Εκτροπή δοκού | Πλήρης επισκόπηση και σημαντικές σχέσεις

Περιεχόμενα: Εκτροπή δέσμης

  • Ορισμός καμπύλης απόκλισης
  • Ορισμός γωνίας παραμόρφωσης
  • Ορισμός παραμόρφωσης
  • Οριακές συνθήκες εκτροπής δέσμης
  • Σχέση μεταξύ των δυνάμεων φόρτωσης, της διατμητικής δύναμης, της ροπής κάμψης, της κλίσης και της εκτροπής
  • Εξισώσεις και σχέσεις Beam Bending
  • Πίνακας εκτροπής δέσμης και τύποι για τυπικές περιπτώσεις φορτίου
  • Εκτροπή δέσμης και κλίση με παραδείγματα Περίπτωση I: Overhanging Beam
  • Περίπτωση II: Προσδιορίστε τη μέγιστη εκτροπή της απλώς υποστηριζόμενης δέσμης με σημειακό φορτίο στο κέντρο
  • Περίπτωση III: Προσδιορίστε τη μέγιστη εκτροπή της απλώς υποστηριζόμενης δέσμης με ένα συγκεντρωμένο φορτίο σημείου σε απόσταση «a» από το στήριγμα A
  • Μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης
  • Διαδικασία για τη μέθοδο διπλής ολοκλήρωσης
  • Μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης για εύρεση εκτροπής δέσμης χρησιμοποιώντας Παράδειγμα δοκού προβόλου με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο
  • Μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης για τριγωνική φόρτωση

In μηχανική, εκτροπή είναι ο βαθμός στον οποίο ένα δομικό στοιχείο μετατοπίζεται κάτω από ένα φορτίο (λόγω της παραμόρφωσής του). Μπορεί να αναφέρεται σε γωνία ή απόσταση. Η απόσταση εκτροπής ενός μέλους κάτω από ένα φορτίο μπορεί να υπολογιστεί ενσωματώνοντας τη λειτουργία που περιγράφει μαθηματικά την κλίση του παραμορφωμένου σχήματος του μέλους κάτω από αυτό το φορτίο. Υπάρχουν τυποποιημένοι τύποι για την εκτροπή κοινών διαμορφώσεων δέσμης και θήκες φόρτωσης σε διακριτές θέσεις Διαφορετικά χρησιμοποιούνται μέθοδοι όπως εικονική εργασία, άμεση ολοκλήρωση, μέθοδος Castigliano, μέθοδος Macaulay ή μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας.

Καμπύλη εκτροπής

Όταν οι δοκοί φορτώνονται με πλευρικά ή διαμήκη φορτία, ο αρχικός ευθύγραμμος διαμήκης άξονας παραμορφώνεται σε καμπύλη γνωστή ως ελαστική καμπύλη ή καμπύλη εκτροπής της δέσμης. Η καμπύλη εκτροπής είναι ο παραμορφωμένος άξονας της επιλεγμένης δέσμης.

Γωνία παραμόρφωσης

Η κλίση μπορεί να οριστεί ως η γωνία μεταξύ του διαμήκους άξονα της δέσμης και της εφαπτομένης που κατασκευάζεται στην καμπύλη παραμόρφωσης της δέσμης σε οποιαδήποτε επιθυμητή θέση. Είναι η γωνία περιστροφής του ουδέτερου άξονα της δέσμης. Μετράται σε ακτίνια.

Εκτροπή

Η παραμόρφωση είναι η μετάφραση ή μετατόπιση οποιουδήποτε σημείου στον άξονα της δέσμης, μετρούμενη στην κατεύθυνση y από τον αρχικό ευθύγραμμο διαμήκη άξονα έως το σημείο στην καμπύλη εκτροπής της δέσμης. Μετράται σε mm. Η παραμόρφωση αντιπροσωπεύει την απόκλιση του ευθύγραμμου διαμήκους άξονα λόγω εγκάρσιας φόρτισης. Αντιθέτως, το λυγισμό της δέσμης αντιπροσωπεύει την απόκλιση του αρχικού ευθύγραμμου διαμήκους άξονα λόγω αξονικού συμπιεστικού φορτίου. Συνήθως αντιπροσωπεύεται από «ε

Εάν η δέσμη κάμπτει όπως το τόξο ενός κύκλου, ονομάζεται κυκλική κάμψη. Διαφορετικά, ονομάζεται μη κυκλική κάμψη. Ας υποθέσουμε ότι μια πρισματική δέσμη υπόκειται σε μεταβλητή ροπή κάμψης. Σε αυτήν την περίπτωση, οδηγεί σε κάμψη μη κυκλικού τύπου, και εάν υποβάλλεται σε σταθερή ροπή κάμψης οδηγεί σε κυκλική κάμψη της δέσμης.

Οριακές συνθήκες εκτροπής δέσμης

  1. Το y είναι μηδέν σε ένα στήριγμα πείρου ή κυλίνδρου.
  2. Το y είναι μηδέν σε ενσωματωμένη υποστήριξη ή πρόβολο.
  3. Ας υποθέσουμε ότι η ροπή κάμψης και η ακαμψία κάμψης είναι ασυνεχείς λειτουργίες του x. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορεί να γραφτεί μια μεμονωμένη διαφορική εξίσωση για ολόκληρη τη δέσμη. οι εξισώσεις της καμπύλης για δύο παρακείμενα τμήματα θα πρέπει να ικανοποιούν τις δεδομένες δύο συνθήκες στη διασταύρωση μεταξύ τμημάτων:
  • 1. Το y για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίσο με το y για το δεξί τμήμα.
  • 2. Η κλίση για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίδια με την κλίση για το δεξί τμήμα.

Σχέση μεταξύ των δυνάμεων φόρτωσης, της διατμητικής δύναμης, της ροπής κάμψης, της κλίσης και της εκτροπής

Σκεφτείτε μια οριζόντια δέσμη AB σε κατάσταση φόρτωσης. Εάν το AB εκτρέπεται κάτω από το φορτίο, η νέα θέση θα είναι A'B '. Η κλίση σε οποιοδήποτε σημείο Γ θα είναι

i = \ frac {dy} {dx}

Συνήθως, η εκτροπή είναι ελάχιστη και για μια μικρή ακτίνα καμπυλότητας,

ds = dx = Rdi \\\ frac {di} {dx} = 1 / R
Αλλά \; i = \ frac {dy} {dx}

Έτσι,

\ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = 1 / R  

Σύμφωνα με τη θεωρία της απλής κάμψης

\ frac {M} {I} = \ frac {E} {R}
\ frac {1} {R} = \ frac {M} {EI}

Έτσι,

\ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {1} {R} = \ frac {M} {EI}

Που,

Ε = Συντελεστής του υλικού του Young

I = Περιοχή αδράνειας

M = Μέγιστη ροπή

R = Ακτίνα καμπυλότητας της δέσμης

Αυτή είναι η βασική διαφορική εξίσωση για την εκτροπή της δέσμης.

Εξισώσεις και σχέσεις Beam Bending

Εκτροπή = y
Κλίση = \ frac {dy} {dx}
Κάμψη \; moment = EI \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}
Κουρεύω\; Δύναμη = EI \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3}
Φόρτωση \; διανομή = EI \ frac {d ^ 4y} {dx ^ 4}

Πίνακας εκτροπής δέσμης και τύποι για τυπικές περιπτώσεις φορτίου:

  • Η μέγιστη κλίση και εκτροπή σε δοκό προβόλου εμφανίζονται στο ελεύθερο άκρο της δέσμης, ενώ δεν παρατηρείται κλίση ή εκτροπή στο σφιχτό άκρο μιας δοκού προβόλου.
  •  Για μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη με συμμετρικές συνθήκες φόρτωσης, η μέγιστη εκτροπή βρίσκεται στο μεσαίο άνοιγμα. Η μέγιστη κλίση μπορεί να παρατηρηθεί στα στηρίγματα της δέσμης. Η μέγιστη εκτροπή συμβαίνει όταν η κλίση είναι μηδέν.
https://www.pinterest.it/pin/711076228644344940/

Εκτροπή δέσμης και κλίση με παραδείγματα

Περίπτωση I: Επικεφαλής δοκός

Σκεφτείτε μια προεξοχή χαλύβδινης δέσμης που φέρει συμπυκνωμένο φορτίο P = 50 kN στο τέλος C.

Για την ακτίνα προεξοχής, (α) προσδιορίστε την κλίση και τη μέγιστη εκτροπή, (β) αξιολογήστε την κλίση στα 7 μέτρα από το Α και τη μέγιστη απόκλιση από δεδομένα δεδομένα Ι = 722 cm2 , Ε = 210 GPa.

Λύση: Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη δεδομένη δέσμη είναι

Εκτροπή της προεξοχής δέσμης

Η τιμή της αντίδρασης στα Α και Β μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας

\ άθροισμα F_y = 0 \; \ άθροισμα M_A = 0

Για κάθετη ισορροπία, Fy = 0

R_A + R_B = Ρ

Λαμβάνοντας μια στιγμή για το Α, το ρολόι του ρολογιού είναι θετικό και το αντίθετο προς τα δεξιά είναι αρνητικό.

P (L + a) -R_B * L = 0 \\ R_B = P (1 + a / L)

Έτσι,

R_A + P (1+ \ frac {a} {L}) = P
R_A = \ frac {-Pa} {L}

Σκεφτείτε οποιοδήποτε τμήμα AD σε απόσταση x από την υποστήριξη Α

Η στιγμή στο σημείο Δ είναι

Μ = \ frac {-Pa} {L x}

Χρησιμοποιώντας τη διαφορική εξίσωση της καμπύλης,

EI \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {-Pa} {L x}

Ενσωματώνοντας δύο φορές, έχουμε

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + C_1 …………… .. [1]
EIy = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x ^ 3 + C_1x + C_2 …………… .. [2]

Βρίσκουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορίου που έχουμε στη διάθεσή μας

Στο x = 0, y = 0; από την εξίσωση [2] παίρνουμε,

C_2 = 0

Στο x = L, y = 0; από την εξίσωση [2] παίρνουμε,

0 = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} * L ^ 3 + C_1 * L + 0
C_1 = \ frac {PaL} {6}

Έτσι, η εξίσωση της κλίσης επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας τις τιμές του C1 Και C2 σε [1]

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6} …………… .. [3]

Έτσι, η εξίσωση της εκτροπής αποκτάται με αντικατάσταση των τιμών του C1 Και C2 σε [2]

EIy = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x ^ 3 + \ frac {PaL} {6} x …………… .. [4]

Η μέγιστη εκτροπή λαμβάνει χώρα όταν η κλίση είναι μηδέν. Έτσι, μπορείτε να βρείτε τη θέση του σημείου μέγιστης απόκλισης από το [3]:

0 = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6}
 \ frac {1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 = \ frac {PaL} {6}
x_m = \ frac {L} {\ sqrt 3}
x_m = 0.577 λίτρα

Βάζοντας την τιμή του x στην εξίσωση [4]

EIy_ {max} = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x_m ^ 3 + \ frac {PaL} {6} x_m
EIy_ {max} = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} * 0.577 L ^ 3 + \ frac {PaL} {6} * 0.577 L
y_ {max} = 0.064 \ frac {Pal ^ 2} {EI}

Αξιολογήστε την κλίση στα 7 μέτρα από το Α από δεδομένα δεδομένα:

 I = 722 \; cm ^ 4 = 72210 ^ {- 8} \; m ^ 4, E = 210 \; GPa = 210 * 10 ^ 9 \; Πα

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση [3]

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-1}{2}  \frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\frac{50*10^3*4*15}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.5452 \; ακτίνια

Η μέγιστη απόκλιση στη δέσμη μπορεί να δοθεί από

y_ {max} = 0.064 \ frac {Pal ^ 2} {EI}
y_{max}=0.064\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}
y_ {max} = 1.89 \; μ

Περίπτωση II: Προσδιορίστε τη μέγιστη εκτροπή της απλώς υποστηριζόμενης δέσμης με σημειακό φορτίο στο κέντρο.

Εξετάστε μια απλώς υποστηριζόμενη χαλύβδινη δέσμη που φέρει συμπυκνωμένο φορτίο F = 50 kN στο Σημείο Γ. Για τη απλά υποστηριζόμενη δέσμη, (α) αξιολογήστε την κλίση στο Α και τη μέγιστη απόκλιση από δεδομένα δεδομένα: I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 15 m

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το FBD για μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη με Point load σε αυτό.

Σύμφωνα με τις τυπικές σχέσεις και τον τύπο

Η κλίση στο τέλος της δοκού μπορεί να δοθεί από

\ frac {dy} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}
\frac{dy}{dx}=\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}
\ frac {dy} {dx} = 0.463

Για μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη με σημειακό φορτίο που λειτουργεί στο κέντρο, η Μέγιστη Απόκλιση μπορεί να προσδιοριστεί από

y_ {max} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}
y_{max}=\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }
y_ {max} = 2.31 \; μ

Περίπτωση ΙΙΙ: Για δοκό απλώς υποστηριζόμενο με φορτίο συμπυκνωμένου σημείου σε απόσταση από το στήριγμα Α

Σκεφτείτε μια απλώς υποστηριζόμενη χαλύβδινη δέσμη που φέρει συμπυκνωμένο φορτίο F = 50 kN στο σημείο C. I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το FBD για μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη με Point load σε αυτό.

Σύμφωνα με τις τυπικές σχέσεις και τον τύπο

Η κλίση στο στήριγμα Α της δοκού μπορεί να δοθεί από

\ theta_1 = \ frac {Fb (L ^ 2-b ^ 2)} {6LEI}
\theta_1=\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\ theta_1 = 0.825 \; ακτίνια 

Η κλίση στο στήριγμα Β της δοκού μπορεί να δοθεί από

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}
\theta_2=\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\ theta_2 = 0.675 \; ακτίνια

Για μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη με σημειακό φορτίο που λειτουργεί στο κέντρο, η Μέγιστη Απόκλιση μπορεί να προσδιοριστεί από

y_{max}=\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)
y_ {max} = - 8.93 * 10 ^ {- 3} \; m = -8.93 \; χιλ

Μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης

Εάν η ακαμψία κάμψης EI είναι σταθερή και η στιγμή είναι η συνάρτηση της απόστασης x, ολοκλήρωση του EI (d2 y) / (dx2 ) = M θα δώσει κλίση

EI \ frac {dy} {dx} = \ int M dx + C_1
EIy = \ int \ int Mdxdx + C_1x + C_2

όπου Γ1 Και C2 είναι σταθερές. Προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορίου ή άλλες συνθήκες στη δέσμη. Η παραπάνω εξίσωση δίνει την παραμόρφωση y ως συνάρτηση του x; ονομάζεται εξίσωση καμπύλης ελαστικής ή παραμόρφωσης.

Η παραπάνω μέθοδος ανάλυσης εκτροπής και κλίσης της δέσμης είναι γνωστή ως μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης για τον υπολογισμό των εκτροπών δέσμης. Εάν η ροπή κάμψης και η ακαμψία κάμψης είναι συνεχείς λειτουργίες του x, μπορεί να σημειωθεί μία μόνο διαφορική εξίσωση για ολόκληρη τη δέσμη. Για μια στατικά προσδιορισμένη δέσμη, υπάρχουν δύο αντιδράσεις υποστήριξης. το καθένα επιβάλλει ένα δεδομένο σύνολο περιορισμών στην κλίση της ελαστικής καμπύλης. Αυτοί οι περιορισμοί ονομάζονται οριακές συνθήκες και χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των δύο σταθερών ολοκλήρωσης.

Όροι μεθόδου διπλής ολοκλήρωσης

  1. Το y είναι μηδέν σε ένα στήριγμα πείρου ή κυλίνδρου.
  2. Το y είναι μηδέν σε ενσωματωμένη υποστήριξη ή πρόβολο.
  3. Ας υποθέσουμε ότι η ροπή κάμψης και η ακαμψία κάμψης είναι ασυνεχείς λειτουργίες του x. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορεί να γραφτεί μια μεμονωμένη διαφορική εξίσωση για ολόκληρη τη δέσμη. οι εξισώσεις της καμπύλης για δύο παρακείμενα τμήματα θα πρέπει να ικανοποιούν τις δεδομένες δύο συνθήκες στη διασταύρωση μεταξύ τμημάτων:
  • 1. Το y για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίσο με το y για το δεξί τμήμα.
  • 2. Η κλίση για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίδια με την κλίση για το δεξί τμήμα.

Διαδικασία για τη μέθοδο διπλής ολοκλήρωσης

  • Σχεδιάστε την ελαστική καμπύλη για τη δοκό και λάβετε υπόψη όλες τις απαραίτητες οριακές συνθήκες, όπως y είναι μηδέν σε στήριγμα πείρου ή κυλίνδρου και y είναι μηδέν σε ενσωματωμένη υποστήριξη ή πρόβολο.
  • Προσδιορίστε τη ροπή κάμψης M σε αυθαίρετη απόσταση x από το στήριγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τμημάτων. Χρησιμοποιήστε τους κατάλληλους κανόνες κάμψης κάμψης, ενώ βρίσκετε το Moment M. για ασυνεχή στιγμή, οι εξισώσεις της καμπύλης για δύο γειτονικά τμήματα θα πρέπει να ικανοποιούν τις δεδομένες δύο συνθήκες στη διασταύρωση μεταξύ τμημάτων: y για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίσο με το y για το δεξί τμήμα. 2. Η κλίση για το αριστερό τμήμα πρέπει να είναι ίδια με την κλίση για το δεξί τμήμα.
  • Ενσωματώστε την εξίσωση δύο φορές για να πάρετε την κλίση και την εκτροπή και μην ξεχάσετε να βρείτε τη συνεχή ολοκλήρωση για κάθε ενότητα χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες.

Παραδείγματα μεθόδου διπλής ολοκλήρωσης για εύρεση εκτροπής δέσμης

Εξετάστε την ακτίνα Cantilever μήκους L που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Σε μια ακτίνα Cantilever, το ένα άκρο είναι σταθερό ενώ ένα άλλο άκρο είναι ελεύθερο να κινηθεί. Θα αντλήσουμε την εξίσωση για κλίση και ροπή κάμψης για αυτήν τη δέσμη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διπλής ολοκλήρωσης.

Η ροπή κάμψης που ενεργεί στην απόσταση x από το αριστερό άκρο μπορεί να ληφθεί ως:

M = -wx * \ frac {x} {2}

Χρησιμοποιώντας τη διαφορική εξίσωση της καμπύλης,

\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = M = \ frac {-wx ^ 2} {2}

Ενσωμάτωση μόλις φτάσουμε,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + C_1 ……… .. [1]

Ενσωματώνοντας την εξίσωση [1],

EIy= \frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Οι σταθερές των ενσωματώσεων μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορίου,

Στο x = L, dy / dx = 0; αφού η υποστήριξη στο Α αντιστέκεται σε κινήσεις. Έτσι, από την εξίσωση [1], παίρνουμε,

C_1 = \ frac {wL ^ 3} {6}

Στο x = L, y = 0, Χωρίς παραμόρφωση στο στήριγμα ή στο σταθερό άκρο A Έτσι, από την εξίσωση [2], παίρνουμε,

0= \frac{-wL^4}{24}+\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2 = \ frac {-wL ^ 4} {8}

 Αντικαθιστώντας την τιμή της σταθεράς στα [1] και [2] λαμβάνουμε νέα σύνολα εξίσωσης ως

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}……..[4]

αξιολογήστε την κλίση στα x = 12 m και τη μέγιστη απόκλιση από δεδομένα δεδομένα: I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Από τις παραπάνω εξισώσεις: σε x = 12 m,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + \ frac {wL ^ 3} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-20*12^3}{6}+\frac{20*20^3}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.01378 \; ακτίνια

Από την εξίσωση [4]

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \frac{-20*12^4}{24}+\frac{20*20^3}{6} -\frac{20*20^4}{8}
y = -0.064 \; m

Μέθοδος διπλής ολοκλήρωσης για τριγωνική φόρτωση

Εξετάστε την Απλά υποστηριζόμενη δέσμη μήκους L που φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα με Τριγωνική Φόρτωση. Θα εξάγουμε την εξίσωση για κλίση και ροπή κάμψης για αυτήν τη δέσμη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διπλής ολοκλήρωσης.

Δεδομένου ότι η φόρτωση είναι συμμετρική, κάθε αντίδραση υποστήριξης θα φέρει το ήμισυ της συνολικής φόρτωσης. Η αντίδραση στα Α και Β βρέθηκε να είναι wL / 4.

Στιγμή σε οποιοδήποτε σημείο σε απόσταση x από το RA is

Μ = \ frac {wL} {4} x- \ frac {wx ^ 2} {L} \ frac {x} {3} = \ frac {w} {12L} (3L ^ 2 x-4x ^ 3) 
 \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = M = \ frac {w} {12L} (3L ^ 2 x-4x ^ 3) 

Η ενσωμάτωση δύο φορές θα μας δώσει τις εξισώσεις,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]
EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Στο x = 0, y = 0; από την εξίσωση [2] παίρνουμε,

C_2 = 0

Λόγω της συμμετρίας του φορτίου, η κλίση στο μεσαίο άνοιγμα είναι μηδέν. Έτσι, dy / dx = 0 σε x = L / 2

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1
C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

Αντικαθιστώντας την τιμή των σταθερών στα [1] και [2] έχουμε,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]
EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

Η μέγιστη παραμόρφωση θα παρατηρηθεί στο κέντρο της δέσμης. δηλαδή, στο L / 2

EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\frac{(L/2)^5}{5})+\frac{-5wL^3}{192}(L/2)
EIy_{max}=\frac{w}{12L} (\frac{L^5}{16}-\frac{L^5}{160})+\frac{-5wL^4}{384}
EIy_ {max} = \ frac {-wL ^ 4} {120}

αξιολογήστε την κλίση σε x = 12 m και τη μέγιστη τιμή του y από δεδομένα δεδομένα: I = 722 εκ4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Από τις παραπάνω εξισώσεις: σε x = 12 m,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\frac{-5wL^3}{192}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}=\frac{20}{12*20}(\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\frac{-5*20*20^3}{192}
\ frac {dy} {dx} = 8.60 * 10 ^ {- 4} \; ακτίνια

Από την εξίσωση [4]

EIy_ {max} = \ frac {-wL ^ 4} {120}
210*10^9*722*10^{-8}*y=\frac{-20*20^4}{120}
y = -0.01758 \; μ

Για να μάθετε για την αντοχή του υλικού (Κάνε κλικ εδώ)και μέθοδος Moment Area Περισσότερα .

Σχετικά με τον Hakimuddin Bawangaonwala

Είμαι ο Hakimuddin Bawangaonwala, Μηχανολόγος Μηχανικός Σχεδιασμού με Εξειδίκευση στη Μηχανική Σχεδίαση και Ανάπτυξη. Έχω ολοκληρώσει το M. Tech στη Μηχανική Σχεδιασμού και έχει 2.5 χρόνια Ερευνητικής Εμπειρίας Μέχρι τώρα δημοσίευσε δύο ερευνητικές εργασίες σχετικά με τη σκληρή στροφή και την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων θερμαντικών εξαρτημάτων. Η περιοχή που μου ενδιαφέρει είναι η σχεδίαση μηχανών, η αντοχή του υλικού, η μεταφορά θερμότητας, η θερμική μηχανική κ.λπ. Έμπειρος στο λογισμικό CATIA και ANSYS για CAD και CAE Εκτός από την έρευνα.
Συνδεθείτε στο LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/hakimuddin-bawangaonwala

Αφήστε ένα σχόλιο

Η διεύθυνση email σας δεν θα δημοσιευθεί. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται *

Lambda Geeks