Τρόπος υπολογισμού στιγμιαίας ταχύτητας, τύπος στιγμιαίας ταχύτητας

Στιγμιαία ταχύτητα μας λέει για την κίνηση ενός σωματιδίου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή οπουδήποτε κατά μήκος της διαδρομής του.

Στιγμιαία ταχύτητα λαμβάνεται ως όριο μέσης ταχύτητας καθώς ο χρόνος τείνει προς το μηδέν. Να υπολογίσω Vinst μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γράφημα μετατόπισης-χρόνου/ Τύπος στιγμιαίας ταχύτητας. δηλαδή, το παράγωγο της μετατόπισης (ων) σε σχέση με τον χρόνο (t) που έχει ληφθεί.                                              

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

Για να γνωρίζουμε πώς να υπολογίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός αντικειμένου, έχουμε βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.

Εξετάστε μια εξίσωση για την ταχύτητα ως προς τη θέση/την μετατόπιση. 

Να υπολογίσω στιγμιαία ταχύτητα, πρέπει να εξετάσουμε ένα εξίσωση που μας λέει ότι είναι θέση 'μικρό' σε ένα ορισμένο ώρα 't'Το Σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να περιέχει τη μεταβλητή »s"από τη μία πλευρά και"t' στην άλλη πλευρά,

s = -2t2 + 10t +5 σε t = 2 δευτερόλεπτα.

Σε αυτήν την εξίσωση, οι μεταβλητές είναι:

Μετατόπιση = s, μετρημένο σε μέτρα.

Χρόνος = t, μετρημένο σε δευτερόλεπτα.

Εξετάστε το παράγωγο της δεδομένης εξίσωσης.

Για να βρείτε το παράγωγο μιας δεδομένης εξίσωσης μετατόπισης, διαφοροποίηση της λειτουργίας ως προς το χρόνο,

ds/dt = -(2) 2τ (2-1) + (1) 10τ1 - 1 + (0) 5τ0

ds/dt = -4τ1 + 10τ0

ds/dt = -4t + 10

Αντικαταστήστε τη δεδομένη τιμή του "t" στην παράγωγη εξίσωση για να βρείτε στιγμιαία ταχύτητα.

Βρείτε το στιγμιαία ταχύτητα στο t = 2, υποκατάστατο "2" για t στην παράγωγο ds/dt = -4t + 10. Στη συνέχεια, μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση,

  ds/dt = -4t + 10

  ds/dt = -4 (2) + 10

 ds/dt = -8 + 10

ds/dt = -2 μέτρα/δευτερόλεπτο

Εδώ, "μέτρα/δευτερόλεπτο" είναι η μονάδα SI στιγμιαίας ταχύτητας.

Πώς να υπολογίσετε το στιγμιαίοταχύτητα από ένα γράφημα

Η στιγμιαία ταχύτητα σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο χρονικό σημείο δίνεται από την κλίση της εφαπτομένης που τραβιέται στο γράφημα θέσης-χρόνου σε εκείνο το σημείο.

  • Σχεδιάστε ένα γράφημα του απόσταση έναντι χρόνου.
  • Σημειώστε ένα σημείο στο οποίο πρέπει να βρείτε στιγμιαία ταχύτητα, ας πούμε A.
  • Προσδιορίστε το σημείο στο γράφημα που αντιστοιχεί στο χρόνο t1 t2.
  • Υπολογίστε το vavg και σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο σημείο A.
  • Στο γράφημα, vinst στο σημείο A βρίσκεται με εφαπτομένη, που σχεδιάζεται σε εκείνο το σημείο
Πώς να υπολογίσετε τη στιγμιαία ταχύτητα
  • Όσο μεγαλύτερη είναι η εφαπτομένη, τόσο πιο ακριβείς θα είναι οι τιμές.
  • Στην εικόνα που εμφανίζεται, μπλε γραμμή είναι το γράφημα θέσης έναντι χρόνου, και το κόκκινη γραμμή είναι μια κατά προσέγγιση κλίση για τη γραμμή σε t = 2.5 δευτερόλεπτα.
  • Εάν συνεχίσουμε να επιλέγουμε σημεία που είναι όλο και πιο κοντά το ένα στο άλλο, η γραμμή θα αρχίσει να πλησιάζει την κλίση της γραμμής εφαπτόμενη σε ένα μόνο σημείο.
  •  Αν πάρουμε το όριο της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, θα πάρουμε την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης σε εκείνο το σημείο.
  • Η απόσταση είναι περίπου 140 μέτρα και το χρονικό διάστημα είναι 4.3 δευτερόλεπτα. Επομένως, η κατά προσέγγιση κλίση είναι 32.55 m/s.

Πώς να υπολογίσετε τη στιγμιαία ταχύτητα από ένα γράφημα θέσης-χρόνου.

Να υπολογίσετε τη στιγμιαία ταχύτητα από ένα γράφημα θέσης-χρόνου.

Σχεδιάστε τη λειτουργία μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο.

  • Χρησιμοποιήστε τον άξονα x και τον άξονα y για να αναπαραστήσετε χρόνο και μετατόπιση.
  • Στη συνέχεια, σχεδιάστε τις τιμές του χρόνου και της μετατόπισης στο γράφημα.

Επιλέξτε δύο σημεία στο γράφημα.

  • Η γραμμή μετατόπισης περιέχει τα σημεία (3,6) και (5,8).
  • Σε αυτό το παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε κλίση στο (3,6), μπορούμε να ορίσουμε Α = (3,6)   B = (5,8)

                                              

Βρείτε την κλίση της γραμμής που συνδέει τα δύο σημεία, δηλαδή μεταξύ Α και Β. 

Βρείτε τη μέση ταχύτητα μεταξύ αυτών των διαστημάτων δύο χρόνων, δηλ.

    \ [κλίση = \ textbf {K} = \ frac {Y_ {B}- Y_ {A}} {X_ {B} -X_ {A}} \]

όπου Κ είναι η κλίση μεταξύ των δύο σημείων.

Εδώ, η κλίση μεταξύ Α και Β είναι:

    \[slope=\textbf{K}=\frac{(8-6)}{(5-3)}=2\]

Επαναλάβετε για να βρείτε κλίση αρκετές φορές, μετακινώντας το Β πιο κοντά στο Α. 

  • Συνεχίστε να επιλέγετε σημεία πιο κοντά το ένα στο άλλο. τότε, θα αρχίσει να πλησιάζει την κλίση της εφαπτομένης γραμμής.
  • Αν λάβουμε υπόψη το όριο της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, θα πάρουμε την τιμή της κλίσης σε εκείνο το σημείο.
  • Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σημεία (4,7.7), (3.5, 6.90) και (3.25, 6.49) για το Β και το αρχικό σημείο (3,6) για το Α.

                                                                                              

  • Στο Β = (4,7.7)                                

    \[slope=\textbf{K}=\frac{(7.7-6)}{(4-3)}=1.7\]

           

  • Στο Β = (3.5, 6.90)

    \[slope=\textbf{K}=\frac{(6.90-6)}{(3.5-3)}=1.8\]

  • Στο Β = (3.25, 6.49)

    \[slope=\textbf{K}=\frac{(6.49-6)}{(3.25-3)}=1.96\]

Υπολογίστε την κλίση για ένα απείρως μικρό διάστημα στην εφαπτομένη γραμμή.

Στο παράδειγμα, καθώς πλησιάζουμε το Β πιο κοντά στο Α, παίρνουμε τιμές 1.7, 1.8 και 1.96 για KΤο Δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί είναι περίπου ίσοι με 2, μπορούμε να το πούμε αυτό 2 είναι η κλίση του Α.

Εδώ, η στιγμιαία ταχύτητα είναι 2m/s.

Τύπος στιγμιαίας ταχύτητας

Με μαθηματικούς όρους, μπορούμε να γράψουμε το τύπος στιγμιαίας ταχύτητας όπως και,

    \ [Στιγμιαία {\ enskip} velocity = \ frac {Αλλαγή {\ enskip} στη {\ enskip} θέση} {{ρα {\ enskip} διάστημα} \]

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

Εδώ, ds/dt είναι το παράγωγο της μετατόπισης (ων) σε σχέση με το χρόνο (t).

Τα παραπάνω το παράγωγο έχει πεπερασμένη αξία όταν και ο παρονομαστής και ο αριθμητής τείνουν στο μηδέν.

Λογαριασμός φόρμουλας στιγμιαίας ταχύτητας

Με τη χρήση λογισμού, είναι πάντα δυνατό να υπολογιστεί η ταχύτητα ενός αντικειμένου ανά πάσα στιγμή κατά μήκος της διαδρομής του. Ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα και δίνεται από την εξίσωση v = ds/dt.

Στιγμιαία ταχύτητα = όριο καθώς η αλλαγή του χρόνου πλησιάζει στο μηδέν (αλλαγή θέσης/αλλαγή χρόνου) = παράγωγο μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

    \ [V_ {inst} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {ds} {dt} \]

    \ [\ vec {V} = στιγμιαία {\ enskip} ταχύτητα \]

    \ [\ Delta {\ vec {S}} = διάνυσμα {\ enskip} αλλαγή {\ enskip} στη θέση {\ enskip} (m) \]

    \ [\ Delta {t} = αλλαγή {\ enskip} σε {\ enskip} χρόνο (ες) \]

    \ [\ frac {ds} {dt} = παράγωγο {\ enskip} της {\ enskip} θέσης {\ enskip} διάνυσμα {\ enskip} με {\ enskip} σεβασμό {\ enskip} στο {\ enskip} χρόνο (m/ μικρό)\]

    \ [s = μετατόπιση \]

    \ [t = χρόνος \]

Μέσος τύπος ταχύτητας και στιγμιαίας ταχύτητας

 Τύπος Σύμβολο     Ορισμός
 Μέση ταχύτηταsf = Τελικός εκτόπισμα

si = Αρχική μετατόπιση

tf = Τελικός χρόνος


ti = Αρχική ώρα
Μέση ταχύτητα is Συνολική απόσταση
διαιρούμενο με τον συνολικό χρόνο που χρειάστηκε.
Στιγμιαία ταχύτηταΤαχύτητα σε οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου.

Τύπος στιγμιαίας γωνιακής ταχύτητας

Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα είναι ο ρυθμός με τον οποίο ένα σωματίδιο κινείται σε μια κυκλική διαδρομή σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου δίνεται από

    \ [\ omega_ {av} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta t} = \ frac {d \ theta} {dt} \]

dθ/dt  = παράγωγο της γωνιακής θέσης θ σε σχέση με το χρόνο, βρέθηκε λαμβάνοντας το όριο Δ t → 0 στο μέση γωνιακή ταχύτητα.

    \ [\ omega_ {av} = \ frac {\ theta_ {2}- \ theta_ {1}} {t_ {2} -t_ {1}} = \ frac {\ Delta {\ theta}} {\ Delta t} \]

Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας σε μια κυκλική διαδρομή είναι κατά μήκος του άξονα περιστροφής και δείχνει μακριά σας για ένα σώμα που περιστρέφεται δεξιόστροφος και προς το μέρος σας για ένα σώμα που περιστρέφεται αριστερόστροφοςΕ Στα μαθηματικά, αυτό περιγράφεται γενικά από το κανόνας δεξιού χεριού.

Τύπος στιγμιαίας ταχύτητας και ταχύτητας

Ο τύπος της στιγμιαίας ταχύτητας

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

Ο τύπος της στιγμιαίας ταχύτητας

    \ [speed_ {inst} = \ frac {ds} {dt} \]


Διαφορά μεταξύ στιγμιαίας ταχύτητας και στιγμιαίας ταχύτητας.

       Στιγμιαία ταχύτητα        Στιγμιαία ταχύτητα         
 Είναι η ταχύτητα ενός σωματιδίου σε κίνηση σε μια συγκεκριμένη στιγμή του t.Είναι το μέτρο της ταχύτητας ενός σωματιδίου σε μια συγκεκριμένη στιγμή του t.
Η στιγμιαία ταχύτητα μετρά πόσο γρήγορα και σε ποια κατεύθυνση κινείται ένα αντικείμενο.Στιγμιαία ταχύτητα μετρά πόσο γρήγορα κινείται ένα σωματίδιο σε κίνηση.  
                       Διανυσματική ποσότητα                           Κλιμακωτή ποσότητα       

Ορισμός και τύπος στιγμιαίας ταχύτητας

Ορισμός στιγμιαίας ταχύτητας

Στιγμιαία ταχύτητα περιγράφεται ως η ταχύτητα ενός αντικειμένου σε κίνηση. Μπορούμε να το βρούμε χρησιμοποιώντας τη μέση ταχύτητα, αλλά πρέπει να περιορίσουμε το χρόνο για να πλησιάσουμε το μηδέν.

Συνολικά, μπορούμε να το πούμε η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα ενός σωματιδίου σε κίνηση σε μια συγκεκριμένη στιγμή.

Τύπος στιγμιαίας ταχύτητας

Για οποιαδήποτε εξίσωση κίνησης s(t), Για στιγμιαία ταχύτητα καθώς το t πλησιάζει στο μηδέν, μπορούμε να γράψουμε το τύπος όπως και,

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

Στιγμιαία ταχύτητα τύπος ορίου

Η στιγμιαία ταχύτητα οποιουδήποτε αντικειμένου είναι το όριο της μέσης ταχύτητας καθώς ο χρόνος πλησιάζει στο μηδέν.

    \ [Στιγμιαία {\ enskip} velocity = v = \ frac {\ Delta s (t)} {\ Delta t} \]

    \ [Στιγμιαία {\ enskip} velocity = \ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} \]

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {s (t_ {2})- s (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}} \]

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {s (t + \ Delta t)- s (t)} {(t+{\ Delta t})-t} \]

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {s (t + \ Delta t)- s (t)} {\ Delta t} \]

Εισαγάγετε τις τιμές του t1= t και t2 = t + Δt στην εξίσωση για τη μέση ταχύτητα και πάρουμε το όριο ως Δt → 0, βρίσκουμε τον τύπο του στιγμιαίου ορίου ταχύτητας

                                            

Πώς βρίσκετε στιγμιαία ταχύτητα σε ένα γράφημα

Η στιγμιαία ταχύτητα ισούται με την κλίση της εφαπτομένης γραμμής του γραφήματος θέσης-χρόνου.

Instantaneous Ερμηνεία ταχύτητας από st γράφημα

  • Η στιγμιαία ταχύτητα ισούται με την κλίση της εφαπτομένης γραμμής του γραφήματος θέσης-χρόνου.
  • Ερμηνεία στιγμιαίας ταχύτητας από το γράφημα

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

  • Η κλίση της μοβ γραμμής (εφαπτομένη) στο γράφημα χρόνου μετατόπισης v/s δίνει στιγμιαία ταχύτητα.
  • Εάν η μοβ γραμμή κάνει γωνία  με τον θετικό άξονα x.

Vinst = κλίση της μοβ γραμμής = tanθ

Πώς βρίσκετε στιγμιαία ταχύτητα από τη μέση ταχύτητα

Για να βρείτε το στιγμιαία ταχύτητα σε ένα σημείο, πρέπει πρώτα να βρούμε τη μέση ταχύτητα σε εκείνο το σημείο.

Μπορείτε να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα στο t = a by υπολογίζοντας τη μέση ταχύτητα της γραφικής θέσης έναντι του χρόνου γράφοντας τα μικρότερα και μεγαλύτερα βήματα ενός σημείου στο οποίο θέλετε να προσδιορίσετε Vinst.

Παράδειγμα στιγμιαίας ταχύτητας

Ενώ οδηγούσε το ποδήλατό του, ένας ποδηλάτης αλλάζει την ταχύτητά του ανάλογα με την απόσταση και το χρόνο που διανύει.

                       

Ποδηλάτες που κάνουν ποδήλατο, Image Credit: Image by pxfuel.com

Αν θέλουμε να βρούμε την ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε στιγμιαία ταχύτητα. 

Ας δούμε ένα παράδειγμα,

 ένα). Μάθετε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός σωματιδίου που ταξιδεύει σε ευθεία διαδρομή για t = 2 δευτερόλεπτα, με τη συνάρτηση θέσης «s» να ορίζεται ως 4t² + 2t + 3;

Λύση:

Δεδομένου   s = 4t² + 2t + 3

Διαφοροποιούμε τη δεδομένη συνάρτηση ως προς το χρόνο, υπολογίζουμε τη Στιγμιαία Ταχύτητα ως εξής:

Υποκατάστατη τιμή t = 2, παίρνουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ως,

    \ [v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} \]

Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση s,

    \ [v_ {inst} = \ frac {d (4t^2 +2t +3)} {dt}} \]

    \ [v_ {inst} = 8t+2 \]

    \ [v_ {inst} = (8 * 2) +2 \]

    \ [v_ {inst} = 18 ms ^{-1} \]

Έτσι, η στιγμιαία ταχύτητα για την παραπάνω συνάρτηση είναι 18 m/s.

Πρόβλημα στιγμιαίας ταχύτητας

Ορισμένα προβλήματα στιγμιαίας ταχύτητας,

Πρόβλημα 1:

Η κίνηση του φορτηγού δίνεται από τη συνάρτηση s = 3t2 + 10t + 5. Υπολογίστε τη Στιγμιαία Ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t = 4s.

Λύση:

Η δεδομένη συνάρτηση είναι s = 3t+ 10t + 5.

Διαφοροποιούμε την παραπάνω συνάρτηση ως προς το χρόνο, παίρνουμε

    \ [{v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d (3t^2 +10t +5)} {dt}} \]

Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση s,

[v_ {inst} = v (t) = 6t+10]

Υποκατάστατη τιμή t = 4s, παίρνουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ως,

    \ [v (4) = 6 (4) +10 \]

    \ [v (4) = 34 ms ^{-1} \]

Για τη δεδομένη συνάρτηση, η Στιγμιαία Ταχύτητα είναι 34m/s

Πρόβλημα 2:

Μια σφαίρα που εκτοξεύεται ταξιδεύει σε ευθεία διαδρομή και η εξίσωση κίνησης είναι S (t) = 3t + 5t2Ε Έτσι, για παράδειγμα, εάν ταξιδεύει για 12 δευτερόλεπτα πριν από την πρόσκρουση, βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα στα t = 7s.

Λύση: Γνωρίζουμε την εξίσωση κίνησης:

    \ [s (t) = 3t + 5t^2 \]

    \ [v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d (3t +5t^2)} {dt} = 3 +10t} \]

    \ [v_ {inst} {\ enskip} στο (t = 7) = 3 + (10 * 7) \]

    \ [v_ {inst} = 73 m/s. \]

Πρόβλημα 3:

Ένα αντικείμενο απελευθερώνεται από ένα ορισμένο ύψος για να πέσει ελεύθερα υπό την επίδραση της βαρύτητας. Η εξίσωση κίνησης για μετατόπιση είναι s (t) = 5.1 t2Το Ποια θα είναι η στιγμιαία ταχύτητα ενός αντικειμένου σε t = 6s μετά την απελευθέρωση;

Πιστωτική εικόνα: Εικόνα από pxhere.com  

Λύση:

Η εξίσωση κίνησης είναι

s (t) = 5.1 t2

Στιγμιαία ταχύτητα σε t = 6s

    \ [v_ {inst} = [\ frac {ds} {dt}] _ {t = 6} = [\ frac {d (3t +5t^2)} {dt}] _ {t = 6} = 3 + 10t} \]

    \ [v_ {inst} = [5.1 * 2 * t] _ {t = 6} \]

    \ [v_ {inst} = [5.1 * 2 * 6] \]

    \ [v_ {inst} = 61.2 ms ^{-1} \]

Πρόβλημα 4:

Βρείτε την ταχύτητα στο t = 2, δεδομένου του η εξίσωση μετατόπισης είναι s = 3t3 - 3τ2 + 2t + 7. 

Λύση:

Είναι ακριβώς όπως τα προηγούμενα προβλήματα, εκτός από το ότι έδωσαν μια κυβική εξίσωση αντί για τετραγωνική εξίσωση για να την λύσουν με τον ίδιο τρόπο.

Η εξίσωση κίνησης είναι

s (t) = 3t3 - 3τ2 + 2t + 7. 

    \ [v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d (3t^3+3t^2+2t+7)} {dt} = (3 * 3t^2) - (2 * 3t ) + 2} \]

    \ [v_ {inst} = [9t^2-6t+2] \]

Στιγμιαία ταχύτητα σε t = 7s

    \ [v_ {inst} = 9 (7)^{2} - 6 (7) +2 \]

    \ [v_ {inst} = 441 - 42 +2 \]

    \ [v_ {inst} = 401 {\ enskip} μέτρα/δευτερόλεπτο \]

 Πρόβλημα 5:

Η θέση ενός ατόμου που κινείται κατά μήκος ευθείας δίνεται με s (t) = 7t2+ 3t + 19, όπου t είναι χρόνος (δευτερόλεπτα). Βρείτε την εξίσωση για τη στιγμιαία ταχύτητα v (t) του σωματιδίου τη στιγμή t.

Λύση:

Δίνεται: s (t) = 7t2+ 3t + 19

    \ [v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d (7t^2 +3t +19)} {dt} \]

    \ [v_ {inst} = 14t+ 3 \]

vinst = v (t) = (14t + 3) m/s είναι εξίσωση για στιγμιαία ταχύτητα.

Ας υποθέσουμε ότι αν υποθέσουμε t = 3s, τότε

    \ [v_ {inst} = v (t) = [14 (3) + 3)] = 45 m/s \]

Πρόβλημα 6:

Η κίνηση ενός αυτοκινήτου περιγράφεται από την εξίσωση της κίνησης s = gt2 + b, όπου b = 20 m και g = 12 m Επομένως, βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα στα t = 4s.

Λύση:

s (t) = gt2 + β

v (t) = 2gt + 0

v (t) = 2gt

Εδώ, g = 12 και t = 4s,

v (4) = [2 x 12 x 4] = 96 m/s

v (t) = 96 m / s.

Πρόβλημα 7:

Ένα τραπέζι που πέφτει από ένα κτίριο 1145 πόδια, έχει ύψος (σε πόδια) πάνω από το έδαφος δίνεται με s (t) = 1145 -12 t2Ε Στη συνέχεια, υπολογίστε τη στιγμιαία ταχύτητα του πίνακα σε 3s;

Λύση:

    \ [V_ {inst} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta {s}} {\ Delta t} = \ frac {s (t_ {2})- s (t_ {1}) } {t_ {2} -t_ {1}} \]

    \ [V_ {inst} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta {s}} {\ Delta t} = \ frac {s (t + \ Delta t)- s (t)} { (t+{\ Delta t})-t} \]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac {[1145-12 ((t + \ Delta t)^{2}]-[1145-12 (t)^{2}]} { \ Δέλτα t} \]

    \ [εξετάστε {\ enskip} \ Delta {t} = a {\ enskip} και {\ enskip} t = 3s \]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac {[1145-12 (3 + a)^{2}]-[1145-12 (3)^{2}]} {a} \ ]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac {[1145-12 (3 ^{2} + a ^{2} + 6a]-[1145-12 (9)]} {a} \]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac {[1145 - 108 - 12a ^{2} - 72a] -1145 + 108]} {a} \]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac { - 12a ^{2} - 72a} {a} \]

    \ [V_ {inst} = \ lim_ {a \ rightarrow 0} \ frac { - 12a - 72} {1} \]

    \ [V_ {inst} = -72 m/s \]

Η στιγμιαία ταχύτητα στα t = 3s είναι -72m/s.

                                                                              

Πρόβλημα 8:

Μια συνάρτηση θέσης σωματιδίων δίνεται από s = (3t2)i - (4τ)k + 2. ποια είναι η στιγμιαία ταχύτητά του στο t = 2; Ποια είναι η στιγμιαία επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με το χρόνο;

Λύση:

s (t) = (3τ2)i - (4τ)k +2

v (t) = (6t)i - 4k………… .. (Εξ. 1)

v (2) = (6 * 2)i - 4k 

v (2) = 12i - 4k m / s

Για τον υπολογισμό της στιγμιαίας επιτάχυνσης ως συνάρτηση του χρόνου

a (t) = v1(T)

διαφοροποιούμε Ισο.1 wrto t, παίρνουμε

α (t) = 6i m / s

Πρόβλημα 9:

Η θέση ενός εντόμου δίνεται με s = 44 + 20t - 3t3, όπου το t είναι σε δευτερόλεπτα και το s είναι σε μέτρα.

ένα. Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του αντικειμένου μεταξύ t = 0 και t = 4 s.

σι. Σε ποια χρονική στιγμή μεταξύ 0 και 4 είναι η στιγμιαία ταχύτητα μηδέν.

λύση:

Για τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας

    \ [\ vec {V_ {avg}} = \ frac {d \ vec {s}} {dt} = \ frac {s_ {f}- s_ {i}} {t_ {f} -t_ {i}} = \ frac {s (4)- s (0)} {4-0} \]

    \ [\ vec {v_ {avg}} = \ frac {[44 + 20 (4) - 3 (4)^{3}] - 44]} {4} \]

    \ [\ vec {v_ {avg}} = -28 m/s \]

Να βρεθεί ο χρόνος στον οποίο η στιγμιαία ταχύτητα είναι μηδενική.

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ frac {d \ vec {s}} {dt} = 20-9 t^{2} \]

    \ [20-9 t^{2} = 0 \]

    \ [t = \ sqrt {20} {9} \]

    \ [t = 1.49 s \]

Πρόβλημα 10:

Ένα σωματίδιο βρίσκεται σε κίνηση με συνάρτηση μετατόπισης s = t2 + 3.

Βρείτε τη θέση στο t = 2.

Να βρείτε μέση ταχύτητα από t = 2 έως t = 3.

Να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητά του στο t = 2.

Λύση:

Για να βρείτε τη θέση στο t = 2

s (t) = t2 + 3

s (2) = (2)2 + 3

s (2) = 7

Για να βρείτε το μέση ταχύτητα.

    \ [\ vec {V_ {avg}} = \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} \]

    \ [\ vec {V_ {avg}} = \ frac {s_ {f}- s_ {i}} {t_ {f} -t_ {i}} = \ frac {s (12)- s (7)} { 3-2} = 5 m/s \]

Να βρούμε στιγμιαία ταχύτητα

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ frac {d \ vec {s}} {dt} \]

    \ [\ vec {V_ {inst}} = 2t \]

         Σε t = 2s

    \ [\ vec {V_ {inst}} = 2 (2) = 4 m/s \]

Στιγμιαία ταχύτητα έναντι μέσης ταχύτητας

         Στιγμιαία ταχύτητα                   Μέση ταχύτητα
Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η μέση ταχύτητα μεταξύ δύο σημείων. Μέση ταχύτητα είναι η αναλογία μεταβολής της απόστασηςnce σε σχέση με το χρόνο σε μια περίοδο.  
Στιγμιαία ταχύτητα αφηγείται την κίνηση μεταξύ δύο σημείων στη διαδρομή που ακολουθήθηκε.Μέση ταχύτητα δεν δίνει πληροφορίες σχετικά με την κίνηση μεταξύ των σημείων. Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθεία/καμπύλη και η κίνηση μπορεί να είναι σταθερή/μεταβλητή.
Στιγμιαία ταχύτητα είναι ίση με κλίση της εφαπτομένης του μετατόπιση (ες) έναντι του γραφήματος χρόνου.  Ισούται με την κλίση του η δευτερεύουσα γραμμή of το st γράφημα.
                       διάνυσμα                                διάνυσμα

Πώς να βρείτε στιγμιαία ταχύτητα χωρίς λογισμό

Wμπορώ βρείτε στιγμιαία ταχύτητα κατά προσέγγιση στο γράφημα μετατόπισης έναντι χρόνου χωρίς λογισμό σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Πρέπει να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη σε ένα σημείο κατά μήκος της καμπύλης γραμμής και να εκτιμήσουμε την κλίση όπου πρέπει να βρούμε στιγμιαία ταχύτητα.

Πώς υπολογίζω τη στιγμιαία ταχύτητα και τη στιγμιαία επιτάχυνση

          Στιγμιαία ταχύτητα Στιγμιαία επιτάχυνση
 Από τον τύπο  Για τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, λάβετε το όριο αλλαγής απόστασης σε σχέση με το χρόνο που λαμβάνεται καθώς ο χρόνος πλησιάζει στο μηδέν. δηλαδή, παίρνοντας το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης μετατόπισης.            
          
       
Προς την υπολογίστε τη στιγμιαία επιτάχυνση, λάβετε το όριο μεταβολής της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο καθώς η μεταβολή του χρόνου πλησιάζει στο μηδέν. δηλαδή, με τη λήψη το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης μετατόπισης.       
 
 Από γράφημα      Ισο με κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης.     Ισο με κλίση της εφαπτομένης του γραφήματος vt.  

11 πρόβλημα:

Μια σφαίρα που εκτοξεύεται στο διάστημα ταξιδεύει σε ευθεία διαδρομή και η εξίσωση κίνησης είναι s (t) = 2t +   4t2Ε Εάν ταξιδεύει για 12 δευτερόλεπτα πριν από την πρόσκρουση, βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα και τη στιγμιαία επιτάχυνση στα t = 3s.

Λύση: Γνωρίζουμε την εξίσωση κίνησης: s (t) = 2t + 4t2

    \ [v_ {inst} = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d (2t+ 4t^{2})} {dt} = 2+ 8t \]

    \ [v_ {inst} {\ enskip} στο {\ enskip} v (t = 7) = 2 + (8 * 3) \]

    \ [v_ {inst} = 26m/s \]

    \ [a (t) = \ frac {dv} {dt} = \ frac {d (2+8t)} {dt} = 8 \]

    \ [a (t) = 8 m/s \]

Πώς να βρείτε στιγμιαία ταχύτητα και ταχύτητα

Η στιγμιαία ταχύτητα δίνεται ως το μέγεθος της στιγμιαίας ταχύτητας.

Εάν η μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου είναι γνωστή, μπορούμε να ανακαλύψουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ανά πάσα στιγμή.

Ας το καταλάβουμε με ένα παράδειγμα.

12 πρόβλημα:

Η εξίσωση κίνησης είναι s (t) = 3t3 

    \ [Στιγμιαία {\ enskip} ταχύτητα = \ frac {ds} {dt} \]

    \ [s_ {inst} = \ frac {d (3t^{3})} {dt} = 9t^{2} \]

Εξετάστε t = 2s

    \ [s_ {inst} = 9 (2)^{2} = 36m/s \]

Γιατί είναι δυνατός ο υπολογισμός της στιγμιαίας ταχύτητας χρησιμοποιώντας κινηματικούς τύπους μόνο όταν η επιτάχυνση είναι σταθερή

Οι κινηματικές εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο όταν η επιτάχυνση του αντικειμένου είναι σταθερή.

Στην περίπτωση των μεταβλητές επιταχύνσεις, Οι εξισώσεις κινηματικής θα είναι διαφορετικές ανάλογα με τη συνάρτηση που παίρνει η επιτάχυνση. ΕΚΕΙΝΗ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ; θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ολοκληρωμένη προσέγγιση για τον υπολογισμό στιγμιαία ταχύτηταΤο Που θα είναι λίγο περίπλοκο.

Γιατί παίρνουμε μικρά χρονικά διαστήματα κατά τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας. Πώς δίνει ταχύτητα εκείνη τη στιγμή αν την υπολογίζουμε σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα

Η στιγμιαία ταχύτητα δίνεται από

    \ [\ vec {V_ {inst}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} \ frac {\ Delta \ vec {s}} {\ Delta t} = \ frac {d \ vec {s}} {dt } \]

Όσο μικρότερη είναι η τιμή του "t», Το πιο στενό θα είναι το κλίση της εφαπτομένης γραμμής, δηλαδή, στιγμιαία ταχύτητα.

Όταν θέλετε υπολογίστε την ταχύτητα σε μια συγκεκριμένη στιγμή, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε το μέσες ταχύτητες παίρνοντας μικρά χρονικά διαστήματα. Εάν αυτές οι μέσες ταχύτητες δίνουν την ίδια τιμή, τότε θα είναι η απαιτούμενη στιγμιαία ταχύτητα.

Διαφέρει η ταχύτητα και η στιγμιαία ταχύτητα

Η στιγμιαία ταχύτητα διαφέρει από την ταχύτητα.

Ταχύτητα είναι γενικά γνωστός ως ο ρυθμός αλλαγής θέσης με το χρόνο. Αντίθετα, στο στιγμιαία ταχύτητα, το χρονικό διάστημα περιορίζεται ώστε να πλησιάζει το μηδέν για να δώσει ταχύτητα σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Για παράδειγμα,

Ένα σωματίδιο η κίνηση σε κύκλο έχει μηδενικές μετατοπίσεις, και απαιτείται να γνωρίζουμε την ταχύτητα ενός σωματιδίου. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να υπολογίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα επειδή έχει α εφαπτομενική ταχύτητα σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή.

Τι είναι η στιγμιαία ταχύτητα με παραδείγματα πραγματικής ζωής

Παραδείγματα πραγματικής ζωής στιγμιαίας ταχύτητας

Αν λάβουμε υπόψη ένα παράδειγμα μπάλας σκουός, η μπάλα επιστρέφει στο αρχικό της σημείο. εκείνη τη στιγμή, η συνολική μετατόπιση και η μέση ταχύτητα θα είναι μηδενική. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η κίνηση υπολογίζεται από στιγμιαία ταχύτητα.

Παιχνίδι σκουός με μπάλα, παράδειγμα στιγμιαίας ταχύτητας Image Credit: Image by pixabay.com

                          

  • Το ταχύμετρο ενός οχήματος παρέχει πληροφορίες σχετικά με η στιγμιαία ταχύτητα/ταχύτητα του Ενα όχημα. Δείχνει ταχύτητα σε μια συγκεκριμένη στιγμή.

                        

Ταχύμετρο, Image Credit: Image by pxfuel.com
  • Σε έναν αγώνα, οι φωτογράφοι τραβούν στιγμιότυπα από τους δρομείς, η μέση ταχύτητά τους δεν αλλάζει, αλλά η στιγμιαία ταχύτητά τους, όπως αποτυπώνεται στα "στιγμιότυπα", αλλάζει. Έτσι θα είναι ένα παράδειγμα στιγμιαίας ταχύτητας.
Πιστωτική εικόνα: Εικόνα από κοινά Wikimedia.org, CC κατά 2.0 Generic 
  • Εάν βρίσκεστε κοντά σε ένα κατάστημα και ένα όχημα σταυρωμένο μπροστά σας στο "t«Δεύτερον, και αρχίζεις να σκέφτεσαι την ταχύτητά του συγκεκριμένα ώρα, εδώ θα αναφερόσασταν στο στιγμιαία ταχύτητα του οχήματος.

                      

Συχνές ερωτήσεις | Συχνές ερωτήσεις

Είναι η στιγμιαία ταχύτητα διάνυσμα

Η στιγμιαία ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος.

Η στιγμιαία ταχύτητα είναι ένα διάνυσμα επειδή έχει τόσο μέγεθος όσο και κατεύθυνση. Δείχνει τόσο την ταχύτητα (αναφέρεται στο μέγεθος) όσο και την κατεύθυνση ενός σωματιδίουle. Έχει διάσταση LT-1.Μπορούμε να το προσδιορίσουμε λαμβάνοντας την κλίση του γραφήματος απόστασης-χρόνου.

Πώς βρίσκετε στιγμιαία ταχύτητα μόνο με γράφημα θέσης έναντι χρόνου και χωρίς να δίνεται εξίσωση

Μπορούμε να καθορίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα λαμβάνοντας την κλίση του γραφήματος θέσης-χρόνου.

  • Σχεδιάστε ένα γράφημα μετατόπισης με την πάροδο του χρόνου.
  • Επιλέξτε το σημείο Α και ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται κοντά στο Α στη γραμμή.
  • Βρείτε την κλίση μεταξύ Α και Β, υπολογίστε πολλές φορές, μετακινώντας το Α πιο κοντά στο Β.
  • Υπολογίστε την κλίση για ένα απείρως μικρό διάστημα στη γραμμή.
  • Η κλίση που λαμβάνεται είναι στιγμιαία ταχύτητα.

Είναι δυνατόν να αλλάξει στιγμιαία η ταχύτητα

Δεν είναι δυνατόν να επιφέρει στιγμιαία μεταβολή της ταχύτητας αφού θα απαιτούσε άπειρη επιτάχυνση.

Γενικά, η επιτάχυνση είναι το αποτέλεσμα του F = ma

    \ [a = \ frac {F} {m} = (Δύναμη {\ enskip} πάνω από {\ enskip} μίας {\ enskip} μάζας) \]

και η ταχύτητα είναι το αποτέλεσμα της επιτάχυνσης (από ολοκλήρωση). Εάν μια αλλαγή στην ταχύτητα είναι συνάρτηση βημάτων και καθώς ο χρόνος πλησιάζει στο μηδέν, θα απαιτούσε άπειρη επιτάχυνση και δύναμη για να αλλάξει η ταχύτητα της μάζας ακαριαία.

Πώς μπορώ να υπολογίσω τη μετατόπιση όταν η επιτάχυνση είναι συνάρτηση της στιγμιαίας ταχύτητας Η αρχική ταχύτητα δίνεται

Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μετατόπιση με δύο τρόπους, όταν δίνεται η αρχική ταχύτητα

Από την παραγωγή

Εδώ η επιτάχυνση είναι συνάρτηση της στιγμιαίας ταχύτητας,

    \ [a = \ frac {dv} {dt} \]

Αρχική ταχύτητα

    \ [v = \ frac {ds} {dt} \]

    \ [a = \ frac {d (ds)} {dt^{2}} \]

    \ [d (ds) = a dt^{2} \]

Με την ενσωμάτωση,

    \ [ds = \ int {a dt^{2} \]

Χρησιμοποιώντας αυτήν τη φόρμα, μπορείτε να λάβετε ds μετατόπισης.

Από τον τύπο

Χρησιμοποιώντας την παρακάτω κινηματική εξίσωση, μπορούμε να βρούμε μετατόπιση,

    \ [S = ut + \ frac {1} {2} at^{2} \]

                                                     

Τι είναι μέσος όρος και στιγμιαία ταχύτητα

Η μέση ταχύτητα και η στιγμιαία ταχύτητα εκφράζονται ως εξής,

Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα
The average velocity for a particular time interval is total displacement divided by total time. Τόσο το χρονικό διάστημα όσο και η μετατόπιση πλησιάζουν το μηδέν κάποια στιγμή. Αλλά το όριο του παραγώγου της μετατόπισης στο συνολικό χρονικό διάστημα είναι μη μηδενικό, που ονομάζεται στιγμιαία ταχύτητα.
Μέση ταχύτητα είναι η ταχύτητα όλης της διαδρομής σε κίνησηενώ η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα ενός σωματιδίου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή
vavg = s/t vinst = ds/dt

Είναι η στιγμιαία επιτάχυνση κάθετη στη στιγμιαία ταχύτητα

Η στιγμιαία επιτάχυνση του σώματος είναι πάντα κάθετη στη στιγμιαία ταχύτητα.

Σε κυκλική κίνηση, η στιγμιαία επιτάχυνση του σώματος είναι πάντα κάθετη στην στιγμιαία ταχύτητα και αυτή η επιτάχυνση ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση. Η ταχύτητα παραμένει αμετάβλητη. αλλάζει μόνο η κατεύθυνση καθώς η κάθετη επιτάχυνση αλλάζει την τροχιά του σώματος.

Σχετικά με την Raghavi Acharya

Είμαι ο Raghavi Acharya, έχω ολοκληρώσει το μεταπτυχιακό μου στη φυσική με ειδίκευση στον τομέα της φυσικής της συμπυκνωμένης ύλης. Έχοντας πολύ καλή κατανόηση σε Latex, gnu-plot και οκτάβα. Πάντα θεωρούσα τη Φυσική ως μια γοητευτική περιοχή σπουδών και μου αρέσει να εξερευνώ τα διάφορα πεδία αυτού του θέματος. Στον ελεύθερο χρόνο μου ασχολούμαι με την ψηφιακή τέχνη. Τα άρθρα μου στοχεύουν στην παράδοση των εννοιών της φυσικής με έναν πολύ απλοποιημένο τρόπο στους αναγνώστες.
Ας συνδεθούμε μέσω -
LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/raghavi-cs-260a801b1
EMAIL ID: raghavics6@gmail.com

Lambda Geeks