Συντονίστε τη γεωμετρία
Σήμερα είμαστε εδώ για να συζητήσουμε τη Γεωμετρία Συντεταγμένων από τη ρίζα της. Έτσι, όλο το άρθρο αφορά το τι είναι η Γεωμετρία Συντεταγμένων, τα σχετικά προβλήματα και οι λύσεις τους όσο το δυνατόν περισσότερο.
(Α) Εισαγωγή
Η Γεωμετρία Συντεταγμένων είναι το πιο ενδιαφέρον και σημαντικό πεδίο των Μαθηματικών. Χρησιμοποιείται στη φυσική, τη μηχανική και επίσης στην αεροπορία, στην πυραυλική, στη διαστημική επιστήμη, στο διάστημα.
Για να μάθουμε πρώτα για τη Γεωμετρία Συντεταγμένων, πρέπει να γνωρίζουμε τι είναι η Γεωμετρία.
Στην ελληνική λέξη «Geo» σημαίνει Γη και «Μέτρο» σημαίνει Μέτρηση, δηλαδή Μέτρηση Γης. Είναι το αρχαιότερο μέρος των μαθηματικών, που ασχολείται με τις ιδιότητες του χώρου και των αριθμών, δηλαδή θέσεις, μεγέθη, σχήματα, γωνίες και διαστάσεις των πραγμάτων.
Τι είναι η Γεωμετρία Συντεταγμένων;
Η γεωμετρία συντεταγμένων είναι ο τρόπος εκμάθησης της γεωμετρίας χρησιμοποιώντας το σύστημα Συντεταγμένων. Περιγράφει τη σχέση μεταξύ γεωμετρίας και άλγεβρας.
Πολλοί μαθηματικοί κάλεσαν επίσης τη γεωμετρία Συντεταγμένων ως Αναλυτική Γεωμετρία ή Καρτεσιανή Γεωμετρία.
Γιατί ονομάζεται Αναλυτική Γεωμετρία;
Η Γεωμετρία και η Άλγεβρα είναι δύο διαφορετικοί κλάδοι στα Μαθηματικά. Τα γεωμετρικά σχήματα μπορούν να αναλυθούν χρησιμοποιώντας αλγεβρικούς συμβολισμούς και μεθόδους και αντίστροφα, δηλαδή οι αλγεβρικές εξισώσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με γεωμετρικά γραφήματα. Αυτός είναι ο λόγος που ονομάζεται επίσης Αναλυτική Γεωμετρία.
Γιατί ονομάζεται Καρτεσιανή Γεωμετρία;
Η Συντεταγμένη Γεωμετρία ονομάστηκε επίσης Καρτεσιανή Γεωμετρία μετά από τον Γάλλο μαθηματικό Rene Descartes, καθώς ανακάλυψε ανεξάρτητα την καρτεσιανή συντεταγμένη τον 17ο αιώνα και χρησιμοποιώντας αυτό, ένωσε την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία μαζί. Για μια τόσο σπουδαία δουλειά ο Rene Descartes είναι γνωστός ως ο Πατέρας της Γεωμετρίας Συντεταγμένων.
(Β) Σύστημα συντεταγμένων
Ένα σύστημα Συντεταγμένων είναι η βάση της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Χρησιμοποιείται τόσο σε δισδιάστατα όσο και σε τρισδιάστατα πεδία. Υπάρχουν τέσσερις τύποι συστημάτων συντεταγμένων γενικά.
(Γ) Ολόκληρο το θέμα της Γεωμετρίας συντεταγμένων χωρίζεται σε δύο κεφάλαια.
- Το ένα είναι «Γεωμετρία Συντεταγμένων σε Δύο Διαστάσεις».
- Το δεύτερο είναι «Συντεταγμένη Γεωμετρία σε Τρεις Διαστάσεις».
Συντεταγμένη γεωμετρία σε δύο διαστάσεις (2D):
- Εδώ θα συζητήσουμε τόσο τις Καρτεσιανές όσο και τις Πολικές Συντεταγμένες σε δύο διαστάσεις μία προς μία. Θα λύσουμε επίσης ορισμένα προβλήματα για να πάρουμε μια σαφή ιδέα του ίδιου, και αργότερα θα βρούμε τη σχέση μεταξύ τους επίσης.
Καρτεσιανό Συντεταγμένο σε 2D:
Αρχικά, θα πρέπει να μάθουμε τους ακόλουθους όρους μέσω γραφημάτων.
i) Συντεταγμένοι άξονες
ii) Προέλευση
iii) Συντονισμός επιπέδου
iv) Συντεταγμένες
v) Τεταρτημόριο
Διαβάστε και ακολουθήστε τα σχήματα ταυτόχρονα.
Ας υποθέσουμε ότι η οριζόντια γραμμή XXand vertical line YY είναι δύο κάθετες γραμμές που τέμνονται μεταξύ τους σε ορθή γωνία στο σημείο O, XXand YY είναι αριθμητικές γραμμές, η τομή του XXand YY μορφές XY-επίπεδο και το P είναι οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το επίπεδο XY.
Συντεταγμένοι άξονες σε 2D
Εδώ XX and YY περιγράφονται ως Άξονες Συντεταγμένων. ΧΧ is indicated by X-Axis and YY υποδεικνύεται από τον Υ-άξονα. Από το XX and YY είναι αριθμητικές γραμμές, οι αποστάσεις που μετρώνται κατά μήκος OX και OY λαμβάνονται ως θετικές και επίσης οι αποστάσεις που μετρώνται κατά μήκος OX and OY θεωρούνται αρνητικά. (Βλέπε παραπάνω γράφημα 1)
Τι είναι το Origin στο 2D;
Το σημείο Ο ονομάζεται προέλευση. Το Ο υποτίθεται ότι είναι πάντα το σημείο εκκίνησης. Για να βρούμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο συντεταγμένων, πρέπει πάντα να ξεκινήσουμε το ταξίδι από την αρχή. Έτσι η προέλευση ονομάζεται Zero Point. (Ανατρέξτε στο παραπάνω γράφημα.1)
Τι καταλαβαίνουμε από το Coordinate Plane;
Το επίπεδο XY ορίζεται από δύο γραμμές αριθμών XX and YY ή ο άξονας Χ και ο άξονας Υ ονομάζεται Επίπεδο Συντεταγμένου ή Καρτεσιανό Επίπεδο. Αυτό το αεροπλάνο εκτείνεται απεριόριστα προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως δισδιάστατο επίπεδο. (Βλέπε παραπάνω γράφημα.1)
* Ας υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές x> 0 και y> 0 στο παραπάνω σχήμα.
Τι είναι ο Συντεταγμένος στο 2D;
Συντεταγμένη είναι ένα ζεύγος αριθμών ή γραμμάτων με τα οποία βρίσκεται η θέση ενός σημείου στο επίπεδο συντεταγμένων. Εδώ το P είναι οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων XY. Οι συντεταγμένες του σημείου P συμβολίζονται με P (x, y) όπου x είναι η απόσταση του P από τον άξονα Υ κατά μήκος του άξονα X και το y είναι η κάθετη απόσταση του P από τον άξονα X αντίστοιχα. Εδώ το x ονομάζεται τετμημένη ή συντεταγμένη x και το y ονομάζεται συντεταγμένη συντεταγμένη (βλέπε παραπάνω γράφημα 2)
Πώς να σχεδιάσετε ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων;
Πάντα θα πρέπει να ξεκινάμε από την αρχή και πρώτα να περπατάμε προς τα δεξιά ή αριστερά κατά μήκος του άξονα X για να καλύψουμε την απόσταση της συντεταγμένης x ή της τετμημένης, μετά να γυρίζουμε την κατεύθυνση πάνω ή κάτω κάθετα στον άξονα X για να καλύψουμε την απόσταση της τεταγμένης χρησιμοποιώντας μονάδες και τα σημάδια τους ανάλογα. Τότε φτάνουμε στο απαιτούμενο σημείο.
Εδώ για να απεικονίσετε το δεδομένο σημείο P (x, y) γραφικά ή για να το σχεδιάσετε στο δεδομένο επίπεδο XY, ξεκινήστε πρώτα από την αρχή O και καλύψτε την απόσταση x μονάδες κατά μήκος του άξονα X (κατά μήκος OX) και μετά γυρίστε σε γωνία 90 μοιρών Άξονας X ή παράλληλα με τον άξονα Y (εδώ OY) και καλύπτει τις μονάδες απόστασης y. (Βλ. Παραπάνω γράφημα 3)
Πώς να βρείτε συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου στο 2D;
Αφήστε το XY να είναι το δεδομένο επίπεδο, το O να είναι η προέλευση και το P να είναι το δεδομένο σημείο.
Αρχικά σχεδιάστε μια κάθετη από το σημείο P στον άξονα X στο σημείο A. Ας υποθέσουμε ότι OA = x μονάδες και AP = y μονάδες, τότε οι Συντεταγμένες του σημείου P γίνονται (OA, AP) δηλαδή (x, y).
Ομοίως, αν τραβήξουμε μια άλλη κάθετη από το σημείο P στον άξονα Υ στο σημείο B, τότε BP = x και OB = y.
Τώρα, καθώς το Α είναι το σημείο στον άξονα Χ, η απόσταση του Α από τον άξονα Υ κατά μήκος του άξονα Χ είναι ΟΑ = x και η κάθετη απόσταση από τον άξονα Χ είναι μηδέν, οπότε οι συντεταγμένες του Α γίνονται (x, 0).
Ομοίως, οι συντεταγμένες του σημείου Β στον άξονα Υ ως (0, y) και οι συντεταγμένες της προέλευσης O είναι (0,0).
Το γράφημα 5 * πράσινο χρώμα υποδηλώνει την αρχή
Τι είναι το Quadrant στο 2D;
Το Συντεταγμένο Επίπεδο χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τμήματα από τους άξονες συντεταγμένων. Κάθε ενότητα ονομάζεται Quadrant. Περιστρέφοντας αριστερόστροφα ή αριστερόστροφα από πάνω δεξιά, οι ενότητες ονομάζονται με τη σειρά ως Quadrant I, Quadrant II, Quadrant III και Quadrant iv.
Εδώ μπορούμε να δούμε τους άξονες X και Y να διαιρούν το επίπεδο XY σε τέσσερα τμήματα XOY, YOX, XOY and YΟΧ αναλόγως. Επομένως, η περιοχή XOY είναι το τεταρτημόριο I ή το πρώτο τεταρτημόριο, YOX is the Quadrant II or second quadrant, XOY is the Quadrant III or third quadrant and YΤο OX είναι το τεταρτημόριο IV ή το τέταρτο τεταρτημόριο. (Ανατρέξτε στο γράφημα 5)
Σημεία σε διαφορετικά τεταρτημόρια του επιπέδου συντεταγμένων:
Δεδομένου ότι το OX είναι + ve και OX is -ve side of X axis and OY is +ve and OY είναι -ve πλευρά του άξονα Υ, σημάδια συντεταγμένων σημείων σε διαφορετικά τεταρτημόρια--
Τεταρτημόριο I: (+, +)
Τεταρτημόριο II: (-, +)
Τεταρτημόριο III: (-, -)
Τεταρτημόριο IV: (+, -)
Για παράδειγμα, αν προχωρήσουμε κατά μήκος του OX από το O και σχεδιάσουμε μια κάθετη από οποιοδήποτε σημείο P στο τεταρτημόριο I στον άξονα X (OX) στο σημείο A έτσι ώστε OA = x και AP = y τότε η συντεταγμένη του P ορίζεται ως ( x, y) όπως περιγράφεται στο άρθρο (Πώς να βρείτε συντεταγμένη ενός δεδομένου σημείου;).
Και πάλι αν ακολουθήσουμε το OX from O and draw a perpendicular from any point Q in the Quadrant II on the X axis (on OX) στο σημείο C έτσι ώστε OC = x και CQ = y τότε οι συντεταγμένες του Q ορίζονται ως (-x, y).
Παρομοίως, οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου R στο τεταρτημόριο III ορίζονται ως (-x, -y) και οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο τεταρτημόριο IV ορίζονται ως (x, -y). (βλέπε γράφημα 6)
Συμπέρασμα
Οι σύντομες πληροφορίες για Συντονίστε τη γεωμετρία με βασικές έννοιες έχει παρασχεθεί για να πάρετε μια σαφή ιδέα για να ξεκινήσετε το θέμα. Στη συνέχεια θα συζητήσουμε λεπτομέρειες σχετικά με 2D και 3D στις επερχόμενες δημοσιεύσεις. Εάν θέλετε περαιτέρω μελέτη:
Αναφορά
- 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry
- 2. https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, ακολουθήστε αυτό Σύνδεσμος .
