Περιεχόμενο
- Ειδική μορφή διανομών γάμμα και σχέσεων διανομής γάμμα
- Εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα
- Σχέση μεταξύ γάμμα και κανονικής κατανομής
- Διανομή γάμμα Poisson | poisson gamma αρνητική διωνυμική κατανομή
- Διανομή γάμμα Weibull
- Εφαρμογή της κατανομής γάμμα στην πραγματική ζωή | χρήσεις διανομής γάμμα | εφαρμογή της κατανομής γάμμα στα στατιστικά
- Διανομή βήτα γάμμα | σχέση μεταξύ κατανομής γάμμα και βήτα
- Διμερή κατανομή γάμμα
- Διπλή κατανομή γάμμα
- Σχέση μεταξύ γάμμα και εκθετικής κατανομής | εκθετική και γάμμα κατανομή | εκθετική κατανομή γάμμα
- Κατάλληλη κατανομή γάμμα
- Μετατοπισμένη γάμμα διανομή
- Περικομμένη κατανομή γάμμα
- Λειτουργία επιβίωσης της κατανομής γάμμα
- MLE κατανομής γάμμα | μέγιστη πιθανότητα κατανομής γάμμα | συνάρτηση πιθανότητας της κατανομής γάμμα
- Μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων κατανομής γάμμα ροπών | μέθοδος κατανομής στιγμών κατανομής γάμμα
- Διάστημα εμπιστοσύνης για κατανομή γάμμα
- Σύζευγμα κατανομής γάμμα πριν από την εκθετική κατανομή | προηγούμενη διανομή γάμμα | οπίσθια διανομή poisson gamma
- Κβαντική συνάρτηση κατανομής γάμμα
- Γενικευμένη κατανομή γάμμα
- Beta γενικευμένη κατανομή γάμμα
Ειδική μορφή διανομών γάμμα και σχέσεων διανομής γάμμα
Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε τις ειδικές μορφές κατανομών γάμμα και τις σχέσεις της κατανομής γάμμα με διαφορετικές συνεχείς και διακριτές τυχαίες μεταβλητές, καθώς και μερικές μεθόδους εκτίμησης στη δειγματοληψία του πληθυσμού που χρησιμοποιεί κατανομή γάμμα.
Εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα
Η εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα και είναι μια εκθετική οικογένεια δύο παραμέτρων που είναι σε μεγάλο βαθμό και εφαρμόσιμη οικογένεια διανομής, καθώς τα περισσότερα προβλήματα πραγματικής ζωής μπορούν να μοντελοποιηθούν στην εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα και ο γρήγορος και χρήσιμος υπολογισμός εντός της εκθετικής οικογένειας μπορεί να γίνει εύκολα στις δύο παραμέτρους εάν λάβουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως
Εάν περιορίσουμε τη γνωστή τιμή του α (άλφα) αυτή η οικογένεια δύο παραμέτρων θα μειωθεί σε μία εκθετική οικογένεια παραμέτρων
και για λ (λάμδα)
Σχέση μεταξύ γάμμα και κανονικής κατανομής
Στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής γάμμα εάν πάρουμε το άλφα πλησιέστερα στο 50 θα έχουμε τη φύση της λειτουργίας πυκνότητας ως
Ακόμα και η παράμετρος σχήματος στην κατανομή γάμμα αυξάνεται, η οποία οδηγεί σε ομοιότητα της κανονικής καμπύλης κανονικής κατανομής, εάν τείνουμε την παράμετρο σχήματος άλφα τείνει στο άπειρο, η κατανομή γάμμα θα είναι πιο συμμετρική και κανονική, αλλά καθώς το άλφα τείνει στην τιμή άπειρου του χ σε γάμμα Η κατανομή θα τείνει να μείνει το άπειρο που έχει ως αποτέλεσμα ημι-άπειρη υποστήριξη της κατανομής γάμμα άπειρη, επομένως ακόμη και η κατανομή γάμμα γίνεται συμμετρική αλλά όχι ίδια με την κανονική κατανομή.
διανομή poisson gamma | poisson gamma αρνητική διωνυμική κατανομή
Η κατανομή γάμμα poisson και η διωνυμική κατανομή είναι η διακριτή τυχαία μεταβλητή της οποίας η τυχαία μεταβλητή ασχολείται με τις διακριτές τιμές, συγκεκριμένα την επιτυχία και την αποτυχία με τη μορφή δοκιμών Bernoulli, η οποία δίνει τυχαία επιτυχία ή αποτυχία ως αποτέλεσμα μόνο, τώρα το μείγμα Poisson και γάμμα κατανομής επίσης γνωστή ως αρνητική διωνυμική κατανομή είναι το αποτέλεσμα της επαναλαμβανόμενης δοκιμής της δοκιμής Bernoulli, αυτό μπορεί να παραμετροποιηθεί με διαφορετικό τρόπο, σαν εάν η r-th επιτυχία εμφανίζεται σε αριθμό δοκιμών, τότε μπορεί να παραμετροποιηθεί ως
και εάν ο αριθμός των αποτυχιών πριν από την πρώτη επιτυχία τότε μπορεί να παραμετροποιηθεί ως
και λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές των r και p
η γενική μορφή της παραμετροποίησης για την αρνητική διωνυμική ή Poisson gamma κατανομή είναι
και εναλλακτική λύση είναι
Αυτή η διωνυμική κατανομή είναι γνωστή ως αρνητική λόγω του συντελεστή
και αυτή η αρνητική διωνυμική ή poisson gamma κατανομή είναι καλά καθορισμένη ως η συνολική πιθανότητα που θα έχουμε ως μία για αυτήν την κατανομή
Ο μέσος όρος και η διακύμανση για αυτήν την αρνητική διωνυμική ή poisson γάμμα κατανομή είναι
τη σχέση poisson και gamma μπορούμε να πάρουμε με τον ακόλουθο υπολογισμό
Έτσι, το αρνητικό διωνυμικό είναι το μείγμα της διανομής poisson και gamma και αυτή η κατανομή χρησιμοποιείται σε καθημερινά προβλήματα μοντελοποίησης όπου απαιτείται διακριτό και συνεχές μίγμα.
Διανομή γάμμα Weibull
Υπάρχουν γενικεύσεις της εκθετικής κατανομής που περιλαμβάνουν Weibull καθώς και gamma κατανομή καθώς η κατανομή Weibull έχει τη λειτουργία πυκνότητας πιθανότητας ως
και αθροιστική λειτουργία διανομής ως
όπου ως pdf και cdf της κατανομής γάμμα ήδη συζητήσαμε παραπάνω, η κύρια σύνδεση μεταξύ Weibull και gamma είναι και οι δύο είναι γενίκευση της εκθετικής κατανομής, η διαφορά μεταξύ τους είναι όταν η ισχύς της μεταβλητής είναι μεγαλύτερη από μία τότε η κατανομή Weibull δίνει γρήγορο αποτέλεσμα ενώ για λιγότερα από 1 γάμμα δίνει γρήγορο αποτέλεσμα.
Δεν θα συζητήσουμε εδώ γενικευμένη κατανομή γάμμα Weibull που απαιτεί ξεχωριστή συζήτηση.
εφαρμογή της κατανομής γάμμα στην πραγματική ζωή | χρήσεις διανομής γάμμα | εφαρμογή της κατανομής γάμμα στα στατιστικά
Υπάρχουν πολλές εφαρμογές όπου η διανομή γάμμα χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσει την κατάσταση, όπως η ασφαλιστική αξίωση για άθροισμα, η συσσώρευση ποσών βροχοπτώσεων, για οποιοδήποτε προϊόν η κατασκευή και η διανομή του, το πλήθος σε συγκεκριμένο ιστό και στο τηλεπικοινωνιακό κέντρο κ.λπ. στην πραγματικότητα η διανομή γάμμα δίνει ο χρόνος αναμονής πρόβλεψη μέχρι την επόμενη εκδήλωση για την nη εκδήλωση. Υπάρχουν πολλές εφαρμογές κατανομής γάμμα στην πραγματική ζωή.
κατανομή beta γάμμα | σχέση μεταξύ κατανομής γάμμα και βήτα
Η κατανομή beta είναι η τυχαία μεταβλητή με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
όπου
που έχει τη σχέση με τη λειτουργία γάμμα ως
και η κατανομή beta που σχετίζεται με την κατανομή γάμμα σαν να είναι η κατανομή γάμμα με την παράμετρο άλφα και η beta ως μία και η Υ να είναι η κατανομή γάμμα με την παράμετρο άλφα ως ένα και beta, τότε η τυχαία μεταβλητή X / (X + Y) είναι κατανομή beta
ή Αν το Χ είναι Γ-γ (α, 1) και το Υ είναι Γ (1, β) τότε η τυχαία μεταβλητή X / (X + Y) είναι Beta (α, β)
και επίσης
διμερή κατανομή γάμμα
Μια δισδιάστατη ή διμεταβλητή τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής εάν υπάρχει συνάρτηση f (x, y) έτσι ώστε η συνάρτηση κατανομής
όπου
και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης που λαμβάνεται από
υπάρχει αριθμός διμερούς κατανομής γάμμα ένας από αυτούς είναι η διμεταβλητή κατανομή γάμμα με λειτουργία πυκνότητας πιθανότητας ως
διπλή κατανομή γάμμα
Η διπλή κατανομή γάμμα είναι μία από τη διμερή κατανομή με τυχαίες μεταβλητές γάμμα που έχουν παράμετρο άλφα και μία με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης ως
Αυτή η πυκνότητα σχηματίζει τη διπλή κατανομή γάμμα με αντίστοιχες τυχαίες μεταβλητές και η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για την κατανομή διπλού γάμμα είναι
σχέση μεταξύ γάμμα και εκθετικής κατανομής | εκθετική και γάμμα κατανομή | εκθετική κατανομή γάμμα
δεδομένου ότι η εκθετική κατανομή είναι η κατανομή με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
και η κατανομή γάμμα έχει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
σαφώς η τιμή του άλφα αν βάλουμε ως μία θα έχουμε την εκθετική κατανομή, δηλαδή η κατανομή γάμμα δεν είναι παρά η γενίκευση της εκθετικής κατανομής, η οποία προβλέπει το χρόνο αναμονής μέχρι την εμφάνιση του επόμενου nth συμβάντος, ενώ η εκθετική κατανομή προβλέπει την αναμονή χρόνο μέχρι την εμφάνιση του επόμενου γεγονότος.
ταιριάζει κατανομή γάμμα
Όσον αφορά την προσαρμογή των δεδομένων με τη μορφή κατανομής γάμμα συνεπάγεται την εύρεση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δύο παραμέτρων που περιλαμβάνει παραμέτρους σχήματος, θέσης και κλίμακας, άρα η εύρεση αυτών των παραμέτρων με διαφορετική εφαρμογή και ο υπολογισμός του μέσου όρου, της διακύμανσης, της τυπικής απόκλισης και Η συνάρτηση δημιουργίας ροπής είναι η προσαρμογή της κατανομής γάμμα, δεδομένου ότι διαφορετικά προβλήματα πραγματικής ζωής θα μοντελοποιηθούν στη διανομή γάμμα, επομένως οι πληροφορίες ανάλογα με την κατάσταση πρέπει να ταιριάζουν στην κατανομή γάμμα για αυτό το σκοπό υπάρχει ήδη διάφορες τεχνικές σε διάφορα περιβάλλοντα π.χ. σε R, Matlab, excel κ.λπ.
μετατόπισε την κατανομή γάμμα
Υπάρχουν σύμφωνα με την εφαρμογή και την ανάγκη κάθε φορά που η απαίτηση αλλαγής της κατανομής που απαιτείται από την κατανομή γάμμα δύο παραμέτρων, η νέα γενικευμένη τρεις παράμετρος ή οποιαδήποτε άλλη γενικευμένη κατανομή γάμμα μετατοπίζει τη θέση και την κλίμακα σχήματος, μια τέτοια κατανομή γάμμα είναι γνωστή ως μετατοπισμένη κατανομή γάμμα
περικομμένη κατανομή γάμμα
Εάν περιορίσουμε το εύρος ή τον τομέα της κατανομής γάμμα για την κλίμακα σχήματος και τις παραμέτρους θέσης, η περιορισμένη κατανομή γάμμα είναι γνωστή ως περικομμένη κατανομή γάμμα με βάση τις συνθήκες.
λειτουργία επιβίωσης της κατανομής γάμμα
Η συνάρτηση επιβίωσης για την κατανομή γάμμα ορίζεται η συνάρτηση s (x) ως εξής
κατανομή γάμμα | μέγιστη πιθανότητα κατανομής γάμμα | συνάρτηση πιθανότητας της κατανομής γάμμα
γνωρίζουμε ότι η μέγιστη πιθανότητα να πάρει το δείγμα από τον πληθυσμό ως εκπρόσωπος και αυτό το δείγμα θεωρεί ως εκτιμητή για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας να μεγιστοποιήσει τις παραμέτρους της συνάρτησης πυκνότητας, πριν πάμε στη διανομή γάμμα να θυμηθούμε κάποια βασικά όπως και για την τυχαία μεταβλητή X η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με την παράμετρο theta έχει πιθανότητα να λειτουργεί ως
αυτό μπορούμε να εκφράσουμε ως
και μέθοδος μεγιστοποίησης αυτής της πιθανότητας μπορεί να είναι
αν τέτοια theta ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, και καθώς το log είναι μονοτονική συνάρτηση, μπορούμε να γράψουμε με όρους log
και ένα τέτοιο supremum υπάρχει εάν
τώρα εφαρμόζουμε τη μέγιστη πιθανότητα για τη λειτουργία κατανομής γάμμα ως
η πιθανότητα καταγραφής της συνάρτησης θα είναι
έτσι είναι
και ως εκ τούτου
Αυτό μπορεί να επιτευχθεί και ως
by
και η παράμετρος μπορεί να ληφθεί διαφοροποιώντας
μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων κατανομής γάμμα ροπών | μέθοδος κατανομής στιγμών κατανομής γάμμα
Μπορούμε να υπολογίσουμε τις στιγμές του πληθυσμού και το δείγμα με τη βοήθεια της προσδοκίας της nth τάξης αντίστοιχα, η μέθοδος ροπής εξισώνει αυτές τις στιγμές κατανομής και δείγματος για να εκτιμήσει τις παραμέτρους, υποθέτουμε ότι έχουμε δείγμα τυχαίας μεταβλητής γάμμα με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
γνωρίζουμε ότι οι πρώτες ροπές ρυμούλκησης για αυτήν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι
so
θα πάρουμε από τη δεύτερη στιγμή αν αντικαταστήσουμε το λάμδα
και από αυτήν την τιμή του άλφα είναι
και τώρα η λάμδα θα είναι
και ο εκτιμητής ροπής χρησιμοποιώντας δείγμα θα είναι
διάστημα εμπιστοσύνης για κατανομή γάμμα
το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διανομή γάμμα είναι ο τρόπος για την εκτίμηση των πληροφοριών και της αβεβαιότητάς του που λέει ότι το διάστημα αναμένεται να έχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου σε ποιο ποσοστό, αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης λαμβάνεται από τις παρατηρήσεις τυχαίων μεταβλητών, καθώς προέρχεται από τυχαία είναι η ίδια τυχαία για να πάρει το διάστημα εμπιστοσύνης για την κατανομή γάμμα υπάρχουν διαφορετικές τεχνικές σε διαφορετική εφαρμογή που πρέπει να ακολουθήσουμε.
σύζευγμα κατανομής γάμμα πριν από την εκθετική κατανομή | προηγούμενη διανομή γάμμα | οπίσθια διανομή poisson gamma
Η μεταγενέστερη και η προηγούμενη διανομή είναι οι ορολογίες του Bayesian θεωρία πιθανότητας και είναι συζευγμένες μεταξύ τους, οποιεσδήποτε δύο κατανομές είναι συζευγμένες αν το οπίσθιο τμήμα μιας κατανομής είναι μια άλλη κατανομή, από την άποψη του θήτα ας δείξουμε ότι η κατανομή γάμμα είναι συζευγμένη πριν από την εκθετική κατανομή
αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του κατανομή γάμμα ως προς το θήτα είναι όπως
Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση διανομής για το theta είναι εκθετική από δεδομένα δεδομένα
έτσι η κοινή διανομή θα είναι
και χρησιμοποιώντας τη σχέση
έχουμε
το οποίο είναι
έτσι η κατανομή γάμμα είναι συζευγμένη πριν από την εκθετική κατανομή, καθώς η οπίσθια είναι η κατανομή γάμμα.
ποσοτική συνάρτηση κατανομής γάμμα
Η συνάρτηση Qauntile της κατανομής γάμμα θα είναι η συνάρτηση που δίνει τα σημεία στην κατανομή γάμμα που σχετίζονται με τη σειρά κατάταξης των τιμών στην κατανομή γάμμα, αυτό απαιτεί συνάρτηση αθροιστικής κατανομής και για διαφορετική γλώσσα διαφορετικό αλγόριθμο και λειτουργίες για το ποσοτικό κατανομή γάμμα.
γενικευμένη κατανομή γάμμα
Καθώς η ίδια η κατανομή γάμμα είναι η γενίκευση της εκθετικής οικογένειας διανομής προσθέτοντας περισσότερες παραμέτρους σε αυτήν την κατανομή, μας δίνει γενικευμένη κατανομή γάμμα που είναι η περαιτέρω γενίκευση αυτής της οικογένειας διανομής, οι φυσικές απαιτήσεις δίνουν διαφορετική γενίκευση, μια από τις συχνές που χρησιμοποιεί τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας όπως και
η αθροιστική συνάρτηση κατανομής για μια τέτοια γενικευμένη κατανομή γάμμα μπορεί να ληφθεί από
όπου ο αριθμητής αντιπροσωπεύει την ατελή συνάρτηση γάμμα ως
Χρησιμοποιώντας αυτήν την ατελή συνάρτηση γάμμα η συνάρτηση επιβίωσης για τη γενικευμένη κατανομή γάμμα μπορεί να ληφθεί ως
Μια άλλη έκδοση αυτής της τρισδιάστατης γενικευμένης κατανομής γάμμα που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι
όπου k, β, θ είναι οι παράμετροι μεγαλύτερες από το μηδέν, αυτές οι γενικεύσεις έχουν ζητήματα σύγκλισης για να ξεπεραστούν οι παράμετροι Weibull αντικαθιστά
χρησιμοποιώντας αυτήν την παραμετροποίηση η σύγκλιση της συνάρτησης πυκνότητας που λαμβάνεται, έτσι η πιο γενίκευση για την κατανομή γάμμα με τη σύγκλιση είναι η κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως
Beta γενικευμένη κατανομή γάμμα
Η κατανομή γάμμα που περιλαμβάνει την παράμετρο beta στη συνάρτηση πυκνότητας λόγω της οποίας μερικές φορές η κατανομή γάμμα είναι γνωστή ως η γενικευμένη beta κατανομή γάμμα με τη συνάρτηση πυκνότητας
με τη λειτουργία αθροιστικής διανομής ως
που συζητείται ήδη λεπτομερώς στη συζήτηση της κατανομής γάμμα, η περαιτέρω γενικευμένη κατανομή γάμμα ορίζεται με το cdf ως
όπου B (a, b) είναι η συνάρτηση beta και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για αυτό μπορεί να ληφθεί με διαφοροποίηση και η συνάρτηση πυκνότητας θα είναι
Εδώ το G(x) είναι η παραπάνω καθορισμένη αθροιστική κατανομή λειτουργία της κατανομής γάμμα, αν βάλουμε αυτή την τιμή τότε η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της γενικευμένης κατανομής γάμμα βήτα είναι
και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
το υπόλοιπο Οι ιδιότητες μπορούν να επεκταθούν για αυτήν τη γενικευμένη διανομή γάμμα βήτα με συνηθισμένους ορισμούς.
Συμπέρασμα:
Υπάρχουν διαφορετικές μορφές και γενίκευση κατανομή γάμμα και εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα σύμφωνα με τις πραγματικές καταστάσεις της ζωής, τόσο πιθανές τέτοιες μορφές και γενικεύσεις καλύφθηκαν επιπρόσθετα με τις μεθόδους εκτίμησης της κατανομής γάμμα στη δειγματοληψία πληροφοριών πληθυσμού, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση σχετικά με την εκθετική οικογένεια διανομής γάμμα, παρακαλούμε επισκεφθείτε τον παρακάτω σύνδεσμο και βιβλία. Για περισσότερα θέματα στα Μαθηματικά επισκεφθείτε η σελίδα μας.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
