή X. έτσι το διάστημα θα είναι (0, 30)

Δεδομένου ότι για να πάρει το τρένο μέσα σε 5 λεπτά ο επιβάτης πρέπει να βρίσκεται στο σταθμό μεταξύ 7.10 έως 7.15 ή 7.25 έως 7.30, οπότε η πιθανότητα

P \ αριστερά {10 <X <15 \ δεξιά} + P \ αριστερά {25 <X <30 \ δεξιά} = \ int_ {10} ^ {15} \ frac {1} {30} dx + \ int_ {25} ^ {30} \ frac {1} {30} dx

= 1/3

Με παρόμοιο τρόπο για να πάρετε το τρένο αφού περιμένετε περισσότερα από 10 λεπτά, ο επιβάτης πρέπει να βρίσκεται στο σταθμό από 7 έως 7.05 ή 7.15 έως 7.20, ώστε η πιθανότητα να είναι

P \ αριστερά {0 <X <5 \ δεξιά} + P \ αριστερά {15 <X <20 \ δεξιά} = \ frac {1} {3}

Παράδειγμα: Βρείτε την πιθανότητα για την ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή X που κατανέμεται στο διάστημα (0,10)

για X <3, X> 6 και 3

Λύση: δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή δίνεται ως ομοιόμορφα κατανεμημένη, έτσι οι πιθανότητες θα είναι

P \ αριστερά \ {X <3 \ δεξιά \} = \ int_ {0} ^ {3} \ frac {1} {10} dx = \ frac {3} {10}

P \ αριστερά {X> 6 \ δεξιά} = \ int_ {6} ^ {10} \ frac {1} {10} dx = \ frac {4} {10}

P \ αριστερά {3 <X <8 \ right} = \ int_ {3} ^ {8} \ frac {1} {10} dx = \ frac {1} {2}

Παράδειγμα: (Bertrands Paradox) Για οποιαδήποτε τυχαία χορδή ενός κύκλου. Ποια θα ήταν η πιθανότητα ότι το μήκος αυτής της τυχαίας χορδής θα είναι μεγαλύτερο από την πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο.

Αυτά τα προβλήματα δεν έχουν εκκαθάριση σχετικά με την τυχαία χορδή, οπότε αυτό το πρόβλημα αναδιατυπώθηκε από την άποψη της διαμέτρου ή της γωνίας και στη συνέχεια απαντήθηκε καθώς ελήφθη το 1/3.

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο συζητήθηκε η έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και η κατανομή της με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και δίνεται η μέση στατιστική παράμετρος, η διακύμανση για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή. Δίδεται η ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή και η κατανομή της με παράδειγμα που είναι ο τύπος συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο διαδοχικό άρθρο, θα επικεντρώσουμε ορισμένους σημαντικούς τύπους συνεχούς τυχαίας μεταβλητής με κατάλληλα παραδείγματα και ιδιότητες. , εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε:

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Αν θέλετε να διαβάσετε περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, τότε διαβάστε Σελίδα μαθηματικών.

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks