Διανομή γάμμα: 7 σημαντικές ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζετε

Διανομή γάμμα

Μία από τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και συνεχείς κατανομές είναι η κατανομή γάμμα, όπως γνωρίζουμε ότι η συνεχής τυχαία μεταβλητή ασχολείται με τις συνεχείς τιμές ή διαστήματα, όπως και η κατανομή γάμμα με συγκεκριμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτηση μάζας πιθανότητας, στη διαδοχική συζήτηση που συζητάμε λεπτομερώς την έννοια, τις ιδιότητες και τα αποτελέσματα με παραδείγματα τυχαίας μεταβλητής γάμμα και κατανομής γάμμα.

Τυχαία μεταβλητή γάμμα ή κατανομή γάμμα | τι είναι η κατανομή γάμμα | ορίστε την κατανομή γάμμα | συνάρτηση πυκνότητας κατανομής γάμμα | συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κατανομής γάμμα | απόδειξη διανομής γάμμα

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

είναι γνωστό ότι είναι τυχαία μεταβλητή Gamma ή κατανομή γάμμα όπου η α> 0, λ> 0 και η συνάρτηση γάμμα

Έχουμε την πολύ συχνή ιδιότητα της λειτουργίας γάμμα με ενσωμάτωση από μέρη ως

Εάν συνεχίσουμε τη διαδικασία ξεκινώντας από το n τότε

και τέλος η αξία του γάμμα θα είναι

έτσι η τιμή θα είναι

cdf της κατανομής γάμμα | αθροιστική κατανομή γάμμα | ολοκλήρωση της κατανομής γάμμα

Η καλύτερη σωρευτική κατανομή συνάρτηση (cdf) της τυχαίας μεταβλητής γάμμα ή απλά η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής γάμμα είναι ίδια με αυτή της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, υπό τον όρο ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι διαφορετική, π.χ.

Εδώ η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι όπως ορίζεται παραπάνω για την κατανομή γάμμα, τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής που μπορούμε επίσης να γράψουμε ως

Και στις δύο παραπάνω μορφές η τιμή του pdf έχει ως εξής

όπου τα α> 0, λ> 0 είναι πραγματικοί αριθμοί.

Τύπος διανομής γάμμα | τύπος για τη διανομή γάμμα | εξίσωση κατανομής γάμμα | παράγωγο κατανομής γάμμα

Για να βρούμε την πιθανότητα για τη τυχαία μεταβλητή γάμμα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για διαφορετικά δεδομένα α> 0, λ> 0 είναι ως

και χρησιμοποιώντας το παραπάνω pdf τη διανομή για την τυχαία μεταβλητή γάμμα που μπορούμε να αποκτήσουμε από

Έτσι, ο τύπος κατανομής γάμμα απαιτεί την τιμή pdf και τα όρια για την τυχαία μεταβλητή γάμμα σύμφωνα με την απαίτηση.

Παράδειγμα διανομής γάμμα

δείχνουν ότι η συνολική πιθανότητα για το κατανομή γάμμα είναι ένα με τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δηλ

για λ> 0, α> 0.
Λύση:
χρησιμοποιώντας τον τύπο για την κατανομή γάμμα

δεδομένου ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την κατανομή γάμμα είναι

που είναι μηδέν για όλη την τιμή μικρότερη από μηδέν, οπότε η πιθανότητα θα είναι τώρα

χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης γάμμα

και αντικατάσταση που έχουμε

έτσι

Μέσος όρος και διακύμανση κατανομής γάμμα | προσδοκία και διακύμανση της κατανομής γάμμα | αναμενόμενη τιμή και διακύμανση της κατανομής γάμμα | Μέσος όρος κατανομής γάμμα | αναμενόμενη τιμή κατανομής γάμμα | προσδοκία της κατανομής γάμμα

Στην ακόλουθη συζήτηση θα βρούμε τη μέση τιμή και τη διακύμανση της κατανομής γάμμα με τη βοήθεια τυπικών ορισμών προσδοκίας και διακύμανσης συνεχών τυχαίων μεταβλητών,

Η αναμενόμενη τιμή ή μέσος όρος της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ή η τυχαία μεταβλητή X θα είναι

μέσος όρος απόδειξης διανομής γάμμα | αναμενόμενη τιμή της απόδειξης διανομής γάμμα

Για να λάβουμε την αναμενόμενη τιμή ή μέση κατανομή γάμμα θα ακολουθήσουμε τον ορισμό και την ιδιότητα της συνάρτησης γάμμα,
Πρώτον με τον ορισμό της προσδοκίας της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής γάμμα που έχουμε

ακυρώνοντας τον κοινό παράγοντα και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνάρτησης γάμμα

τώρα καθώς έχουμε την ιδιότητα της λειτουργίας γάμμα

η αξία της προσδοκίας θα είναι

Έτσι, η μέση ή αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής γάμμα ή της κατανομής γάμμα που έχουμε είναι

διακύμανση της κατανομής γάμμα | διακύμανση της κατανομής γάμμα

Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής γάμμα με τη δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ή η διακύμανση της κατανομής γάμμα θα είναι

διακύμανση της απόδειξης διανομής γάμμα

Όπως γνωρίζουμε ότι η διακύμανση είναι η διαφορά των αναμενόμενων τιμών ως

για την κατανομή γάμμα έχουμε ήδη την τιμή του μέσου όρου

τώρα πρώτα ας υπολογίσουμε την τιμή του E [X²], οπότε εξ ορισμού της προσδοκίας για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή που έχουμε
δεδομένου ότι η συνάρτηση f (x) είναι η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της κατανομής γάμμα ως

έτσι το ακέραιο θα είναι από μηδέν έως άπειρο

οπότε εξ ορισμού της συνάρτησης γάμμα μπορούμε να γράψουμε

Χρησιμοποιώντας έτσι την ιδιότητα της συνάρτησης γάμμα πήραμε την τιμή ως

Βάζοντας τώρα την αξία αυτών των προσδοκιών

Έτσι, η τιμή της διακύμανσης της κατανομής γάμμα ή της τυχαίας μεταβλητής γάμμα είναι

Παράμετροι κατανομής γάμμα | κατανομή γάμμα δύο παραμέτρων | 2 μεταβλητή κατανομή γάμμα

Η κατανομή γάμμα με τις παραμέτρους λ> 0, α> 0 και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

έχει στατιστικές παραμέτρους μέση και διακύμανση ως

και

δεδομένου ότι το λ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, η απλοποίηση και ο εύκολος χειρισμός άλλου τρόπου είναι να ορίσετε λ = 1 / β έτσι αυτό δίνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στη μορφή

εν συντομία η συνάρτηση διανομής ή η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για αυτήν την πυκνότητα μπορούμε να εκφράσουμε ως

Αυτή η συνάρτηση πυκνότητας γάμμα δίνει τη μέση τιμή και τη διακύμανση ως

και

που είναι προφανές από την αντικατάσταση.
Και οι δύο τρόποι χρησιμοποιούνται συνήθως είτε η κατανομή γάμμα με την παράμετρο α και λ που υποδηλώνεται με γάμμα (α, λ) ή η κατανομή γάμμα με τις παραμέτρους β και λ που υποδηλώνονται με γάμμα (β, λ) με τις αντίστοιχες στατιστικές παραμέτρους μέση και διακύμανση σε κάθε μορφή.
Και τα δύο δεν είναι παρά το ίδιο.

Οικόπεδο διανομής γάμμα | γράφημα κατανομής γάμμα | ιστόγραμμα κατανομής γάμμα

Η φύση της κατανομής γάμμα που μπορούμε εύκολα να απεικονίσουμε με τη βοήθεια του γραφήματος για ορισμένες από τις συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων, εδώ σχεδιάζουμε τα γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής πυκνότητας για ορισμένες τιμές παραμέτρων
ας πάρουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως

τότε θα είναι η αθροιστική συνάρτηση διανομής

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του άλφα ως 1 και μεταβάλλοντας την τιμή του βήτα.

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του άλφα ως 2 και μεταβάλλοντας την τιμή του βήτα

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του άλφα ως 3 και μεταβάλλοντας την τιμή του βήτα

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής καθορίζοντας την τιμή του βήτα ως 1 και μεταβάλλοντας την τιμή του άλφα

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του βήτα ως 2 και μεταβάλλοντας την τιμή του άλφα

Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του βήτα ως 3 και μεταβάλλοντας την τιμή του άλφα.

Σε γενικές γραμμές διαφορετικές καμπύλες, όπως για το άλφα είναι

Πίνακας διανομής γάμμα | τυπικός πίνακας διανομής γάμμα

Η αριθμητική τιμή της συνάρτησης γάμμα

γνωστές ως ατελείς αριθμητικές τιμές συνάρτησης γάμμα ως εξής

Η αριθμητική τιμή κατανομής γάμμα για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για ορισμένες αρχικές τιμές έχουν ως εξής

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

εύρεση άλφα και βήτα για κατανομή γάμμα | πώς να υπολογίσετε το alpha και το beta για την κατανομή γάμμα | εκτίμηση παραμέτρου κατανομής γάμμα

Για μια κατανομή γάμμα εύρεση άλφα και βήτα θα λάβουμε μέση και διακύμανση της κατανομής γάμμα

και

τώρα θα πάρουμε την τιμή του beta ως

so

και

έτσι

λαμβάνοντας μόνο μερικά κλάσματα από την κατανομή γάμμα θα πάρουμε την τιμή των alpha και beta.

προβλήματα και λύσεις διανομής γάμμα | προβλήματα παραδείγματος διανομής γάμμα | φροντιστήριο διανομής γάμμα | ερώτηση διανομής γάμμα

1. Σκεφτείτε ότι ο χρόνος που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος για έναν πελάτη είναι το γάμμα κατανεμημένο σε ώρες με μέσο όρο 1.5 και διακύμανση 0.75 ποιο θα ήταν το πιθανότητα το πρόβλημα ο χρόνος επίλυσης υπερβαίνει τις 2 ώρες, εάν ο χρόνος υπερβαίνει τις 2 ώρες, ποια θα ήταν η πιθανότητα να λυθεί το πρόβλημα σε τουλάχιστον 5 ώρες.

λύση: δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται γάμμα με μέση τιμή 1.5 και διακύμανση 0.75, έτσι μπορούμε να βρούμε τις τιμές των alpha και beta και με τη βοήθεια αυτών των τιμών η πιθανότητα θα είναι

P (X> 2) = 13ε^-4= 0.2381

και

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) ε^-6= 0.011631

2. Εάν τα αρνητικά σχόλια την εβδομάδα από τους χρήστες διαμορφώνονται στην κατανομή γάμμα με τις παραμέτρους alpha 2 και beta ως 4 μετά την αρνητική ανατροφοδότηση 12 εβδομάδων μετά την αναδιάρθρωση της ποιότητας, από αυτές τις πληροφορίες μπορεί η αναδιάρθρωση να βελτιώσει την απόδοση;

λύση: Καθώς αυτό διαμορφώνεται στην κατανομή γάμμα με α = 2, β = 4

θα βρούμε τη μέση και τυπική απόκλιση ως μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

δεδομένου ότι η τιμή X = 12 βρίσκεται εντός της τυπικής απόκλισης από το μέσο όρο, έτσι δεν μπορούμε να πούμε ότι πρόκειται για βελτίωση ή όχι από την αναδιάρθρωση της ποιότητας, για να αποδειχθεί ότι η βελτίωση που προκαλείται από τις πληροφορίες αναδιάρθρωσης που παρέχονται είναι ανεπαρκής.

3. Έστω X το κατανομή γάμμα με παραμέτρους α=1/2, λ=1/2 , βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τη συνάρτηση Y=Τετραγωνική ρίζα του X

Λύση: ας υπολογίσουμε τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για το Y ως

Τώρα το διαφοροποιώντας αυτό σε σχέση με το y δίνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το Y ως

και το εύρος για το y θα είναι από 0 έως άπειρο

Συμπέρασμα:

Η έννοια της κατανομής γάμμα κατά πάσα πιθανότητα και στατιστική είναι αυτή της σημαντικής καθημερινής εφαρμογής κατανομής της εκθετικής οικογένειας, όλα τα βασικά έως υψηλότερα επίπεδα έννοιας συζητήθηκαν μέχρι τώρα σχετικά με κατανομή γάμμα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα αναφερόμενα βιβλία. Μπορείτε επίσης να επισκεφθείτε έξω μαθηματικά σελίδα για περισσότερα Θέματα

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH