Πολυώνυμο ερμίτη | Οι σημαντικές σχέσεις του με 10+ κρίσιμα παραδείγματα

Περιεχόμενο

  Το πολυώνυμο Ερμίτης απαντάται ευρέως σε εφαρμογές ως ορθογώνια συνάρτηση. Το πολυώνυμο ερμίτης είναι η σειρά σειράς διαφορικής εξίσωσης Ερμίτη.

Εξίσωση Ερμίτη

    Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με συγκεκριμένους συντελεστές ως

\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}-2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

είναι γνωστή ως εξίσωση Ερμίτη, με την επίλυση αυτής της διαφορικής εξίσωσης θα πάρουμε το πολυώνυμο που είναι Ερμίτης Πολυώνυμο.

Ας βρούμε τη λύση της εξίσωσης

\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}-2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

με τη βοήθεια σειριακής λύσης διαφορικής εξίσωσης

\ begin {array} {l} y = a_ {0} x^{m}+a_ {1} x^{m+1}+a_ {2} x^{m+2}+a_ {3} x^ {m+3}+\ ldots \ ldots.+a_ {k} x^{m+k} \\ y = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{m+k} \\ \ frac {dy} {dx} = \ sum a_ {k} (m+k) x^{m+k-1} \\ \ frac {d^{2} y} {dx^{2}} = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} \ end {array}

αντικαθιστώντας τώρα όλες αυτές τις τιμές στην εξίσωση του Ερμίτη που έχουμε

$ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} -2 x \ sum a_ {k} (m+k) x^{m +k-1} +2 n \ sum a_ {k} x^{m+k} = 0 $ $ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{ m+k-2} -2 \ sum a_ {k} (m+k) x^{m+k} +2 n \ sum a_ {k} x^{m+k} = 0 $ $ \ Rightarrow \ quad \ άθροισμα a_ {k} (m+k) (m+k-1) x^{m+k-2} -2 \ άθροισμα a_ {k} [(m+k) -n] x^{m+k } = 0 $

Αυτή η εξίσωση ικανοποιεί για την τιμή k = 0 και όπως υποθέσαμε ότι η τιμή του k δεν θα είναι αρνητική, τώρα για τον όρο χαμηλότερου βαθμού xm-2 πάρτε k = 0 στην πρώτη εξίσωση καθώς η δεύτερη δίνει αρνητική τιμή, άρα ο συντελεστής xm-2 is

a_ {0} m (m-1) = 0 \ Rightarrow m = 0, m = 1

ως \ quad a_ {0} \ neq 0

τώρα με τον ίδιο τρόπο εξισώνοντας τον συντελεστή xm-1 από το δεύτερο άθροισμα

a_ {1} m (m+1) = 0 \ Rightarrow \ left [\ begin {array} {l} {a _ {1} \ text {may or not be zero when} m = 0} \\ {a _ {1} = 0, \ text {when} m = 1} \ end {array} \ quad \ left (\ begin {array} {l} m+1 \ neq 0 \ text {as} \ mathrm {m} \ text {is} \\ \ text {ήδη ίσο με μηδέν} \ end {array} \ right) \ right.

και εξίσωση των συντελεστών του xm+k στο μηδέν,

a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0

μπορούμε να το γράψουμε ως

a_ {k+2} = \ frac {2 (m+kn)} {(m+k+2) (m+k+1)} a_ {k}

αν m = 0

\ quad a_ {k+2} = \ frac {2 (kn)} {(k+2) (k+1)} a_ {k} \ quad

αν m = 1

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

για αυτές τις δύο περιπτώσεις τώρα συζητάμε τις περιπτώσεις για k

Όταν \ quad $ m = 0, a_ {k+2} = \ frac {2 (kn)} {(k+2) (k+1)} a_ {k} $

Εάν \ quad $ k = 0, a_ {2} = \ frac {-2 n} {2} a_ {0} =-n a_ {0} $

Εάν \ quad $ k = 1, a_ {3} = \ frac {2 (1-n)} {6} a_ {1} =-2 \ frac {(n-1)} {3!} A_ {1} $

Εάν \ quad $ k = 2, a_ {4} = \ frac {2 (2-n)} {12} a_ {2} = 2 \ frac {(2-n)} {12} \ left (-n a_ {0} \ δεξιά) = (2)^{2} \ frac {n (n-2)} {4!} A_ {0} $

Εάν \ quad $ k = 3, a_ {5} = \ frac {2 (3-n)} {20} a_ {3} = \ frac {2 (3-n)} {20} \ left (-\ frac {2 (n-1)} {3!} A_ {1} \ right) = (2)^{2} \ frac {(n-1) (n-3)} {5!} A_ {1} $ \\ $ a_ {2 r} = \ frac {(-2)^{r} n (n-2) (n-4) \ ldots \ ldots (n-2 r+2)} {(2 r)! } a_ {0} $ \\ $ a_ {2 r+1} = \ frac {(-2)^{r} (n-1) (n-3) \ ldots \ ldots (n-2 r+1) } {(2 r+1)!} A_ {1} = 0 $

μέχρι στιγμής m = 0 έχουμε δύο συνθήκες όταν α1= 0, τότε α3=a5=a7=…. = Α2r+1= 0 και όταν α1 τότε δεν είναι μηδέν

\ begin {array} {c} y = \ sum_ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k} \\ y = a_ {0}+a_ {1} x+a_ {2} x^{2}+a_ {3} x^{3}+a_ {4} x^{4}+a_ {5} x^{5}+\ ldots \ ldots \ ldots \\ = a_ {0}+ a_ {2} x^{2}+a_ {4} x^{4}+\ ldots. .+a_ {1} x+a_ {3} x^{3}+a_ {5} x^{5} \ end {array}

ακολουθώντας αυτό βάλτε τις τιμές του α0,a1,a2,a3,a4 και ένα5 έχουμε

\ begin {array} {l} = a_ {0} \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+\ frac {2^{2} n (n-2)} { 4!} X^{4}-\ ldots+(-1)^{r} \ frac {2} {(2 r)!} N (n-2) \ ldots (n-2 r+2) x^{ 2 r}+\ ldots \ right] \\+a_ {1} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} X^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!}-\ ldots. \ δεξιά. \\ \ αριστερά.+(-1)^{r} \ frac {2^{r}} {(2 r+1)!} (n-1) (x-3) \ ldots (n-2 r+ 1) x^{2 r}+\ ldots \ right] \\ = a_ {0} \ left [1+ \ sum_ {r = 1}^{\ infty} \ frac {(-1)^{r} 2 ^{r}} {(2 r)!} n (n-2) \ ldots (n-2 r+2) x^{2 r} \ right] \\ \ left.+a_ {0} \ left [ x+\ sum_ {r = 1}^{\ infty} \ frac {(-1)^{r} 2^{r}} {(2 r+1)} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+2) x^{2 r+1} \ right] \ quad \ text {(If} a_ {1} = a_ {0} \ right) \ end {array}

και για m = 1 a1= 0 βάζοντας k = 0,1,2,3,… .. παίρνουμε

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

\ begin {array} {l} a_ {2} =-\ frac {2 (n-1)} {3!} a_ {0} \\ a_ {4} = \ frac {2^{2} (n- 1) (n-3)} {5!} A_ {0} \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \\ a_ {2 r } = (-1)^{r} \ frac {2^{r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+1)} {(2 r+1)!} A_ { 0} \ end {array}

οπότε η λύση θα είναι

= a_ {0} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!} X^{4} \ cdots+\ frac {(-1)^{r} 2^{r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r+1)} {( 2 r+1)!} X^{2 r}+\ ldots \ δεξιά]

έτσι είναι η πλήρης λύση

y = A \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+\ frac {2^{2} n (n-2)} {4!} x^{4}-\ ldots \ right]+B \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x^{2}+\ frac {2^{2} (n-1) (n-3)} {5!} X^{4} \ ldots \ δεξιά]

όπου τα Α και Β είναι οι αυθαίρετες σταθερές

Ερμίτης Πολυώνυμο

   Η λύση εξισώσεων του Ερμίτη έχει τη μορφή y (x) = Ay1(x)+By2(x) όπου y1(x) και y2(x) είναι οι όροι σειράς όπως συζητήθηκαν παραπάνω,

y_ {1} (x) = 1- \ frac {2 n} {2!} x^{2}+2^{2} n \ frac {(n-2)} {4!} x^{4} -\ frac {2^{3} n (n-2) (n-4)} {6!} x^{6}+\ cdots

y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots

μία από αυτές τις σειρές τελειώνει αν το n είναι μη αρνητικός ακέραιος αριθμός εάν το n είναι ζυγό y1 τερματίζεται διαφορετικά y2 αν το n είναι περιττό, και μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι για n = 0,1,2,3,4 …… .. αυτά τα πολυώνυμα είναι

1, x, 1-2 x^{2}, x- \ frac {2} {3} x^{3}, 1-4 x^{2}+\ frac {4} {3} x^{4 }, x- \ frac {4} {3} x^{3}+\ frac {4} {15} x^{5}

έτσι μπορούμε να πούμε εδώ ότι η λύση της εξίσωσης του Ερμίτη είναι σταθερό πολλαπλάσιο αυτών των πολυωνύμων και οι όροι που περιέχουν την υψηλότερη ισχύ του x είναι της μορφής 2nxn συμβολίζεται με Ηn(x) είναι γνωστό ως Πολυωνυμικός Ερμίτης

Συνάρτηση δημιουργίας πολυωνύμου Ερμίτη

Ερμίτης πολυώνυμο που συνήθως ορίζεται με τη βοήθεια σχέσης χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας

\ mathrm {e}^{\ left (2 x tt^{2} \ right)} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ mathbf {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathbf {x}) \ frac {\ mathrm {t}^{\ mathrm {a}}} {\ mathrm {n}!}, \ quad

\ Έναρξη {ευθυγράμμιση} \ mathrm {e}^{\ αριστερά (2 x tt^{2} \ δεξιά)} = \ mathrm {e}^{2 ut} \ mathrm {e}^{-t^{2} } & = \ left [\ sum_ {m = 0}^{\ infty} \ frac {(2 \ mathrm {xt})^{\ mathrm {m}}} {\ mathrm {m}!} \ right] \ αριστερά [\ sum _ {\ mathrm {k} = 0}^{\ infty} \ frac {\ left (-\ mathrm {t}^{2} \ right)^{\ mathrm {k}}} {\ mathrm { k}!} \ right] \\ & = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0}^{\ infty} \ sum _ {\ mathrm {k} = 0}^{[\ mathrm {n} / 2]} \ frac {(-1)^{\ mathrm {k}} (2 \ mathrm {x})^{\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}}} {\ mathrm {k}! (\ mathrm { n} -2 \ mathrm {k})!} \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}} \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

[n/2] είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με n/2, οπότε ακολουθεί την τιμή του Hn(Χ) as

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = \ sum _ {\ mathrm {k} = 0}^{[\ mathrm {n} / 2]} \ frac {(-1 )^{\ mathrm {k}} \ mathrm {n}!} {\ mathrm {k}! (\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k})!} (2 \ mathrm {x})^{\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}}

όπου \ quad $ \ left [\ frac {\ mathrm {n}} {2} \ right] = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {\ mathrm {n}} {2}, & \ κείμενο {if} \ mathrm {n} \ text {is even} \\ \ frac {\ mathrm {n} -1} {2}, & \ text {if} \ mathrm {n} \ text {is odd} \ τέλος {array} \ δεξιά. $

αυτό το δείχνει Hn(Χ) είναι πολυώνυμο βαθμού n σε x και

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = 2^{\ mathrm {n}} \ mathrm {x}^{\ mathrm {n}}+\ pi _ {\ mathrm { n} -2} (\ mathrm {x})

όπου πn-2 (x) είναι το πολυώνυμο του βαθμού n-2 στο x, και θα είναι άρτια συνάρτηση του x για ζυγή τιμή n και περιττή συνάρτηση x για περιττή τιμή n, οπότε

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (-\ mathrm {x}) = (-1)^{\ mathrm {n}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {Χ})

μερικά από τα αρχικά πολυώνυμα Ερμίτη είναι

\ begin {array} {l} \ mathrm {H} _ {0} (\ mathrm {x}) = 1 \\ \ mathrm {H} _ {1} (\ mathrm {x}) = 2 \ mathrm {x } \\ \ mathrm {H} _ {2} (\ mathrm {x}) = 4 \ mathrm {x}^{2} -2 \\ \ mathrm {H} _ {3} (\ mathrm {x}) = 8 \ mathrm {x}^{3} -12 \\ \ mathrm {H} _ {4} (\ mathrm {x}) = 16 \ mathrm {x}^{4} -48 \ mathrm {x}^ {2} +12 \\ \ mathrm {H} _ {5} (\ mathrm {x}) = 32 \ mathrm {x}^{5} -160 \ mathrm {x}^{3} +120 \ mathrm { x} \ end {array}

Rodrigue Formula of Hermite πολυώνυμο | Συνάρτηση δημιουργίας πολυωνύμου Ερμίτη από τον τύπο Rodrigue

Το πολυώνυμο Ερμίτη μπορεί επίσης να οριστεί με τη βοήθεια του τύπου Rodrigue χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (-1)^{\ mathrm {n}} \ mathrm {e}^{\ mathrm {x}^{2}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}}} {\ mathrm {dx}^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{ 2}} \ δεξιά)

αφού η σχέση της συνάρτησης δημιουργίας

\ mathrm {e}^{2 \ mathrm {tx}-\ mathrm {t}^{2}} = \ mathrm {e}^{\ mathrm {x}^{2}-(\ mathrm {t}-\ mathrm {x})^{2}} = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0}^{\ infty} \ frac {\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) } {\ mathrm {n}!} \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}}

  Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Maclaurin, έχουμε

\ αριστερά. \ frac {\ partial^{\ mathrm {n}}} {\ partial \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{2 \ mathrm {tx} -\ mathrm {t}^{2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ left. \ mathrm {e}^{\ mathrm {x}^{2}} \ frac {\ partial^{\ mathrm {n}}} {\ partial \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{-(t- \ mathrm {x})^ {2}} \ δεξιά) \ δεξιά | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x})

or

\ αριστερά. \ frac {\ partial^{\ mathrm {n}}} {\ partial \ mathrm {t}^{\ mathrm {n}}} \ left [\ mathrm {e}^{-(\ mathrm {t }-\ mathrm {x})^{2}} \ right] \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x})

βάζοντας z = xt και

\ frac {\ partial} {\ partial \ mathrm {t}} =-\ frac {\ partial} {\ partial \ mathrm {z}}

για t = 0, άρα z = x δίνει

\ begin {array} {l} \ left. (-1)^{\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {z }^{\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e}^{-z^{2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {z} = \ mathrm {x}} = (- 1)^{\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}} \ left (\ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ right) } {\ mathrm {dx}^{\ mathrm {n}}} = \ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) \\ \ συνεπώς \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (-1)^{\ mathrm {n}} \ mathrm {e}^{\ mathrm {x}^{2}} \ frac {\ mathrm {d}^{\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {x}^{\ mathrm {n}}} \ αριστερά (\ mathrm {e}^{-\ mathrm {x}^{2}} \ right) \ end {array}

αυτό μπορούμε να το δείξουμε με άλλο τρόπο ως

e^{x^{2}} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = H_ {n} (x)+H_ {n+1} (x) t+H_ {n+2} (x) t^{2}+\ ldots \ ldots

διαφοροποιώντας

e^{\ αριστερά .- (tx)^{2} \ δεξιά \}

σε σχέση με το τ δίνει

\ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} =-2 (tx) e^{\ left \ {-(tx)^{ 2} \ δεξιά \}}

το όριο t τείνει στο μηδέν

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = 2 xe^{-x^{2 }}

τώρα διαφοροποιείται ως προς το x

\ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = (-1)^{2} (tx) e^{\ left \ { -(tx)^{2} \ δεξιά \}}

το όριο t τείνει στο μηδέν

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} =-2 xe^{-x^{ 2}}

από αυτές τις δύο εκφράσεις μπορούμε να γράψουμε

\ αριστερά. \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial t} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = (-1)^{ 1} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial x} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right.} \ Right \}

με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να γράψουμε

\ αριστερά. \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{2}} {\ partial t^{2}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \} } = (-1)^{2} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{2}} {\ partial x^{2}} e^{\ left \ {-(tx)^ {2} \ δεξιά.} \ Δεξιά \}

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ right \}} = ( -1)^{n} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial x^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{2} \ δεξιά \}} = (-1)^{n} \ frac {d^{n}} {dx^{n}} e^{-x^{2}}

 διαφοροποιώντας n φορές βάλτε t = 0, παίρνουμε

\ lim _ {t \ rightarrow 0} e^{x^{2}} \ frac {\ partial^{n}} {\ partial t^{n}} e^{\ left \ {-(tx)^{ 2} \ δεξιά \}} = H_ {n} (x)

από αυτές τις τιμές μπορούμε να γράψουμε

\ begin {array} {l} (-1)^{n} e^{x^{2}} \ frac {d^{n}} {dx^{n}} e^{-x^{2} } = H_ {n} (x) \\ H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} \ frac {d^{n}} {dx^{n }} e^{-x^{2}} \\ n = 0 \ end {array}

από αυτά μπορούμε να πάρουμε τις τιμές

\ begin {array} {l} n = 0 \\ H_ {0} (x) = (-1)^{0} e^{x^{2}} e^{-x^{2}} = 1 \\ H_ {0} (x) = 1 \ end {array}

\ begin {array} {l} n = 1 \\ H_ {1} (x) = (-1)^{1} e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} e^{- x^{2}} =-e^{x^{2}} (-2 x) e^{-x^{2}} = 2 x \\ H_ {1} (x) = 2 x \\ n = 2 \ end {array}

\ ξεκινήσει {ευθυγραμμίστηκε} H_ {2} (x) & = (-1)^{2} e^{x^{2}} \ frac {d^{2}} {dx^{2}} e^{ -x^{2}} = e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 xe^{-x^{2}} \ right) \\ & = e^{ x^{2}} \ left [-2 e^{x^{2}}-2 x (-2 x) e^{-x^{2}} \ right. \\ & =-2+4 x ^{2} \\ & H_ {2} (x) = 4 x^{2} -2 \\ n = 3 \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

\ Έναρξη {στοίχιση} H_ {3} (x) & = (-1)^{3} e^{x^{2}} \ frac {d^{3}} {dx^{3}} \ left ( e^{-x^{2}} \ δεξιά) =-e^{x^{2}} \ frac {d^{2}} {dx^{2}} \ left (-2 xe^{-x ^{2}} \ δεξιά) \\ & =-e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 e^{-x^{2}}+(-2 x ) (-2 x) e^{-x^{2}} \ δεξιά) \\ & =-e^{x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2+4 x^ {2} \ δεξιά) e^{-x^{2}} =-e^{x^{2}} \ left [8 xe^{-x^{2}}+\ left (4 x^{2 } -2 \ δεξιά) (-2 x) e^{-x^{2}} \ δεξιά] \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

\ begin {array} {l} =-\ left [8 x+\ left (4 x^{2} -2 \ right) (-2 x) \ right] =-8 x+8 x^{3} -4 x = 8 x^{3} -12 x \\ H_ {3} (x) = 8 x^{3} -12 x \\ H_ {4} (x) = 16 x^{4} -48 x^ {2} +12 \ end {array}

\ begin {array} {l} H_ {5} (x) = 32 x^{5} -160 x^{3} +120 x \\ H_ {6} (x) = 64 x^{6} -480 x^{4} +720 x^{2} -120 \\ H_ {7} (x) = 128 x^{7} -1344 x^{5} +3360 x^{3} -1680 x \ end { πίνακας}

Παράδειγμα στο πολυώνυμο Ερμίτη           

  1. Βρείτε το συνηθισμένο πολυώνυμο του

2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}

Λύση: χρησιμοποιώντας τον πολυώνυμο ερμητικό ορισμό και τις σχέσεις που έχουμε

\ begin {array} {l} 2 H_ {4} (x) +3 H_ {3} (x) -H_ {2} (x) +5 H_ {1} (x) +6 H_ {0} \\ \ quad = 2 \ left [16 x^{4} -48 x^{2} +12 \ right] +3 \ left \ {8 x^{3} -12 x \ right \}-\ left (4 x ^{2} -2 \ δεξιά) +5 (2 x) +6 (1) \\ \ quad = 32 x^{4} -96 x^{2}+24+24 x^{3} -36 x -4 x^{2}+2+10 x+6 \\ = 32 x^{4} +24 x^{3} -100 x^{2} -26 x+32 \ end {array}

2. Βρείτε το πολυώνυμο Ερμίτης του συνηθισμένου πολυωνύμου

64 x^{4} +8 x^{3} -32 x^{2} +40 x+10

Λύση: Η δεδομένη εξίσωση μπορούμε να μετατρέψουμε σε Ερμίτη ως

\ αρχή {στοίχιση} 64 x^{4} +8 x^{3} & -32 x^{2} +40 x+10 = \ mathrm {AH} _ {4} (x)+\ mathrm {BH} _ {3} (x)+\ mathrm {CH} _ {2} (x)+\ mathrm {DH} _ {1} (x)+\ mathrm {EH} _ {0} (x) \\ & = \ mathrm {A} \ left (16 x^{4} -48 x^{2} +12 \ right)+\ mathrm {B} \ left (8 x^{3} -12 x \ right)+\ mathrm {C} \ αριστερά (4 x^{2} -2 \ δεξιά)+\ mathrm {D} (2 x)+\ mathrm {E} (1) \\ & = 16 \ mathrm {~ A} x^{ 4} +8 \ mathrm {~ B} x^{3} (-48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C}) x^{2}+(-12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D}) x+12 \ mathrm {~ A} -2 \ mathrm {C}+\ mathrm {E} \ end {ευθυγραμμισμένο}

και από αυτήν την εξίσωση εξίσωση του ίδιου συντελεστή ισχύος

\ Έναρξη {στοίχιση} 16 \ mathrm {~ A} = 64 & \ Rightarrow \ mathrm {A} = 4 \\ 8 \ mathrm {~ B} = 8 & \ Rightarrow \ mathrm {B} = 1 \\ -48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C} =-32 & \ Rightarrow 4 \ mathrm {C} =-32+192 \ Rightarrow \ mathrm {C} = 40 \\ -12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D} = 40 & \ Rightarrow-12+2 \ mathrm {D} = 40 \ Rightarrow 2 \ mathrm {D} = 52 \ Rightarrow \ mathrm {D} = 26 \\ 12 \ mathrm {~ A}- 2 \ mathrm {C}+\ mathrm {E} = 10 & \ Rightarrow 12 \ times 4-2 (40)+\ mathrm {E} = 10 \ Rightarrow \ mathrm {E} = 42 \ end {straight}

άρα το πολυώνυμο Ερμίτης θα είναι

4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)

Ορθογώνια πολυωνυμία Ερμίτη | Ορθογώνια ιδιότητα Ερημίτη Πολυωνύμου

Το σημαντικό χαρακτηριστικό για το πολυώνυμο της Ερμίτης είναι η ορθογωνία του που το δηλώνει

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0, & m \ neq n \\ 2^{n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {array} \ δεξιά.

Για να αποδείξουμε αυτήν την ορθογωνία, ας το θυμηθούμε

e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right)^{2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {n} (x)} {n !} t_ {1}^{n}

η οποία είναι η συνάρτηση δημιουργίας για το πολυώνυμο Ερμίτη και γνωρίζουμε

e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {2} -x \ right)^{2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {m} (x)} {m !} t_ {2}^{m}

οπότε πολλαπλασιάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις θα πάρουμε

\ Έναρξη {ευθυγράμμιση e^{\ αριστερά \ {x^{2}-\ αριστερά (t_ {1} -x \ δεξιά)^{2} \ δεξιά \}} \ cdot e^{\ αριστερά \ {x^ {2}-\ left (t_ {2} -x \ right)^{2} \ right \}} & = \ left [\ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} ( x)} {n!} t_ {1}^{n} \ δεξιά] \ αριστερά [\ sum_ {m = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {m} (x)} {m!} t_ { 2}^{m} \ right] \\ & = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ left [H_ {n} (x) \ left | H_ {m} (x) \ right | \ right ] \ frac {t_ {1}^{n} \ cdot t_ {2}^{m}} {n! m!} \ end {ευθυγραμμισμένο}

πολλαπλασιάζονται και ενσωματώνονται σε άπειρα όρια

\ begin {array} {l} \ left. \ left. \ sum_ {nm} \ left [\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {n} (x ) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1}^{n} t_ {2}^{m}} {n! m!} = e^{-x^{2}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right )^{2} \ right.} \ Right \} _ {.} E^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {2} -x \ right)^{2} \ right.} \ right \} _ {dx} \\ = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {x^{2}-\ left (t_ {1} -x \ right)^{ 2} \ δεξιά \}-\ αριστερά (t_ {2} -x \ δεξιά)^{2}} dx \\ = e^{\ αριστερά (-\ αριστερά (t_ {1}^{2}+t_ {2 }^{2} \ δεξιά) \ δεξιά \}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ αριστερά \ {-x^{2} +2 x \ αριστερά (t_ {1}+t_ {2} \ right) \ right \}} dx \ end {array}

και από τότε

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {-ax^{2} +2 bx \ right \}} dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2} e^{ \ frac {b^{2}} {a}}} \ quad

so

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{\ left \ {-x^{2} +2 x \ left (t_ {1}+t_ {2} \ right) \ right \}} dx = \ sqrt {\ pi} e^{\ left (t_ {1}+t_ {2} \ right)^{2}}

χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή στην παραπάνω έκφραση που έχουμε

\ Έναρξη {ευθυγράμμιση e^{\ αριστερά \ {-\ αριστερά (i+1+r_ {2} \ δεξιά)^{2} \ δεξιά \}} \ cdot \ sqrt {\ pi} e^{\ αριστερά ( t_ {1}+t_ {2} \ δεξιά)^{2}} & = \ sqrt {\ pi} e^{-t^{2} -t_ {2}^{2}+t_ {1}^{ 2}+t_ {2}^{2} +2 \ uparrow r_ {2}} = \ sqrt {\ pi} e^{2 l_ {1} l_ {2}} \\ & = \ sqrt {\ pi} \ αριστερά [1+2 t_ {1} t_ {2}+\ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right)^{2}} {2!}+\ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right)^{3}} {3!}+\ ldots \ ldots. \ right] = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ δεξιά)^{n}} {n!} \\ & = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {2^{n} t_ {1}^{n} t_ {2}^{n }} {n!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {m = 0 \ επάνω n = 0}^{\ infty} 2^{n} t_ {1}^{n} t_ {2}^{m } \ delta_ {m, n} \ quad \ left [t_ {2}^{n} = t_ {2}^{m} \ delta_ {n, m} \ δεξιά] \ τέλος {στοιχισμένο}

που δίνει

\ sum_ {nm} \ left [\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1}^{n} t_ {2}^{m}} {n! m!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {nm} \ frac {2^{n}} {n!} e^{n} t_ {2}^{m} \ delta_ {n, m}

τώρα εξισώστε τους συντελεστές και στις δύο πλευρές

\ begin {array} {ll} & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac {H_ {n} (x) H_ {m} (x)} { n! m!} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi} 2^{n}} {n!} \ delta_ {n, m} \\ \ Rightarrow & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^ {-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {\ pi} 2^{n} m \ mid \ delta_ {n, m} \\ \ Rightarrow & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & m \ neq n \ αριστερά [\ delta_ {n, m} = 0, \ text {if} m \ neq n \ δεξιά. \\ 2^{n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {array} \ left [\ begin {array} {l} = 1, \ text {if} m = n \ end {array} \ right] \ right. \ end {array}

που δείχνει την ορθογώνια ιδιότητα του Ερμιτικού πολυωνύμου.

  Το αποτέλεσμα της ορθογώνιας ιδιότητας του πολυωνύμου Ερμίτη μπορεί να εμφανιστεί με άλλο τρόπο λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση υποτροπής

Παράδειγμα σχετικά με την ορθογωνία του πολυωνύμου Ερμίτη

1. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) dx

Λύση: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της ορθογωνίας του πολυωνύμου ερμίτη

\ begin {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) = 0 \ text {if } m \ neq n \ end {array}

αφού οι τιμές εδώ είναι m = 3 και n = 2 έτσι

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) = 0

2. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [H_ {2} (x) \ right]^{2} dx

Λύση: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ορθογωνικότητας του πολυωνύμου Ερμίτη μπορούμε να γράψουμε

\ begin {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [H_ {n} (x) \ right]^{2} dx = 2 ^{n} (n)! \ sqrt {\ pi} \\ \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [H_ {2} (x) \ right]^{2} dx = 2 ^{2} (2!) \ Sqrt {\ pi} = 8 \ sqrt {\ pi} \ end {array}

Σχέσεις υποτροπής του πολυωνύμου Ερμίτη

Η αξία του πολυωνύμου Ερμίτη μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί από τις σχέσεις υποτροπής

Πολυωνυμικός Ερμίτης
Ερμιτικές πολυωνυμικές σχέσεις υποτροπής

Αυτές οι σχέσεις μπορούν εύκολα να ληφθούν με τη βοήθεια ορισμού και ιδιοτήτων.

Αποδείξεις: 1. Γνωρίζουμε την εξίσωση Ερμίτη

y^{\ prime \ prime} -2 xy^{\ prime} +2 ny = 0

και η σχέση

e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!}

λαμβάνοντας τη διαφοροποίηση ως προς το x εν μέρει μπορούμε να το γράψουμε ως

2 te^{2t xt^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{'} (x) \ frac {r^{m}} {n!}

από αυτές τις δύο εξισώσεις

\ quad 2 t \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{'} (x) \ frac {t^{n}} {n!}

\ quad 2 \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n+1}} {n!} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n}^{\ prime} (x) \ frac {t^{n}} {n!}

αντικαταστήστε τώρα το n με n-1

2 \ frac {H _ {\ mathrm {m} -1} (\ mathrm {x}) t^{n}} {(n-1)!} = H_ {n}^{'} (x) \ frac { t^{n}} {n!}

\ quad \ frac {2 n H_ {n-1} (x) t^{n}} {n!} = H_ {n}^{\ prime} (x) \ frac {t^{n}} {n !}

εξισώνοντας τον συντελεστή tn

2 \ frac {n!} {(N-1)!} H_ {n-1} (x) = H^{\ prime} {} _ {n} (x)

\ quad 2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)

άρα το απαιτούμενο αποτέλεσμα είναι

\ mathbf {2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)}

2. Με παρόμοιο τρόπο διαφοροποίηση μερικώς ως προς την εξίσωση

e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!}

παίρνουμε

2 (xt) e^{2 tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {nt^{n-1}} {(n -1)!}

2 (xt) e^{2tx-t^{2}} = \ sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n-1}} {(n- 1)!}

n = 0 θα εξαφανιστεί έτσι βάζοντας αυτήν την τιμή του e

2 (xt) \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n}} {n!} = \ Sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n-1}} {(n-1)!}

\ quad 2 x \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n}} {n!}-2 \ sum_ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t^{n+1}} {n!} = \ Sum_ {n = 1}^{\ infty} H_ {n} (x) \ frac {r^{n- 1}} {(n-1)!}

τώρα εξισώνοντας τους συντελεστές του tn

2 x \ frac {H_ {n} (x)} {n!}-2 \ frac {H_ {n-1} (x)} {(n-1)!} = \ Frac {H_ {n+1} (x)} {n!} \ quad

έτσι

\ quad \ mathbf {2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {n+1} (x)}

3. Για να αποδείξουμε αυτό το αποτέλεσμα θα εξαλείψουμε το Ηn-1 από

2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {n+1} (x)

2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n}^{\ prime} (x)

έτσι παίρνουμε

\ αρχή {ευθυγράμμιση} 2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)+H_ {m+1} (x) & (x) \\ 2 x H_ {n} (x ) = H_ {n}^{r} (x)+H_ {n+1} (x) \\\ ldots \ ldots \ end {ευθυγραμμισμένο}

έτσι μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα

\ mathbf {H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n+1} (x)}

4. Για να αποδείξουμε αυτό το αποτέλεσμα διαφοροποιούμε

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n+1} (x)

παίρνουμε τη σχέση

H_ {n}^{\ prime \ prime} (x) = 2 x H_ {n}^{'} (x) +2 H_ {n} (x) -H_ {n+1}^{\ prime} ( Χ)

υποκαθιστώντας την τιμή

H_ {n+1}^{'} (x) = 2 (n+1) H_ {n} (x)

και αντικαθιστώντας το n με n+1

H_ {n}^{'} (x) = 2 \ μαθηματικά {x} H_ {n}^{\ prime} (x) +2 H_ {n} (x) -2 (n+1) H_ {n} (Χ)

\ quad H_ {n}^{'} (x) -2 x H_ {n}^{\ prime} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0

που δίνει

\ mathbf {H_ {n}^{\ prime \ prime} (x) -2 x H_ {n}^{1} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0]}

Παραδείγματα σχετικά με τις σχέσεις υποτροπής του πολυωνύμου Ερμίτη

1. Δείξτε το

H_ {2 n} (0) = (-1)^{n} \ cdot 2^{2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right)^{n}

Λύση:

Για να δείξουμε το αποτέλεσμα που έχουμε

H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}

παίρνοντας x = 0 εδώ παίρνουμε

\ ξεκίνησε {ευθυγραμμίστηκε} H_ {2 n} (0) & = \ frac {(-1)^{n} (2 n)!} {(n)!} = (-1)^{n} \ frac { (2 n) (2 n-1) (2 n-2) \ cdot \ ldots} {n (n-1) (n-2) \ ldots \ ldots 1} \\ & = (-1)^{n } \ frac {2 (2 n-1) 2 (2 n-3) 2 (2 n-5) 2 \ cdot \ ldots 2.1} {n!} n! \\ & = (-1)^{n} 2^{n} \ cdot 2^{n} \ frac {(2 n-1)} {2} \ frac {(2 n-3)} {2} \ frac {(2 n-5)} {2} \\ & = (-1)^{n} 2^{2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (\ frac {3} {2} \ δεξιά) \ αριστερά (\ frac {5} {2} \ δεξιά) \ αριστερά (\ frac {7} {2} \ δεξιά) \ ldots \ ldots \ αριστερά (\ frac {2 n- 3} {2} \ δεξιά) \ αριστερά (\ frac {2 n-1} {2} \ δεξιά) \\ & = (-1)^{n} 2^{2 n} \ αριστερά (\ frac {1 } {2} \ δεξιά)^{m} \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

2. Δείξτε το

H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}

Λύση:

Αφού από τη σχέση επανάληψης

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

εδώ αντικαταστήστε το n με 2n+1 έτσι

H_ {2 n+1}^{\ prime} (x) = 2 (2 n+1) H_ {2 n} (x)

παίρνοντας x = 0

\ αρχή {στοίχιση} H_ {2 n+1}^{\ prime} (0) & = 2 (2 n+1) H_ {2 n} (0) \\ & = 2 (2 n+1) (- 1)^{n} 2^{2 n} \ αριστερά (\ frac {1} {2} \ δεξιά)^{n} \\ & = (2 n+1) (-1)^{n} 2^ {2 n+1} \ left [\ frac {(2 n-1) (2 n-3) \ ldots \ ldots 3.1} {2^{n}} \ right] \\ & = (-1)^{ n} 2^{2 n+1} \ left [\ frac {3} {2} \ left (\ frac {3} {2} +1 \ right) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {3} { 2}+n-1 \ δεξιά) \ δεξιά] \\ & = (-1)^{n} \ cdot 2^{2 n+1} \ left (\ frac {3} {2} \ right)^{ n} \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

3. Βρείτε την τιμή του

H_ {2 n+1} (0)

Λύση

Αφού ξέρουμε

H_ {2 n+1} (x) = \ sum_ {k = 0}^{2 n+1 /2} \ frac {(-1)^{k} (2 n+1)! (2 x)^ {2 n+1-2 k}} {k! (2 n+1-2 k)}

χρησιμοποιήστε το x = 0 εδώ

\ άρα H_ {2 n+1} (0) = 0

4. Βρείτε την τιμή του Η '2n(0).

Λύση :

έχουμε τη σχέση υποτροπής

H^{\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

εδώ αντικαταστήστε το n με 2n

H^{\ prime} _ {2 n} (x) = 2 (2 n) H_ {2 n-1} (x)

βάλτε x = 0

H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0

5. Εμφάνιση του παρακάτω αποτελέσματος

\ frac {d^{m}} {dx^{m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = \ frac {2^{n} (n)!} {(nm)! } H_ {nm} \ quad m <n

Λύση :

Χρησιμοποιώντας τη σχέση υποτροπής

H^{\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

so

\ Έναρξη {στοίχιση \ quad \ frac {d} {dx} \ αριστερά \ {H_ {n} (x) \ δεξιά \} & = 2 m H_ {n-1} (x) \\ \ quad \ frac { d^{2}} {dx^{2}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 n \ frac {d} {dx} \ left [H_ {n-1} ( x) \ δεξιά] \\ & = 2 n H^{\ prime} n-1 \ επάνω (x) \\ & = 2 n \ αριστερά [2 (n-1) H_ {n-2} (x) \ δεξιά] \\ & = 2^{2} n (n-1) H_ {n-2} (x) \ τέλος {ευθυγραμμισμένο}

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)

διαφοροποιώντας αυτό m φορές

\ frac {d^{m}} {d^{m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = 2^{m} n (n-1) \ ldots \ ldots (n- m+1) H_ {nm} (x) \\ = \ frac {2^{\ prime m}} {(nm)!} H_ {nw} (x), m <n

που δίνει

\ frac {d^{m}} {dx^{m}} \ left {H_ {n} (x) \ right} = \ frac {2^{n} (n)!} {(nm)!} H_ {nm} \ quad m <n

6. Δείξτε το

H_ {n} (-x) = (-1)^{n} H_ {n} (x)

Λύση :

μπορούμε να γράψουμε

\ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t^{n}} {n!} = e^{2 nt^{2}} = e^{2 \ pi } e^{-t^{2}} = \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ frac {(2 x)^{n} t^{n}} {n!} \ times \ sum_ { n = 0}^{\ infty} \ frac {(-1) t^{2 n}} {n!}

= \ sum_ {n = 0}^{\ infty} \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} (2 x)^{n-2 k}} { k (n-2 k)!}

από το συντελεστή tn έχουμε

H_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k! ( n-2 k)!}

και για -x

\ ξεκίνησε {ευθυγραμμίστηκε} H_ {n} (-x) & = \ sum_ {k = 0}^{\ pi / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(-2 x)^{n -2 k}} {k (n-2 k)!} \\ & = \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} (-1)^{n -2 k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k (n-2 k)!} \\ & = (-1)^{n} \ sum_ {k = 0}^{n / 2} \ frac {(-1)^{k} n! ​​(2 x)^{n-2 k}} {k (n-2 k)!} = (-1)^{n} H_ {n } (x) \ end {ευθυγραμμισμένο}

7. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα και δείξτε

\ int _ {-\ infty}^{\ infty} xe^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {x} \ left [2^{n -1} m \ mid 8_ {m, n-1}+2^{n} (n+1) \ delta_ {n * 1, m} \ right].

Λύση : Για την επίλυση αυτού του ολοκληρωμένου χρησιμοποιήστε μέρη ενσωμάτωσης ως

\ begin {array} {l} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} xe^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ left [- \ frac {1} {2} e^{-x^{2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] _ {-\ infty}^{\ infty} \\ \ quad+\ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \\ = 0+\ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ frac { d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \ text {(ιδιότητα ορθογωνιότητας)} \ end {array}

Τώρα η διαφοροποίηση κάτω από το Ολοκληρωτικό πρόσημο διαφοροποιείται ως προς το x

= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left \ {H_ {n}^{\ prime} (x) H_ {m } (x)+H_ {n} (x) H_ {m}^{\ prime} (x) \ right \} dx

χρησιμοποιώντας

H_ {n}^{\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

H_ {m}^{\ prime} (x) = 2 m H_ {m-1} (x)

έχουμε

\ begin {array} {l} = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ left [2 n H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) +2 m H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) \ δεξιά] dx \\ = n \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e ^{-x^{2}} H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) d x+m \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2} } H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) dx \\ = n \ sqrt {\ pi} 2^{n-1} (n-1)! \ delta_ {m, n-1}+m \ sqrt {\ pi} 2^{n} n! \ delta_ {n, m-1} \ end {array}

και από τότε

\ delta_ {n, m-1} = \ delta_ {n+1, m}

άρα η τιμή του ολοκλήρου θα είναι

= \ sqrt {\ pi} \ left [2^{n-1} n! \ delta_ {m, n-1}+2^{n} (n+1)! \ delta_ {n+1, m} \ δεξιά]

Συμπέρασμα:

Το συγκεκριμένο πολυώνυμο που εμφανίζεται συχνά στην εφαρμογή είναι το πολυώνυμο Ερμίτης, οπότε ο βασικός ορισμός, η συνάρτηση δημιουργίας, οι σχέσεις υποτροπής και τα παραδείγματα που σχετίζονται με το πολυώνυμο Ερμίτη συζητήθηκαν εν συντομία εδώ, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Για περισσότερες δημοσιεύσεις σχετικά με τα μαθηματικά, ακολουθήστε μας Σελίδα μαθηματικών

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks