Αντίστροφη κατανομή γάμμα και λειτουργία δημιουργίας ροπής της κατανομής γάμμα
Σε συνέχεια της κατανομής γάμμα θα δούμε την έννοια της αντίστροφης κατανομής γάμμα και τη λειτουργία δημιουργίας ροπής, τη μέτρηση των μέσων κεντρικών τάσεων, τη λειτουργία και τη μέση κατανομή γάμμα ακολουθώντας μερικές από τις βασικές ιδιότητες της κατανομής γάμμα.
ιδιότητες διανομής γάμμα
Μερικά από τα σημαντικές ιδιότητες της κατανομής γάμμα κατατάσσονται ως εξής
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την κατανομή γάμμα είναι
or
όπου είναι η λειτουργία γάμμα
2. Η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για την κατανομή γάμμα είναι
όπου f (x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας όπως δίνεται παραπάνω, συγκεκριμένα είναι το cdf
- Η καλύτερη μέσος όρος και διακύμανση της κατανομής γάμμα is
και
αντίστοιχα ή
E [X] = α * β
και
- Η συνάρτηση δημιουργίας ροής M (t) για την κατανομή γάμμα είναι
or
- Η καμπύλη για το pdf και το cdf είναι
- Η αντίστροφη κατανομή γάμμα μπορεί να οριστεί λαμβάνοντας αμοιβαία τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής γάμμα ως
- Το άθροισμα της ανεξάρτητης κατανομής γάμμα είναι και πάλι η κατανομή γάμμα με το άθροισμα των παραμέτρων.
αντίστροφη κατανομή γάμμα | κανονική αντίστροφη κατανομή γάμμα
Εάν στην κατανομή γάμμα στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
or
παίρνουμε τη μεταβλητή αμοιβαία ή αντίστροφη τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα είναι
Έτσι, η τυχαία μεταβλητή με αυτή τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι γνωστό ότι είναι η αντίστροφη τυχαία μεταβλητή γάμμα ή αντίστροφη κατανομή γάμμα ή ανεστραμμένη κατανομή γάμμα.
Η παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε οποιαδήποτε παράμετρο μπορούμε να πάρουμε είτε με τη μορφή λάμδα είτε θήτα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που είναι η αμοιβαία κατανομή γάμμα είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης κατανομής γάμμα.
Λειτουργία αθροιστικής κατανομής ή cdf της αντίστροφης κατανομής γάμμα
Η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για την αντίστροφη κατανομή γάμμα είναι η συνάρτηση διανομής
όπου το f (x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης κατανομής γάμμα ως
Μέσος όρος και διακύμανση της αντίστροφης κατανομής γάμμα
Η μέση και διακύμανση της αντίστροφης κατανομής γάμμα ακολουθώντας τον συνηθισμένο ορισμό της προσδοκίας και της διακύμανσης θα είναι
και
Μέσος όρος και διακύμανση της αντίστροφης απόδειξης κατανομής γάμμα
Για να λάβετε τη μέση τιμή και τη διακύμανση της αντίστροφης κατανομής γάμμα χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
και τον ορισμό των προσδοκιών, βρίσκουμε πρώτα την προσδοκία για οποιαδήποτε ισχύ του x ως
στο παραπάνω ακέραιο χρησιμοποιήσαμε τη συνάρτηση πυκνότητας ως
τώρα για την τιμή α μεγαλύτερη από μία και n ως μία
Ομοίως, η τιμή για n = 2 είναι για άλφα μεγαλύτερη από 2
Η χρήση αυτών των προσδοκιών θα μας δώσει την αξία της διακύμανσης ως
Οικόπεδο διανομής αντιστροφών γάμμα | Γράφημα αντίστροφης κατανομής γάμμα
Η αντίστροφη κατανομή γάμμα είναι το αντίστροφο της κατανομής γάμμα, οπότε ενώ παρατηρείται η κατανομή γάμμα, είναι καλό να παρατηρούμε τη φύση των καμπυλών της αντίστροφης κατανομής γάμμα που έχει λειτουργία πυκνότητας πιθανότητας ως
και τη συνάρτηση αθροιστικής διανομής ακολουθώντας
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής καθορίζοντας την τιμή του α ως 1 και μεταβάλλοντας την τιμή του β.
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του α ως 2 και μεταβάλλοντας την τιμή του β
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του α ως 3 και μεταβάλλοντας την τιμή του β.
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του β ως 1 και μεταβάλλοντας την τιμή του α.
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του β ως 2 και μεταβάλλοντας την τιμή του α
Περιγραφή: γραφήματα για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής καθορίζοντας την τιμή του β ως 3 και μεταβάλλοντας την τιμή του α.
λειτουργία δημιουργίας στιγμής της κατανομής γάμμα
Πριν κατανοήσουμε την έννοια της λειτουργίας δημιουργίας ροπής για την κατανομή γάμμα, ας θυμηθούμε κάποια έννοια της λειτουργίας δημιουργίας στιγμής
Στιγμές
Η στιγμή του τυχαία μεταβλητή ορίζεται με τη βοήθεια της προσδοκίας ως
Αυτό είναι γνωστό ως r-th στιγμή της τυχαίας μεταβλητής X είναι η στιγμή για την προέλευση και συνήθως γνωστή ως raw moment.
Αν πάρουμε την r-η στιγμή της τυχαίας μεταβλητής για το μέσο μ ως
Αυτή η στιγμή για το μέσο είναι γνωστή ως κεντρική στιγμή και η προσδοκία θα είναι σύμφωνα με τη φύση της τυχαίας μεταβλητής ως
στην κεντρική στιγμή αν βάλουμε τιμές του r τότε έχουμε μερικές αρχικές στιγμές ως
Εάν πάρουμε τη διωνυμική επέκταση στις κεντρικές στιγμές τότε μπορούμε εύκολα να πάρουμε τη σχέση μεταξύ των κεντρικών και των ωμών στιγμών όπως
μερικές από τις αρχικές σχέσεις έχουν ως εξής
Λειτουργία δημιουργίας στιγμής
Οι στιγμές που μπορούμε να δημιουργήσουμε με τη βοήθεια μιας συνάρτησης η οποία είναι γνωστή ως λειτουργία δημιουργίας στιγμής και ορίζεται ως
Αυτή η λειτουργία δημιουργεί τις στιγμές με τη βοήθεια της επέκτασης της εκθετικής συνάρτησης σε οποιαδήποτε από τις δύο μορφές
χρησιμοποιώντας τη μορφή Taylors ως
Η διαφοροποίηση αυτής της εκτεταμένης λειτουργίας σε σχέση με το t δίνει τις διαφορετικές στιγμές ως
με έναν άλλο τρόπο, αν πάρουμε το παράγωγο απευθείας ως
αφού και για τα δύο διακριτά
και συνεχώς έχουμε
οπότε για t = 0 θα πάρουμε
επίσης
as
και γενικά
υπάρχουν δύο σημαντικές σχέσεις προς το παρόν δημιουργώντας συναρτήσεις
συνάρτηση δημιουργίας στιγμής μιας κατανομής γάμμα | mgf κατανομής γάμμα | λειτουργία δημιουργίας στιγμής για κατανομή γάμμα
Τώρα για το γάμμα κατανομή της συνάρτησης δημιουργίας ροπής M(t) για το pdf
is
και για το pdf
η λειτουργία δημιουργίας στιγμής είναι
απόδειξη ροής κατανομής γ mgf της απόδειξης κατανομής γάμμα
Τώρα πάρτε πρώτα τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ως
και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της λειτουργίας δημιουργίας ροπής M (t) που έχουμε
μπορούμε να βρούμε τη μέση και τη διακύμανση της κατανομής γάμμα με τη βοήθεια της λειτουργίας δημιουργίας στιγμής ως διαφοροποίησης σε σχέση με t δύο φορές αυτήν τη συνάρτηση που θα πάρουμε
αν βάλουμε t = 0 τότε η πρώτη τιμή θα είναι
και
Βάζοντας τώρα την αξία αυτών των προσδοκιών
εναλλακτικά για το pdf της φόρμας
η λειτουργία δημιουργίας στιγμής θα είναι
και η διαφοροποίηση και η τοποθέτηση t = 0 θα δώσει μέση και διακύμανση ως εξής
2η στιγμή κατανομής γάμμα
Η δεύτερη στιγμή της κατανομής γάμμα διαφοροποιώντας τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής δύο φορές και βάζοντας την τιμή t = 0 σε δεύτερο παράγωγο αυτής της συνάρτησης θα λάβουμε
τρίτη στιγμή κατανομής γάμμα
Η τρίτη στιγμή της κατανομής γάμμα μπορούμε να βρούμε διαφοροποιώντας τη λειτουργία δημιουργίας ροπής τρεις φορές και βάζοντας την τιμή t = 0 στο τρίτο παράγωγο του mgf θα πάρουμε
ή απευθείας ενσωματώνοντας ως
σίγμα για κατανομή γάμμα
σίγμα ή τυπική απόκλιση της κατανομής γάμμα μπορούμε να βρούμε λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης της κατανομής γάμμα του τύπου
or
για οποιαδήποτε καθορισμένη τιμή άλφα, βήτα και λάμδα.
χαρακτηριστική συνάρτηση της κατανομής γάμμα | χαρακτηριστική συνάρτηση κατανομής γάμμα
Εάν η μεταβλητή t στη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής είναι καθαρά ένας φανταστικός αριθμός ως t = iω τότε η συνάρτηση είναι γνωστή ως η χαρακτηριστική συνάρτηση της κατανομής γάμμα που υποδηλώνεται και εκφράζεται ως
όπως για κάθε τυχαία μεταβλητή, η χαρακτηριστική συνάρτηση θα είναι
Έτσι, για την κατανομή γάμμα η χαρακτηριστική συνάρτηση ακολουθώντας το pdf της κατανομής γάμμα είναι
Εξής
Υπάρχει μια άλλη μορφή λειτουργίας αυτού του χαρακτηριστικού επίσης εάν
τότε
άθροισμα των διανομών γάμμα | άθροισμα εκθετικής κατανομής γάμμα
Για να γνωρίζουμε το αποτέλεσμα του αθροίσματος της κατανομής γάμμα πρέπει πρώτα απ 'όλα να κατανοήσουμε το άθροισμα της ανεξάρτητης τυχαίας μεταβλητής για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή, για αυτό ας έχουμε συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X και Y και στη συνέχεια τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής για το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών θα είναι
Η διαφοροποίηση αυτής της συνέλιξης ολοκλήρωσης για τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των Χ και Υ θα δώσει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών ως
Τώρα ας αποδείξουμε εάν τα X και Y είναι οι τυχαίες μεταβλητές γάμμα με αντίστοιχες συναρτήσεις πυκνότητας, τότε θα υπάρχει επίσης άθροισμα γάμμα με άθροισμα των ίδιων παραμέτρων
λαμβάνοντας υπόψη τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της φόρμας
για την τυχαία μεταβλητή X πάρτε άλφα ως s και για τυχαία μεταβλητή Y πάρτε άλφα ως t έτσι χρησιμοποιώντας την πυκνότητα πιθανότητας για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών που έχουμε
εδώ το C είναι ανεξάρτητο από ένα, τώρα η τιμή θα είναι
που αντιπροσωπεύουν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του αθροίσματος των Χ και Υ και η οποία είναι της κατανομής γάμμα, εξ ου και το άθροισμα της κατανομής γάμμα αντιπροσωπεύει επίσης την κατανομή γάμμα με αντίστοιχο άθροισμα παραμέτρων.
τρόπος κατανομής γάμμα
Για να βρούμε τον τρόπο κατανομής γάμμα ας εξετάσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως
τώρα διαφοροποιήστε αυτό το pdf σε σχέση με το x, θα έχουμε τη διαφοροποίηση ως
Αυτό θα είναι μηδέν για x = 0 ή x = (α -1) / λ
άρα αυτά είναι μόνο κρίσιμα σημεία στην οποία η πρώτη μας παράγωγος θα είναι μηδέν εάν το άλφα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, τότε το x=0 δεν θα είναι τρόπος λειτουργίας γιατί αυτό κάνει το pdf μηδέν, οπότε ο τρόπος λειτουργίας θα είναι (α -1)/λ
και για το άλφα αυστηρά λιγότερο από ένα το παράγωγο μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν καθώς το x αυξάνεται από το μηδέν στο άπειρο, οπότε αυτό δεν είναι δυνατό, επομένως ο τρόπος κατανομής γάμμα είναι
μέση κατανομή γάμμα
Η μέση τιμή της κατανομής γάμμα μπορεί να βρεθεί με τη βοήθεια της αντίστροφης κατανομής γάμμα ως
or
παρέχεται
που δίνει
σχήμα κατανομής γάμμα
Η κατανομή γάμμα έχει διαφορετικό σχήμα ανάλογα με την παράμετρο σχήματος όταν η παράμετρος σχήματος είναι μία κατανομή γάμμα είναι ίση με την εκθετική κατανομή, αλλά όταν αλλάζουμε την παράμετρο σχήματος, η κλίση της καμπύλης κατανομής γάμμα μειώνεται καθώς η αύξηση της παραμέτρου σχήματος, με άλλα λόγια το σχήμα της καμπύλης της κατανομής γάμμα αλλάζει σύμφωνα με την τυπική απόκλιση.
στρέβλωση της κατανομής γάμμα
Η ασυμμετρία οποιασδήποτε κατανομής μπορεί να παρατηρηθεί παρατηρώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής της κατανομής και του συντελεστή στρέβλωσης
για τη διανομή γάμμα που έχουμε
so
Αυτό δείχνει ότι η κλίση εξαρτάται από το άλφα μόνο εάν η καμπύλη άλφα στο άπειρο θα είναι πιο συμμετρική και απότομη και όταν το άλφα φτάσει στο μηδέν, η καμπύλη πυκνότητας κατανομής γάμμα είναι λοξή θετική που μπορεί να παρατηρηθεί στα γραφήματα πυκνότητας.
γενικευμένη κατανομή γάμμα | παράμετρος σχήματος και κλίμακας στην κατανομή γάμμα | κατανομή γάμμα τριών παραμέτρων | πολυπαραγοντική κατανομή γάμμα
όπου γ, μ και β είναι οι παράμετροι σχήματος, θέσης και κλίμακας αντιστοίχως, εκχωρώντας συγκεκριμένες τιμές σε αυτές τις παραμέτρους μπορούμε να πάρουμε την κατανομή γάμμα δύο παραμέτρων ειδικά αν βάλουμε μ = 0, β = 1 τότε θα έχουμε τυπική κατανομή γάμμα ως
Χρησιμοποιώντας αυτήν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κατανομής 3 παραμέτρων γάμμα μπορούμε να βρούμε την προσδοκία και τη διακύμανση ακολουθώντας τον ορισμό εκεί αντίστοιχα.
Συμπέρασμα:
Η έννοια της αμοιβαίας κατανομής γάμμα που είναι αντίστροφη κατανομή γάμμα σε σύγκριση με την κατανομή γάμμα και το μέτρο των κεντρικών τάσεων της κατανομής γάμμα με τη βοήθεια της λειτουργίας δημιουργίας στιγμής ήταν το επίκεντρο αυτού του άρθρου, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, διαβάστε προτεινόμενα βιβλία και συνδέσμους. Για περισσότερες δημοσιεύσεις σχετικά με τα μαθηματικά, επισκεφτείτε το σελίδα μαθηματικών.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
