Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή | Το σημαντικό χαρακτηριστικό του

Μερικές πρόσθετες διακριτές τυχαίες μεταβλητές και οι παράμετροι της

    Η διακριτή τυχαία μεταβλητή με τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας συνδυάζει την κατανομή της πιθανότητας και ανάλογα με τη φύση της διακριτής τυχαίας μεταβλητής, η κατανομή πιθανότητας μπορεί να έχει διαφορετικά ονόματα όπως διωνυμική κατανομή, διανομή Poisson κ.λπ., όπως ήδη έχουμε δει τους τύπους διακριτών τυχαία μεταβλητή, διωνυμική τυχαία μεταβλητή και Poisson τυχαία μεταβλητή με τις στατιστικές παραμέτρους για αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. Οι περισσότερες από τις τυχαίες μεταβλητές χαρακτηρίζονται ανάλογα με τη φύση της συνάρτησης πιθανότητας μάζας, τώρα θα δούμε έναν ακόμη τύπο διακριτών τυχαίων μεταβλητών και τις στατιστικές παραμέτρους της.

Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή και η κατανομή της

      Μια γεωμετρική τυχαία μεταβλητή είναι η τυχαία μεταβλητή που εκχωρείται για τις ανεξάρτητες δοκιμές που εκτελούνται μέχρι την εμφάνιση της επιτυχίας μετά από συνεχή αποτυχία, δηλαδή εάν εκτελούμε ένα πείραμα n φορές και παίρνουμε αρχικά όλες τις αποτυχίες n-1 φορές και στη συνέχεια επιτυγχάνουμε επιτέλους επιτυχία. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για μια τέτοια διακριτή τυχαία μεταβλητή θα είναι

P (X = n) = (1-p) ^ {n-1} \ φορές p, \; \; Για\; n = 1,2,3,4 ……

Σε αυτήν την τυχαία μεταβλητή, η απαραίτητη προϋπόθεση για το αποτέλεσμα της ανεξάρτητης δοκιμής είναι η αρχική, όλο το αποτέλεσμα πρέπει να είναι αποτυχία πριν από την επιτυχία.

Έτσι, εν συντομία, η τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί παραπάνω, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι γνωστή ως γεωμετρική τυχαία μεταβλητή.

Παρατηρείται εύκολα ότι το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων θα είναι 1 όπως στην περίπτωση της πιθανότητας.

\sum_{n=1}^{\infty}P(X=n)=p\sum_{n=1}^{\infty}( 1-p)^{n-1}=p*\frac{1}{1-(1-p))}=1

Έτσι, η γεωμετρική τυχαία μεταβλητή με τέτοια συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι γεωμετρική κατανομή.

Προσδοκία της γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής

    Καθώς η προσδοκία είναι μια από τις σημαντικές παραμέτρους για την τυχαία μεταβλητή, έτσι η προσδοκία για τη γεωμετρική τυχαία μεταβλητή θα είναι 

E [X] = \ frac {1} {p} \ \,

όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας.

αφού

E [X] = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} X * P (X = n)

Αφήστε την πιθανότητα αποτυχίας να είναι q = 1-p

so

\\ E [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} i * P (X = n)

\ E [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} i * q ^ {i-1} p

\ = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} (i-1 + 1) * q ^ {i-1} p

\=\sum_{i=1}^{\infty}(i-1) *q^{i-1}p+\sum_{i=1}^{\infty}q^{i-1}p

\ = \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} (j) * q ^ {j} p + 1

\ = q \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} (j) * q ^ {j-1} p + 1

\ E [X] = qE [X] +1

\ (1-q) E [X] = 1

\ pE [X] = 1

έτσι παίρνουμε

E [X] = \ frac {1} {p} \ \,

Έτσι, η αναμενόμενη τιμή ή ο μέσος όρος των δεδομένων πληροφοριών που μπορούμε να ακολουθήσουμε με αντίστροφη τιμή πιθανότητας επιτυχίας σε γεωμετρική τυχαία μεταβλητή.

Διακύμανση και τυπική απόκλιση της γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποκτήσουμε την άλλη σημαντική στατιστική διακύμανση παραμέτρου και τυπική απόκλιση για τη γεωμετρική τυχαία μεταβλητή και θα ήταν

var (X) = \ frac {1-p} {p ^ {2}}

sd = \ sqrt {\ frac {1-p} {p ^ {2}}}

Για να αποκτήσουμε αυτές τις τιμές χρησιμοποιούμε τη σχέση

var (X) = E [X ^ {2}] - {E [X]} ^ {2}

Ας υπολογίσουμε πρώτα

Ε [X ^ {2}]

σύνολο \ \ q = 1-σελ

E [X] = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} X * P (X = n)

\\ E [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} i * q ^ {i-1} p

so

\ \ E [X ^ {2}] = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} i ^ {2} * q ^ {i-1} p

\\E[X^{2}]= \sum_{i=1}^{\infty}(i-1+1)^{2} *q^{i-1}p

\\E[X^{2}]= \sum_{i=1}^{\infty}(i-1)^{2} *q^{i-1}p+\sum_{i=1}^{\infty}2(i-1) *q^{i-1}p+\sum_{i=1}^{\infty}q^{i-1}p

\\ E [X ^ {2}] = \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} (j) ^ {2} * q ^ {j} p + 2 \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty } j * q ^ {j} p + 1

\\E[X^{2}]=q \sum_{j=1}^{\infty}(j)^{2} *q^{j-1}p+2q\sum_{j=1}^{\infty}j *q^{j-1}p+1

\\ E [X ^ {2}] = qE [X ^ {2}] + 2qE [X] +1

\\ E [X ^ {2}] - qE [X ^ {2}] = 2qE [X] +1

από \ \ E [X] = \ frac {1} {p}, 1-q = p

pE [X ^ {2}] = \ frac {2q} {p} +1

\\ E [X ^ {2}] = \ frac {2q + p} {p ^ {2}} = \ frac {q + q + p} {p ^ {2}} = \ frac {q + 1} {p ^ {2}}

Έτσι γράφουμε τώρα

Var(X)= \frac{q+1}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{q}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}

έτσι έχουμε

var (X) = \ frac {1-p} {p ^ {2}} \ \ και

sd = \ sqrt {\ frac {1-p} {p ^ {2}}}

Αρνητική τυχαία μεταβλητή

    Αυτή η τυχαία εμπίπτει σε μια άλλη διακριτή τυχαία μεταβλητή λόγω της φύσης της συνάρτησης πιθανότητας μάζας, στην αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή και στην κατανομή της από n δοκιμή ενός ανεξάρτητου πειράματος.

    \ [\ [P \ {X = n \} = \ αριστερά (\ begin {array} {c} n-1 \\ r-1 \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r} (1-p) ^ {nr} \ quad n = r, r + 1, \ ldots \\ \ left (\ begin {array} {c} n-1 \\ r-1 \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r- 1} (1-p) ^ {nr} \] \]

Με άλλα λόγια μια τυχαία μεταβλητή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους (r, p), σημειώστε ότι εάν περιορίσουμε το r = 1, η αρνητική διωνυμική κατανομή μετατρέπεται σε γεωμετρική κατανομή, μπορούμε να ελέγξουμε συγκεκριμένα

    \ [\ sum_ {n = r} ^ {\ infty} P \ {X = n \} = \ sum_ {n = r} ^ {\ infty} \ αριστερά (\ begin {array} {c} n-1 \ \ r-1 \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r} (1-p) ^ {nr} = 1 \]

Προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση της αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής

Η προσδοκία και η διακύμανση για την αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή θα είναι

E [X] = \ frac {r} {p} \ quad \ operatorname {Var} (X) = \ frac {r (1-p)} {p ^ {2}}

με τη βοήθεια της συνάρτησης πιθανότητας μάζας αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής και του ορισμού της προσδοκίας μπορούμε να γράψουμε

\\ E \ αριστερά [X ^ {k} \ δεξιά] = \ sum_ {n = r} ^ {\ infty} n ^ {k} \ αριστερά (\ begin {array} {c} n-1 \\ r- 1 \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r} (1-p) ^ {nr} \\ = \ frac {r} {p} \ sum_ {n = r} ^ {\ infty} n ^ {k -1} \ αριστερά (\ begin {array} {c} n \\ r \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r + 1} (1-p) ^ {nr} \ text {since} n \ αριστερά (\ begin {array} {c} n-1 \\ r-1 \ end {array} \ right) = r \ αριστερά (\ begin {array} {c} n \\ r \ end {array} \ δεξιά) \\ = \ frac {r} {p} \ sum_ {m = r + 1} ^ {\ infty} (m-1) ^ {k-1} \ αριστερά (\ begin {array} {c} m-1 \\ r \ end {array} \ δεξιά) p ^ {r + 1} (1-p) ^ {m- (r + 1)} \ start {array} {c} \ text {ρυθμίζοντας} \\ m = n + 1 \ end {array} \\ = \ frac {r} {p} E \ αριστερά [(Y-1) ^ {k-1} \ δεξιά]

Εδώ το Y δεν είναι τίποτα άλλο από την αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή βάλτε τώρα k = 1 που θα πάρουμε

    \ [\\ E [X] = \ frac {r} {p} \ \ και \ \ k = 2 \ \ \ \ E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] = \ frac {r} {p} E [Y-1] \\ = \ frac {r} {p} \ αριστερά (\ frac {r + 1} {p} -1 \ δεξιά) \]

Έτσι για διακύμανση

    \ [var (X) = E [X ^ {2}] - {E [X]} ^ {2} \]

    \ [\\ \ operatorname {Var} (X) = \ frac {r} {p} \ αριστερά (\ frac {r + 1} {p} -1 \ δεξιά) - \ αριστερά (\ frac {r} {p } \ δεξιά) ^ {2} \\ = \ frac {r (1-p)} {p ^ {2}} \]

Παράδειγμα: Εάν μια μήτρα ρίξει για να πάρει 5 στο πρόσωπο της μήτρας μέχρι να φτάσουμε 4 φορές αυτή η τιμή βρείτε την προσδοκία και τη διακύμανση. Η τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με αυτό το ανεξάρτητο πείραμα είναι αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή για r = 4 και πιθανότητα επιτυχίας 1/6 για να πάρει 5 σε μία ρίψη

όπως γνωρίζουμε για την αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή 

    \ [E [X] = \ frac {r} {p} \\ \ operatorname {Var} (X) = \ frac {r (1-p)} {p ^ {2}} \]

so

    \ [\\ E [X] = 24 \\ \ operatorname {Var} (X) = \ frac {4 \ αριστερά (\ frac {5} {6} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ frac {1} { 6} \ δεξιά) ^ {2}} = 120 \]

Υπεργεωμετρική τυχαία μεταβλητή

       Εάν επιλέξαμε ιδιαίτερα ένα δείγμα μεγέθους n από ένα σύνολο Ν που έχει m και Nm δύο τύπους, τότε επιλέχθηκε η τυχαία μεταβλητή για πρώτη έχει τη λειτουργία μάζας πιθανότητας

\\ P \ {X = i \} = \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {c} m \\ i \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {c} Nm \ \ ni \ end {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {l} N \\ n \ end {array} \ δεξιά)} \ quad i = 0,1, \ ldots, n

για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν σάκο από τον οποίο λαμβάνονται τυχαία ένα δείγμα βιβλίων μεγέθους n χωρίς αντικατάσταση που περιέχει βιβλία Ν από τα οποία τα m είναι μαθηματικά και το Nm είναι φυσική, Εάν αντιστοιχίσουμε την τυχαία μεταβλητή για να δηλώσουμε τον αριθμό των επιλεγμένων μαθηματικών βιβλίων τότε η πιθανότητα συνάρτηση για μια τέτοια επιλογή θα είναι σύμφωνα με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας.

  Με άλλα λόγια, η τυχαία μεταβλητή με την παραπάνω συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι γνωστό ότι είναι η υπεργεωμετρική τυχαία μεταβλητή.

Παράδειγμα: Από πολλά ηλεκτρονικά εξαρτήματα εάν το 30% των παρτίδων έχει τέσσερα ελαττωματικά εξαρτήματα και το 70% έχει ένα ελαττωματικό, υπό την προϋπόθεση ότι το μέγεθος της παρτίδας είναι 10 και για την αποδοχή της παρτίδας τρία τυχαία εξαρτήματα θα επιλεγούν και θα ελεγχθούν εάν όλα είναι μη ελαττωματικά τότε θα επιλεγεί παρτίδα. Υπολογίστε ότι από το σύνολο της παρτίδας απορρίπτεται το ποσοστό της παρτίδας.

Εδώ θεωρήστε ότι το Α είναι το γεγονός για να αποδεχτείτε την παρτίδα

\\ P \ {X = i \} = \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {c} m \\ i \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {c} Nm \ \ ni \ end {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {l} N \\ n \ end {array} \ δεξιά)} \ quad i = 0,1, \ ldots, n

N = 10, m = 4, n = 3

P (A \ mid $ lot έχει 4 ελαττώματα $) = \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {l} 4 \\ 0 \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {l} 6 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {c} 10 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)}

για N = 10, m = 1, n = 3

P (A \ mid $ lot έχει 1 ελαττωματικό $) = \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {l} 1 \\ 0 \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {l} 9 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {c} 10 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)}

\ begin {aligned} P (A) & = P (A \ mid \ text {lot has} 4 \ text {defectives}) \ frac {3} {10} + P (A \ mid \ text {lot has} 1 \ text {defective}) \ frac {7} {10} \\ & = \ frac {\ left (\ begin {array} {l} 4 \\ 0 \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ έναρξη { array} {l} 6 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {c} 10 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)} \ αριστερά (\ frac {3 } {10} \ δεξιά) + \ frac {\ αριστερά (\ begin {array} {l} 1 \\ 0 \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {l} 9 \\ 3 \ τέλος {array} \ δεξιά)} {\ αριστερά (\ begin {array} {c} 10 \\ 3 \ end {array} \ δεξιά)} \ αριστερά (\ frac {7} {10} \ δεξιά) \\ = & \ frac {54} {100} \ τέλος {στοίχιση}

Έτσι, η παρτίδα 46% θα απορριφθεί.

Προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση της υπεραγεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής

    Η προσδοκία, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση για την υπεργεωμετρική τυχαία μεταβλητή με τις παραμέτρους n, m και N θα είναι

\\ E [X] = \ frac {nm} {N} \ quad \ operatorname {Var} (X) = np (1-p) \ αριστερά (1- \ frac {n-1} {N-1} \ σωστά)

ή για τη μεγάλη τιμή του Ν

\\ \ όνομα λειτουργίας {Var} (X) \ περίπου np (1-p)

και η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό της πιθανότητας συνάρτησης μάζας της υπεργορμομετρικής συνάρτησης και την προσδοκία μπορούμε να την γράψουμε ως

\ start {aligned} E \ left [X ^ {k} \ right] & = \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} P \ {X = i \} \\ & = \ sum_ { i = 1} ^ {n} i ^ {k} \ αριστερά (\ begin {array} {c} m \\ i \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {c} Nm \\ ni \ end {array} \ δεξιά) / \ αριστερά (\ begin {array} {c} N \\ n \ end {array} \ δεξιά) \ τέλος {στοίχιση}

εδώ χρησιμοποιώντας τις σχέσεις και τις ταυτότητες των συνδυασμών που έχουμε

\ begin {aligned} \\ i \ left (\ begin {array} {c} m \\ i \ end {array} \ δεξιά) & = m \ αριστερά (\ begin {array} {c} m-1 \\ i-1 \ end {array} \ δεξιά) \ κείμενο {και} n \ αριστερά (\ begin {array} {c} N \\ n \ end {array} \ δεξιά) = N \ αριστερά (\ έναρξη {πίνακας} {c} N-1 \\ n-1 \ end {array} \ δεξιά) \ τέλος {στοίχιση}

έτσι θα ήταν

\\ E \ αριστερά [X ^ {k} \ δεξιά] & = \ frac {nm} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {k-1} \ αριστερά (\ begin {array} {c} m-1 \\ i-1 \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {c} Nm \\ ni \ end {array} \ δεξιά) / \ αριστερά (\ έναρξη {πίνακας } {c} N-1 \\ n-1 \ end {array} \ δεξιά) \\ & = \ frac {nm} {N} \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} (j + 1) ^ {k-1} \ αριστερά (\ begin {array} {c} m-1 \\ j \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (\ begin {array} {c} Nm \\ n-1-j \ end {array} \ δεξιά) / \ αριστερά (\ begin {array} {c} N-1 \\ n-1 \ end {array} \ δεξιά) \\ & = \ frac {nm} {N} E \ αριστερά [(Y + 1) ^ {k-1} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

Εδώ Y παίζει το ρόλο της υπερευομετρικής τυχαίας μεταβλητής με αντίστοιχες παραμέτρους τώρα αν βάλουμε k = 1 θα πάρουμε

E [X] = \ frac {nm} {N}

και για k = 2

    \ [\ start {aligned} E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] & = \ frac {nm} {N} E [Y + 1] \\ & = \ frac {nm} {N} \ αριστερά [ \ frac {(n-1) (m-1)} {N-1} +1 \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση} \]

έτσι θα ήταν διαφορετική

\ operatorname {Var} (X) = \ frac {nm} {N} \ αριστερά [\ frac {(n-1) (m-1)} {N-1} + 1- \ frac {nm} {N} \σωστά]

για p = m / N και

    \[\\ \frac{m-1}{N-1}=\frac{N p-1}{N-1}=p-\frac{1-p}{N-1}\]

παίρνουμε

    \ [\\ \ Operatorname {Var} (X) = np \ left [(n-1) p- (n-1) \ frac {1-p} {N-1} + 1-np \ δεξιά] \\ \]

για πολύ μεγάλη τιμή του Ν θα ήταν προφανώς

    \ [\\ \ όνομα λειτουργίας {Var} (X) \ περίπου np (1-p) \]

Zeta (Zipf) τυχαία μεταβλητή

        Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή λέγεται Zeta εάν η συνάρτηση πιθανότητας μάζας δίνεται από

    \ [\\ \ qquad P \ {X = k \} = \ frac {C} {k ^ {\ alpha + 1}} \ quad k = 1,2, \ ldots \]

για τις θετικές τιμές του άλφα.

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τις τιμές της προσδοκίας, της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης.

     Με τον ίδιο τρόπο, χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της συνάρτησης πιθανότητας μάζας και τη μαθηματική προσδοκία μπορούμε να συνοψίσουμε τον αριθμό των ιδιοτήτων για καθεμία από τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές, για παράδειγμα, αναμενόμενες τιμές αθροισμάτων τυχαίων μεταβλητών ως

Για τυχαίες μεταβλητές

$ X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n} $

E \ αριστερά [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} E \ αριστερά [X_ {i} \ δεξιά]

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο επικεντρώσαμε κυρίως σε κάποια επιπλέον διακριτή τυχαία μεταβλητή, τις πιθανότητες συναρτήσεων μάζας, την κατανομή και τις στατιστικές παραμέτρους μέση ή προσδοκία, τυπική απόκλιση και διακύμανση, Η σύντομη εισαγωγή και το απλό παράδειγμα που συζητήσαμε για να δώσουμε ακριβώς την ιδέα που παραμένει η μελέτη λεπτομερειών συζητήστε Στα επόμενα άρθρα θα προχωρήσουμε σε συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και έννοιες που σχετίζονται με συνεχή τυχαία μεταβλητή, εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, ακολουθήστε τον παρακάτω προτεινόμενο σύνδεσμο. Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα μαθηματικά, παρακαλώ αυτό σύνδεσμος.

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks