Ερμίτης πολυώνυμο: 9 Ολοκληρωμένα Γρήγορα Στοιχεία

  Το πολυώνυμο Ερμίτης απαντάται ευρέως σε εφαρμογές ως ορθογώνια συνάρτηση. Το πολυώνυμο ερμίτης είναι η σειρά σειράς διαφορικής εξίσωσης Ερμίτη.

Εξίσωση Ερμίτη

    Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με συγκεκριμένους συντελεστές ως

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

είναι γνωστή ως εξίσωση Ερμίτη, με την επίλυση αυτής της διαφορικής εξίσωσης θα πάρουμε το πολυώνυμο που είναι Ερμίτης Πολυώνυμο.

Ας βρούμε τη λύση της εξίσωσης

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

με τη βοήθεια σειριακής λύσης διαφορικής εξίσωσης

αντικαθιστώντας τώρα όλες αυτές τις τιμές στην εξίσωση του Ερμίτη που έχουμε

Αυτή η εξίσωση ικανοποιεί για την τιμή k = 0 και όπως υποθέσαμε ότι η τιμή του k δεν θα είναι αρνητική, τώρα για τον όρο χαμηλότερου βαθμού x^m-2 πάρτε k = 0 στην πρώτη εξίσωση καθώς η δεύτερη δίνει αρνητική τιμή, άρα ο συντελεστής x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

ως₀ ≠ 0

τώρα με τον ίδιο τρόπο εξισώνοντας τον συντελεστή x^m-1 από το δεύτερο άθροισμα

και εξίσωση των συντελεστών του x^m+k στο μηδέν,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

μπορούμε να το γράψουμε ως

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) α_k

αν m = 0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) α_k

αν m = 1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) α_k

για αυτές τις δύο περιπτώσεις τώρα συζητάμε τις περιπτώσεις για k

Όταν $m=0, α_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} α_k$

Αν, $k=0 a₂ =-2 n/2 a₀=-να₀$

$k=1, α₃=2(1-n)/6 α₁ =-2(n-1)/3 ! ένα₁$

Αν $k=2, α₄ =2(2-n)/12 α₂ =2 (2-n)/12 (-να₀) = 2² n(n-2)/4 ! ένα₀$

μέχρι στιγμής m = 0 έχουμε δύο συνθήκες όταν α₁= 0, τότε α₃=a₅=a₇=…. = Α_2r+1= 0 και όταν α₁ τότε δεν είναι μηδέν

ακολουθώντας αυτό βάλτε τις τιμές του α₀,a₁,a₂,a₃,a₄ και σε έναν ₅ έχουμε

και για m = 1 a₁= 0 βάζοντας k = 0,1,2,3,… .. παίρνουμε

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

οπότε η λύση θα είναι

έτσι είναι η πλήρης λύση

όπου τα Α και Β είναι οι αυθαίρετες σταθερές

Ερμίτης Πολυώνυμο

   Η λύση εξισώσεων του Ερμίτη έχει τη μορφή y (x) = Ay₁(x)+Από₂(x) όπου y₁(x) και y₂(x) είναι οι όροι σειράς όπως συζητήθηκαν παραπάνω,

μία από αυτές τις σειρές τελειώνει αν το n είναι μη αρνητικός ακέραιος αριθμός εάν το n είναι ζυγό y₁ τερματίζεται διαφορετικά y₂ αν το n είναι περιττό, και μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι για n = 0,1,2,3,4 …… .. αυτά τα πολυώνυμα είναι

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

έτσι μπορούμε να πούμε εδώ ότι η λύση της εξίσωσης του Ερμίτη είναι σταθερό πολλαπλάσιο αυτών των πολυωνύμων και οι όροι που περιέχουν την υψηλότερη ισχύ του x είναι της μορφής 2ⁿxⁿ συμβολίζεται με Η_n(x) είναι γνωστό ως Πολυωνυμικός Ερμίτης

Συνάρτηση δημιουργίας πολυωνύμου Ερμίτη

Ερμίτης πολυώνυμο που συνήθως ορίζεται με τη βοήθεια σχέσης χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας

[n/2] είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με n/2, οπότε ακολουθεί την τιμή του H_n(Χ) as

αυτό το δείχνει H_n(Χ) είναι πολυώνυμο βαθμού n σε x και

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 (Χ)

όπου π_n-2 (x) είναι το πολυώνυμο του βαθμού n-2 στο x, και θα είναι άρτια συνάρτηση του x για ζυγή τιμή n και περιττή συνάρτηση x για περιττή τιμή n, οπότε

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(Χ)

μερικά από τα αρχικά πολυώνυμα Ερμίτη είναι

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+ 12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120χ

Συνάρτηση δημιουργίας πολυωνύμου Ερμίτη από τον τύπο Rodrigue

Το πολυώνυμο Ερμίτη μπορεί επίσης να οριστεί με τη βοήθεια του τύπου Rodrigue χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας

αφού η σχέση της συνάρτησης δημιουργίας

  Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Maclaurin, έχουμε

or

βάζοντας z = xt και

για t = 0, άρα z = x δίνει

αυτό μπορούμε να το δείξουμε με άλλο τρόπο ως

διαφοροποιώντας

σε σχέση με το τ δίνει

το όριο t τείνει στο μηδέν

τώρα διαφοροποιείται ως προς το x

το όριο t τείνει στο μηδέν

από αυτές τις δύο εκφράσεις μπορούμε να γράψουμε

με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να γράψουμε

 διαφοροποιώντας n φορές βάλτε t = 0, παίρνουμε

από αυτές τις τιμές μπορούμε να γράψουμε

από αυτά μπορούμε να πάρουμε τις τιμές

Παράδειγμα στο πολυώνυμο Ερμίτη           

1. Βρείτε το συνηθισμένο πολυώνυμο του

Λύση: χρησιμοποιώντας τον πολυώνυμο ερμητικό ορισμό και τις σχέσεις που έχουμε

2. Βρείτε το πολυώνυμο Ερμίτης του συνηθισμένου πολυωνύμου

Λύση: Η δεδομένη εξίσωση μπορούμε να μετατρέψουμε σε Ερμίτη ως

και από αυτήν την εξίσωση εξίσωση του ίδιου συντελεστή ισχύος

άρα το πολυώνυμο Ερμίτης θα είναι

Ορθογώνια πολυωνυμία Ερμίτη | Ορθογώνια ιδιότητα Ερημίτη Πολυωνύμου

Το σημαντικό χαρακτηριστικό για το πολυώνυμο της Ερμίτης είναι η ορθογωνία του που το δηλώνει

Για να αποδείξουμε αυτήν την ορθογωνία, ας το θυμηθούμε

η οποία είναι η συνάρτηση δημιουργίας για το πολυώνυμο Ερμίτη και γνωρίζουμε

οπότε πολλαπλασιάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις θα πάρουμε

πολλαπλασιάζονται και ενσωματώνονται σε άπειρα όρια

και από τότε

so

χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή στην παραπάνω έκφραση που έχουμε

που δίνει

τώρα εξισώστε τους συντελεστές και στις δύο πλευρές

που δείχνει την ορθογώνια ιδιότητα του Ερμιτικού πολυωνύμου.

  Το αποτέλεσμα της ορθογώνιας ιδιότητας του πολυωνύμου Ερμίτη μπορεί να εμφανιστεί με άλλο τρόπο λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση υποτροπής

Παράδειγμα σχετικά με την ορθογωνία του πολυωνύμου Ερμίτη

1. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα

Λύση: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της ορθογωνίας του πολυωνύμου ερμίτη

αφού οι τιμές εδώ είναι m = 3 και n = 2 έτσι

2. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα

Λύση: Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ορθογωνικότητας του πολυωνύμου Ερμίτη μπορούμε να γράψουμε

Σχέσεις υποτροπής του πολυωνύμου Ερμίτη

Η αξία του πολυωνύμου Ερμίτη μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί από τις σχέσεις υποτροπής

Αυτές οι σχέσεις μπορούν εύκολα να ληφθούν με τη βοήθεια ορισμού και ιδιοτήτων.

Αποδείξεις: 1. Γνωρίζουμε την εξίσωση Ερμίτη

y”-2xy'+2ny = 0

και η σχέση

λαμβάνοντας τη διαφοροποίηση ως προς το x εν μέρει μπορούμε να το γράψουμε ως

από αυτές τις δύο εξισώσεις

αντικαταστήστε τώρα το n με n-1

εξισώνοντας τον συντελεστή tⁿ

άρα το απαιτούμενο αποτέλεσμα είναι

2. Με παρόμοιο τρόπο διαφοροποίηση μερικώς ως προς την εξίσωση

παίρνουμε

n = 0 θα εξαφανιστεί έτσι βάζοντας αυτήν την τιμή του e

τώρα εξισώνοντας τους συντελεστές του tⁿ

έτσι

3. Για να αποδείξουμε αυτό το αποτέλεσμα θα εξαλείψουμε το Η_n-1 από

και

έτσι παίρνουμε

έτσι μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα

4. Για να αποδείξουμε αυτό το αποτέλεσμα διαφοροποιούμε

παίρνουμε τη σχέση

υποκαθιστώντας την τιμή

και αντικαθιστώντας το n με n+1

που δίνει

Παραδείγματα σχετικά με τις σχέσεις υποτροπής του πολυωνύμου Ερμίτη

1. Δείξτε το

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Λύση:

Για να δείξουμε το αποτέλεσμα που έχουμε

H2n(x) =

παίρνοντας x = 0 εδώ παίρνουμε

2. Δείξτε το

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Λύση:

Αφού από τη σχέση επανάληψης

H'_n(x) = 2nH_n-1(Χ)

εδώ αντικαταστήστε το n με 2n+1 έτσι

H'_2n-1(x) = 2(2n+1) H_2n(Χ)

παίρνοντας x = 0

3. Βρείτε την τιμή του

H_{2n + 1}(0)

Λύση

Αφού ξέρουμε

χρησιμοποιήστε το x = 0 εδώ

H_2n-1(0) = 0

4. Βρείτε την τιμή του Η '_2n(0).

Λύση :

έχουμε τη σχέση υποτροπής

H'_n(x) = 2nH_n-1(Χ)

εδώ αντικαταστήστε το n με 2n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(Χ)

βάλτε x = 0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Εμφάνιση του παρακάτω αποτελέσματος

Λύση :

Χρησιμοποιώντας τη σχέση υποτροπής

H'_n(x) = 2nH_n-1 (Χ)

so

και

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³η(η-1)(η-2)Η_n-3(Χ)

διαφοροποιώντας αυτό m φορές

που δίνει

6. Δείξτε το

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(Χ)

Λύση :

μπορούμε να γράψουμε

από το συντελεστή tⁿ έχουμε

και για -x

7. Αξιολογήστε το ολοκλήρωμα και δείξτε

Λύση : Για την επίλυση αυτού του ολοκληρωμένου χρησιμοποιήστε μέρη ενσωμάτωσης ως

Τώρα η διαφοροποίηση κάτω από το σύμβολο του Ολοκληρώματος διαφοροποιείται με

σεβασμός στο x

χρησιμοποιώντας

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (Χ)

και

H'_m(χ) = 2 mH_m-1 (Χ)

έχουμε

και από τότε

𝝳 _n,m-1 = 𝝳_{n+1, m}

άρα η τιμή του ολοκλήρου θα είναι

Συμπέρασμα:

Το συγκεκριμένο πολυώνυμο που εμφανίζεται συχνά στην εφαρμογή είναι το πολυώνυμο Ερμίτης, οπότε ο βασικός ορισμός, η συνάρτηση δημιουργίας, οι σχέσεις υποτροπής και τα παραδείγματα που σχετίζονται με το πολυώνυμο Ερμίτη συζητήθηκαν εν συντομία εδώ, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Για περισσότερες δημοσιεύσεις σχετικά με τα μαθηματικά, ακολουθήστε μας Σελίδα μαθηματικών