Διακριτή τυχαία μεταβλητή και μαθηματική προσδοκία

Συνήθως δεν μας ενδιαφέρει το πιθανό αποτέλεσμα οποιουδήποτε τυχαίου ή μη τυχαίου πειράματος, αντί να ενδιαφερόμαστε για κάποια πιθανότητα ή αριθμητική τιμή για τα ευνοϊκά γεγονότα, για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε δύο ζάρια για το άθροισμα ως 8, τότε δεν είμαστε ενδιαφέρονται για το αποτέλεσμα ως πρώτο ζάρι με 2 δευτερόλεπτα ζάρια ως 6 ή (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), κ.λπ. Ομοίως, για το τυχαίο πείραμα της δεξαμενής στην καθημερινή ζωή, δεν ενδιαφερόμαστε για την καθημερινή αύξηση ή μείωση της στάθμης του νερού, αλλά ενδιαφερόμαστε μόνο για τη στάθμη του νερού της περιόδου των βροχών μετά την ολοκλήρωση.

Έτσι τέτοιες αριθμητικές ποσότητες στις οποίες μας ενδιαφέρουν θεωρούνται τυχαία μεταβλητή του αντίστοιχου τυχαίου πειράματος. Για το σκοπό αυτό, αντιστοιχίζουμε αριθμητικά τις πιθανές πραγματικές τιμές στα αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος. Για την απεικόνιση της αντιστοίχισης αριθμητικής τιμής στο αποτέλεσμα, εξετάστε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος, αντιστοιχίζουμε την αριθμητική τιμή 0 και 1 για το κεφάλι και το ίχνος αντίστοιχα στο χώρο δείγματος του τυχαίου πειράματος. 

Διακριτή τυχαία μεταβλητή

Διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να οριστεί ως η τυχαία μεταβλητή, η οποία είναι πεπερασμένη ή αμετάβλητα σε αριθμό και εκείνες που δεν είναι πεπερασμένες ή μετρήσιμα άπειρες είναι μη διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Για κάθε στοιχείο του χώρου δειγματοληψίας εκχωρούμε έναν πραγματικό αριθμό, αυτό μπορεί να ερμηνευτεί με όρους πραγματικής αξίας συνάρτησης που υποδηλώνεται με X, δηλαδή X: S → R. Καλούμε αυτήν τη συνάρτηση ως τυχαία μεταβλητή ή στοχαστική συνάρτηση, η οποία έχει κάποια φυσική, γεωμετρική ή οποιαδήποτε άλλη σημασία.

Παράδειγμα: Σκεφτείτε ένα πείραμα ρίψης δύο ζαριών και ας υποθέσουμε τυχαία μεταβλητή ή στοχαστική λειτουργία αντιπροσωπεύουν το άθροισμα των πόντων που εμφανίστηκαν στα ζάρια και μετά τις πιθανές τιμές για το χώρο του δείγματος

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

θα είναι X = 2, για (1,1)

X = 3 για (1,2), (2,1) κ.λπ. από τα παρακάτω μπορούμε να καταλάβουμε εύκολα

X = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
X = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
X = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
X = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
X = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
X = 7	X = 8	X = 9	X = 10	X = 11		X = 12

Στον παραπάνω πίνακα τα διαγώνια στοιχεία από δεξιά προς τα αριστερά θα δώσουν το άθροισμα που εκφράζεται από την τυχαία μεταβλητή ή στοχαστική συνάρτηση.

Η πιθανότητα για την αντίστοιχη τυχαία μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί ως εξής

Διανομή κατανομής πιθανότητας

Διανομή πιθανοτήτων πιθανότητας είναι οι πιθανότητες των τυχαίων μεταβλητών που έχουν διακριτή φύση, ιδίως εάν x₁, Χ₂, Χ₃, Χ₄, ………., Χ_k είναι οι τιμές του διακριτή τυχαία μεταβλητή X και P (x)₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες.

Συνάρτηση πιθανότητας / κατανομή πιθανότητας που μπορούμε να δηλώσουμε ως 

P (X = x) = f (x)

και ακολουθώντας τον ορισμό της πιθανότητας αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, όπου αυτή η άθροιση είναι συνολική άθροιση για x.

Παράδειγμα: Εάν ένα κέρμα πετάξει δύο φορές, τότε εάν εκφράσουμε τον αριθμό των μονοπατιών εμφανίζεται ως τυχαία μεταβλητή X, τότε θα ήταν 

Αποτελέσματα	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

Εάν πάρουμε το δίκαιο νόμισμα, τότε τα παραπάνω θα είναι το αποτέλεσμα για να πετάξετε δύο φορές και η πιθανότητα για τέτοια τυχαία μεταβλητή

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH ή HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

και P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Αυτή η κατανομή πιθανότητας μπορούμε να καταθέσουμε ως εξής

X	0	1	2
P (X = x) = f (x)	¼	½	1/4

Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (cdf) / συνάρτηση διανομής

Θα ορίσουμε Λειτουργία διανομής or Λειτουργία αθροιστικής κατανομής (cdf) για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή X που υποδηλώνεται με F (x), για-∞≤x≤∞ ως

F (x) = P (X≤x)

Εφόσον ακολουθεί

1. Για οποιαδήποτε x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y) δηλαδή η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής F (x) δεν μειώνεται.
2. F (x) = 0 και F (x) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x δηλ. η συνάρτηση αθροιστικής διανομής F (x) είναι σωστή συνεχής.

Από τότε για το διακριτή τυχαία μεταβλητή πιθανότητα για X = x είναι P (X = x), για x₁<X<x₂ θα είναι P (x₁<X<x₂) και για το X≤x είναι P (X≤x).

Μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση διανομής για τη λειτουργία διακριτής διανομής ως εξής

μπορούμε να αποκτήσουμε τη συνάρτηση πιθανότητας από τη λειτουργία διανομής ως

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Παράδειγμα: Η καλύτερη πιθανότητα για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή δίνεται ως εξής

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Ρ (x)	0	1/10	1/5	1/5	3/10	1/100	1/50	17/100

Εύρεση F2, F5, F (7);

Λύση:

Μαθηματική προσδοκία 

   Μαθηματική προσδοκία είναι πολύ σημαντική ιδέα για την θεωρία πιθανότητας καθώς και από στατιστική άποψη, είναι επίσης γνωστό ως προσδοκία ή αναμενόμενη τιμή, μπορεί να οριστεί ως το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών και των πιθανοτήτων τους σε πολλαπλασιασμό, π.χ.₁, Χ₂, Χ₃, Χ₄, ……….Χ_n είναι οι τιμές της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X και P (x)₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες τότε μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται με E(x) ως

Παράδειγμα: Από ένα πακέτο 72 καρτών με αριθμούς 1 έως 72 κάθε φορά που τραβούν 8 κάρτες, βρείτε την αναμενόμενη αξία του αθροίσματος των αριθμών στα εισιτήρια που τραβήχτηκαν.

Λύση:. λάβετε υπόψη τις τυχαίες μεταβλητές x₁, Χ₂, Χ₃, Χ₄,……….Χ_n που αντιπροσωπεύουν τις κάρτες με αριθμό 1, 2, 3, 4, ………, 72

έτσι η πιθανότητα οποιουδήποτε x από 72 κάρτα είναι 

Ρ (x_i) = 1 / n = 1/72

από τότε η προσδοκία θα είναι

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Τώρα η αναμενόμενη αξία για 8 τέτοιες κάρτες θα είναι 

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Διαφορά, Τυπική απόκλιση και Μέση απόκλιση με μαθηματική προσδοκία

Η καλύτερη σημαντικές έννοιες των στατιστικών τυπική απόκλιση και διακύμανση μπορούμε να εκφράσουμε με όρους μαθηματικής προσδοκίας, έτσι εάν οι τυχαίες μεταβλητές x₁, Χ₂, Χ₃, Χ₄, ……….Χ_n με τις αντίστοιχες πιθανότητες P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n) τότε η διακύμανση θα είναι

Παράδειγμα: Σε ένα παιχνίδι αν χρησιμοποιηθεί ένα δίκαιο ζάρι και ο παίκτης θα κερδίσει εάν κάποια περίεργη αξία έρθει σε ζάρια και θα δοθούν χρηματικά έπαθλα 20 Rs αν 1 έρθει, Rs 40 για 3 και Rs 60 για 5 και αν υπάρχει άλλο πρόσωπο των ζαριών ήρθε απώλεια Rs 10 για τον παίκτη. βρείτε τα αναμενόμενα χρήματα που μπορείτε να κερδίσετε με διακύμανση και τυπική απόκλιση.

Λύση:

Για τα ζάρια, γνωρίζουμε την κατανομή των πιθανοτήτων,

X	1	2	3	4	5	6
P (X = x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Αφήστε το X να είναι η τυχαία μεταβλητή για τη μετατροπή των ζαριών σύμφωνα με την απαίτηση παιχνιδιού που κέρδισε ή χάθηκε όταν το πρόσωπο ήρθε ως εξής,

X	+ 20	-10	40	-10	60	-10
P (X = x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

έτσι το αναμενόμενο ποσό που θα κερδίσει οποιοσδήποτε παίκτης θα είναι

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

έτσι το αναμενόμενο ποσό που θα κερδίσει οποιοσδήποτε παίκτης θα είναι μ = 15

Το αποτέλεσμα της μαθηματικής προσδοκίας καθώς και η διακύμανση μπορούν να γενικευτούν για περισσότερες από δύο μεταβλητές σύμφωνα με την απαίτηση.

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο συζητήσαμε κυρίως τη διακριτή τυχαία μεταβλητή, την κατανομή πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής που είναι γνωστή ως συνάρτηση αθροιστικής κατανομής cdf, Επίσης η έννοια της Μαθηματική προσδοκία για διακριτή τυχαία μεταβλητή και ποια θα ήταν η μέση απόκλιση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση για μια τέτοια διακριτή τυχαία μεταβλητή εξηγείται με τη βοήθεια κατάλληλων παραδειγμάτων στο επόμενο άρθρο, θα συζητήσουμε το ίδιο για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, αν θέλετε να διαβάσετε περαιτέρω, προχωρήστε:

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, ακολουθήστε αυτό σύνδεσμος.

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability