Περιεχόμενο
- Από κοινού κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές
- Λειτουργία κοινής διανομής | Συνδυαστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας | συνάρτηση μάζας πιθανότητας άρθρωσης | συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης
- Παραδείγματα κοινής διανομής
- Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και κοινή κατανομή
- Παράδειγμα ανεξάρτητης διανομής αρθρώσεων
- ΣΥΝΟΨΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΡΑΝΤΟΜΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΔΙΑΝΟΜΗ
- άθροισμα ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών
- άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Gamma
- άθροισμα ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών
- Άθροισμα ανεξάρτητης κανονικής τυχαίας μεταβλητής | άθροισμα της ανεξάρτητης Κανονικής κατανομής
- Άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Poisson
- Άθροισμα ανεξάρτητων διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών
Από κοινού κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές
Οι από κοινού κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές είναι η τυχαία μεταβλητή περισσότερες από μία με πιθανότητα από κοινού κατανεμημένες για αυτές τις τυχαίες μεταβλητές, με άλλα λόγια σε πειράματα όπου το διαφορετικό αποτέλεσμα με την κοινή τους πιθανότητα είναι γνωστό ως από κοινού κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή ή κοινή κατανομή, εμφανίζεται τέτοιος τύπος συχνά κατά την αντιμετώπιση των προβλημάτων των πιθανοτήτων.
Λειτουργία κοινής διανομής | Συνδυαστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας | συνάρτηση μάζας πιθανότητας άρθρωσης | συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης
Για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y η συνάρτηση κατανομής ή η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής κοινής είναι
όπου η φύση της πιθανότητας άρθρωσης εξαρτάται από τη φύση των τυχαίων μεταβλητών X και Y είτε διακριτές είτε συνεχείς, και οι επιμέρους συναρτήσεις κατανομής για X και Y μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας αυτήν τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής κοινής ως
παρομοίως για το Y ως
Αυτές οι μεμονωμένες λειτουργίες διανομής των Χ και Υ είναι γνωστές ως οριακές συναρτήσεις διανομής όταν εξετάζεται η κοινή διανομή. Αυτές οι διανομές είναι πολύ χρήσιμες για να λάβετε τις πιθανότητες
και επιπλέον η κοινή συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y ορίζεται ως
οι επιμέρους συναρτήσεις μάζας ή πυκνότητας πιθανότητας για τα Χ και Υ μπορούν να ληφθούν με τη βοήθεια μιας τέτοιας συνάρτησης μάζας ή πυκνότητας κοινής πιθανότητας όπως διακριτές τυχαίες μεταβλητές as
και ως προς τη συνεχή τυχαία μεταβλητή θα είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σύνδεσης
όπου το C είναι οποιοδήποτε δισδιάστατο επίπεδο, και η συνάρτηση κατανομής αρθρώσεων για συνεχή τυχαία μεταβλητή θα είναι
η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας από αυτήν τη συνάρτηση κατανομής μπορεί να επιτευχθεί διαφοροποιώντας
και η οριακή πιθανότητα από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης
as
και
σε σχέση με τις τυχαίες μεταβλητές X και Y αντίστοιχα
Παραδείγματα κοινής διανομής
- Οι κοινές πιθανότητες για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των μαθηματικών και στατιστικών βιβλίων από ένα σύνολο βιβλίων που περιέχει 3 μαθηματικά, 4 στατιστικά και 5 βιβλία φυσικής εάν 3 βιβλία λαμβάνονται τυχαία
- Βρείτε την άρθρωση συνάρτηση μάζας πιθανότητας για το δείγμα των οικογενειών που έχουν 15% χωρίς παιδί, 20% 1 παιδί, 35% 2 παιδιά και 30% 3 παιδιά εάν η οικογένεια που επιλέγουμε τυχαία από αυτό το δείγμα για παιδί είναι Αγόρι ή Κορίτσι;
Η κοινή πιθανότητα θα βρούμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό ως
και αυτό μπορούμε να το απεικονίσουμε στη μορφή πίνακα ως εξής
- Υπολογίστε τις πιθανότητες
εάν για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης δίνεται από
με τη βοήθεια του ορισμού της πιθανότητας άρθρωσης για συνεχή τυχαία μεταβλητή
και η δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων θα είναι η πρώτη πιθανότητα για το δεδομένο εύρος
με τον ίδιο τρόπο την πιθανότητα
και τελικά
- Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων για το πηλίκο X / Y των τυχαίων μεταβλητών X και Y εάν είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης
Για να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τη συνάρτηση X / Y βρίσκουμε πρώτα τη συνάρτηση κατανομής αρθρώσεων και στη συνέχεια θα διαφοροποιήσουμε το ληφθέν αποτέλεσμα,
οπότε από τον ορισμό της συνάρτησης κατανομής και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας έχουμε
Έτσι, με τη διαφοροποίηση αυτής της λειτουργίας διανομής σε σχέση με ένα, θα έχουμε τη συνάρτηση πυκνότητας ως
όπου a είναι μηδέν έως άπειρο.
Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και κοινή κατανομή
Στο κοινή διανομή η πιθανότητα για δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y λέγεται ότι είναι ανεξάρτητη εάν
όπου τα Α και Β είναι τα πραγματικά σύνολα. Όπως ήδη από την άποψη των γεγονότων, γνωρίζουμε ότι οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές είναι οι τυχαίες μεταβλητές των οποίων τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα.
Έτσι για οποιεσδήποτε τιμές των α και β
και η συνάρτηση κοινής διανομής ή αθροιστικής κατανομής για τις ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X και Y θα είναι
αν λάβουμε υπόψη τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές X και Y τότε
αφού
Ομοίως για τη συνεχή τυχαία μεταβλητή επίσης
Παράδειγμα ανεξάρτητης διανομής αρθρώσεων
- Εάν για μια συγκεκριμένη ημέρα σε ένα νοσοκομείο, οι ασθενείς που εισήχθησαν κατανέμονται poisson με την παράμετρο λ και πιθανότητα αρσενικού ασθενούς ως p και πιθανότητα γυναίκας ασθενή ως (1-p), τότε δείξτε ότι ο αριθμός των αρσενικών ασθενών και των γυναικών ασθενών που εισήχθησαν στο νοσοκομείο είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές poisson με παραμέτρους λp και λ (1-p);
εξετάστε τον αριθμό των ανδρών και γυναικών ασθενών με τυχαία μεταβλητή X και Y τότε
καθώς το X + Y είναι ο συνολικός αριθμός ασθενών που εισήχθησαν στο νοσοκομείο, ο οποίος κατανέμεται έτσι
δεδομένου ότι η πιθανότητα του άνδρα ασθενούς είναι p και η γυναίκα ασθενής είναι (1-p), έτσι ακριβώς από τον συνολικό αριθμό σταθεροποίησης είναι άνδρες ή γυναίκες δείχνουν διωνυμική πιθανότητα ως
Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο τιμές θα πάρουμε την παραπάνω πιθανότητα σύνδεσης ως
Έτσι θα είναι πιθανότητα ανδρών και γυναικών ασθενών
και
που δείχνει ότι και οι δύο είναι τυχαίες μεταβλητές poisson με τις παραμέτρους λp και λ (1-p).
2. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα άτομο πρέπει να περιμένει περισσότερο από δέκα λεπτά στη συνάντηση για έναν πελάτη σαν να κάθε πελάτης και αυτό το άτομο φτάνει μεταξύ 12 έως 1 μ.μ. μετά από ομοιόμορφη διανομή.
Σκεφτείτε τις τυχαίες μεταβλητές X και Y για να δηλώσετε το χρόνο για αυτό το άτομο και τον πελάτη μεταξύ 12 έως 1, ώστε η πιθανότητα από κοινού για X και Y να είναι
υπολογίσει
όπου τα Χ, Υ και Ζ είναι ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (0,1).
εδώ η πιθανότητα θα είναι
για ομοιόμορφη κατανομή η συνάρτηση πυκνότητας
για το δεδομένο εύρος έτσι
ΣΥΝΟΨΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΡΑΝΤΟΜΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΔΙΑΝΟΜΗ
Το άθροισμα των ανεξάρτητων μεταβλητών X και Y με την πυκνότητα πιθανότητας να λειτουργεί ως συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής θα είναι
με τη διαφοροποίηση αυτής της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτών των ανεξάρτητων αθροισμάτων
Ακολουθώντας αυτά τα δύο αποτελέσματα θα δούμε μερικές συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και το άθροισμά τους ως ανεξάρτητες μεταβλητές
άθροισμα ανεξάρτητων ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών
για την τυχαίες μεταβλητές X και Y ομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα (0,1) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και για τις δύο αυτές ανεξάρτητες μεταβλητές είναι
λοιπόν για το άθροισμα X + Y που έχουμε
για οποιαδήποτε τιμή βρίσκεται μεταξύ μηδέν και ενός
αν περιορίσουμε ένα μεταξύ ενός και δύο θα είναι
Αυτό δίνει τη λειτουργία πυκνότητας τριγωνικού σχήματος
εάν γενικευθούμε για τις ανεξάρτητες τυπικές τυχαίες μεταβλητές 1 έως n, τότε η συνάρτηση κατανομής τους
από μαθηματική επαγωγή θα είναι
άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Gamma
Εάν έχουμε δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές γάμμα με τη συνήθη συνάρτηση πυκνότητας
στη συνέχεια ακολουθώντας την πυκνότητα για το άθροισμα των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών γάμμα
Αυτό δείχνει τη συνάρτηση πυκνότητας για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών γάμμα που είναι ανεξάρτητες
άθροισμα ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών
Με τον ίδιο τρόπο όπως η τυχαία μεταβλητή gamma το άθροισμα των ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών μπορούμε να αποκτήσουμε συνάρτηση πυκνότητας και συνάρτηση κατανομής με την εκχώρηση συγκεκριμένων τιμών των τυχαίων μεταβλητών γάμμα.
Άθροισμα ανεξάρτητης κανονικής τυχαίας μεταβλητής | άθροισμα της ανεξάρτητης Κανονικής κατανομής
Αν έχουμε n αριθμό ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών Xi , i=1,2,3,4….n με αντίστοιχα μέσα μi και διακυμάνσεις σ2i τότε το άθροισμά τους είναι επίσης κανονική τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο ως Σμi και διακυμάνσεις Σσ2i
Πρώτα δείχνουμε το κανονικά κατανεμημένο ανεξάρτητο άθροισμα για δύο κανονικές τυχαίες μεταβλητές X με τις παραμέτρους 0 και σ2 και Y με τις παραμέτρους 0 και 1, ας βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το άθροισμα X + Y με
στη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής αρθρώσεων
με τη βοήθεια του ορισμού της συνάρτησης πυκνότητας της κανονικής κατανομής
έτσι θα είναι η συνάρτηση πυκνότητας
που δεν είναι παρά η συνάρτηση πυκνότητας του α κανονική κατανομή με μέσο όρο 0 και διακύμανση (1+σ2) ακολουθώντας το ίδιο όρισμα μπορούμε να πούμε
με τις συνήθεις μέσες τιμές και διακυμάνσεις. Εάν λάβουμε την επέκταση και παρατηρήσουμε ότι το άθροισμα κατανέμεται κανονικά με το μέσο όρο ως το άθροισμα των αντίστοιχων μέσων και τη διακύμανση ως το άθροισμα των αντίστοιχων διαφορών,
έτσι με τον ίδιο τρόπο το ένατο άθροισμα θα είναι η κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με τη μέση τιμή ως Σμi και διακυμάνσεις Σσ2i
Άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Poisson
Αν έχουμε δύο ανεξάρτητες Poisson τυχαίες μεταβλητές X και Y με παραμέτρους λ1 και λ2 τότε το άθροισμα X + Y είναι επίσης τυχαία μεταβλητή Poisson ή Poisson κατανεμημένη
δεδομένου ότι τα Χ και Υ διανέμονται Poisson και μπορούμε να γράψουμε το άθροισμά τους ως ένωση διαχωριστικών γεγονότων
χρησιμοποιώντας την πιθανότητα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών
έτσι παίρνουμε το άθροισμα X + Y διανέμεται επίσης το Poisson με το μέσο όρο λ1 + λ2
Άθροισμα ανεξάρτητων διωνυμικών τυχαίων μεταβλητών
Εάν έχουμε δύο ανεξάρτητες διωνυμικές τυχαίες μεταβλητές X και Y με παραμέτρους (n, p) και (m, p), τότε το άθροισμά τους X + Y είναι επίσης διωνυμική τυχαία μεταβλητή ή Binomial κατανεμημένη με την παράμετρο (n + m, p)
ας χρησιμοποιήσουμε την πιθανότητα του αθροίσματος με τον ορισμό του διωνύμου ως
που δίνει
έτσι το άθροισμα X + Y κατανέμεται επίσης δυο φορές με την παράμετρο (n + m, p).
Συμπέρασμα:
Η έννοια των από κοινού κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών που δίνει τη διανομή συγκριτικά για περισσότερες από μία μεταβλητές στην κατάσταση συζητείται επιπλέον η βασική έννοια της ανεξάρτητης τυχαίας μεταβλητής με τη βοήθεια της κοινής διανομής και το άθροισμα των ανεξάρτητων μεταβλητών με κάποιο παράδειγμα διανομής τις παραμέτρους τους, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα αναφερόμενα βιβλία. Για περισσότερες δημοσιεύσεις σχετικά με τα μαθηματικά, παρακαλώ Κάνε κλικ εδώ.
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
