Δισδιάστατη γεωμετρία συντεταγμένων: 2 σημαντικά γεγονότα -

Τοποθεσία σε 2D γεωμετρία συντεταγμένων

Το Locus είναι μια λατινική λέξη. Προέρχεται από τη λέξη «Τόπος» ή «Τοποθεσία». Ο πληθυντικός του τόπου είναι Loci.

Ορισμός του Locus:

Στη Γεωμετρία, το «Locus» είναι ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν μία ή περισσότερες καθορισμένες συνθήκες ενός σχήματος ή σχήματος. Στα σύγχρονα μαθηματικά, η τοποθεσία ή η διαδρομή στην οποία ένα σημείο κινείται στο επίπεδο που ικανοποιεί δεδομένες γεωμετρικές συνθήκες, ονομάζεται τόπος του σημείου.

Ο τόπος ορίζεται για γραμμή, τμήμα γραμμής και τα κανονικά ή ακανόνιστα καμπύλα σχήματα εκτός από τα σχήματα που έχουν κορυφή ή γωνίες μέσα τους στη Γεωμετρία. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Παραδείγματα στο Locus:

γραμμές, κύκλοι, έλλειψη, parabola, hyperbola κ.λπ. όλα αυτά τα γεωμετρικά σχήματα καθορίζονται από τον τόπο των σημείων.

Εξίσωση του τόπου:

Η αλγεβρική μορφή των γεωμετρικών ιδιοτήτων ή συνθηκών που ικανοποιούνται από τις συντεταγμένες όλων των σημείων στον τόπο, είναι γνωστή ως εξίσωση του τόπου αυτών των σημείων.

Μέθοδος απόκτησης της εξίσωσης του τόπου:

Για να βρείτε την εξίσωση του τόπου ενός κινούμενου σημείου σε ένα επίπεδο, ακολουθήστε τη διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω

(i) Αρχικά, υποθέστε ότι οι συντεταγμένες ενός κινούμενου σημείου σε ένα επίπεδο είναι (h, k).

(ii) Δεύτερον, αντλήστε μια αλγεβρική εξίσωση με h και k από τις δεδομένες γεωμετρικές συνθήκες ή ιδιότητες.

(iii) Τρίτον, αντικαταστήστε τα h και k με x και y αντίστοιχα στην παραπάνω εξίσωση. Τώρα αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση του τόπου του κινούμενου σημείου στο επίπεδο. (x, y) είναι οι τρέχουσες συντεταγμένες του κινούμενου σημείου και η εξίσωση του τόπου πρέπει πάντα να προκύπτει με τη μορφή x και y, δηλαδή τρέχουσες συντεταγμένες

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα για να καταστεί σαφής η αντίληψη σχετικά με τη θέση.

4 + διαφορετικοί τύποι επιλυμένων προβλημάτων στο Locus:

1 πρόβλημα: If P να είναι οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο XY που είναι σε απόσταση από δύο δεδομένα σημεία A (3,2) και Β (2, -1) στο ίδιο επίπεδο, στη συνέχεια, βρείτε τον τόπο και την εξίσωση του τόπου του σημείου Ρ με γράφημα.

Λύση:

Ας υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στη θέση του P στο XY-αεροπλάνο είναι (η, κ).

Δεδομένου ότι, το P είναι ίσο από A και B, μπορούμε να γράψουμε

Η απόσταση του P από το A = Η απόσταση του P από το B

Ή, |PA|=|PB|

Or, (ώρα² -6 ώρες + 9 + κ² -4k+4) = (η² -4 ώρες + 4 + κ² +2κ+1) ——– παίρνοντας τετράγωνο και στις δύο πλευρές.

Or, h² -6 ώρες + 13 + κ² -4k-ω²+ 4h-5-k² -2k = 0

Or, -2h -6k+8 = 0

Or, h+3k -4 = 0

Or, h+3k = 4 ——– (1)

Αυτή είναι μια εξίσωση πρώτου βαθμού των h και k.

Τώρα αν τα h και k αντικατασταθούν από τα x και y τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση πρώτου βαθμού των x και y με τη μορφή x + 3y = 4 που αντιπροσωπεύει μια ευθεία.

Επομένως, ο τόπος του σημείου P (h, k) στο επίπεδο XY είναι μια ευθεία και η εξίσωση του τόπου είναι x + 3y = 4. (Απ.)

2 πρόβλημα: Αν ένα σημείο R κινείται στο επίπεδο XY με τέτοιο τρόπο RA: RB = 3: 2 όπου οι συντεταγμένες των σημείων A και B are (-5,3) και (2,4) αντίστοιχα στο ίδιο επίπεδο και, στη συνέχεια, βρείτε τη θέση του σημείου R.

Τι είδους καμπύλη δείχνει η εξίσωση του τόπου του R;

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στη θέση του δεδομένου σημείου R στο XY-plane είναι (μ, ν).

Δεδομένη κατάσταση Asper RA: RB = 3: 2,

έχουμε,

(Η απόσταση του R από το A) / (Η απόσταση του R από το B) = 3/2

Or, (μ² + 10μ + 34 + ν² -6n) / (μ² -4μ + ν² -8n+20) = 9/4 ———– παίρνοντας τετράγωνο και στις δύο πλευρές.

Or, 4 (μ² + 10μ + 34 + ν² -6n) = 9 (m² -4μ + ν² -8n+20)

Or, 4μ² + 40μ + 136 + 4ν² -24n = 9μ² -36μ+9ν² -72n+180)

Or, 4μ² + 40μ + 136 + 4ν² -24n - 9μ² + 36μ-9ν² + 72n-180 = 0

Or, -5μ² + 76μ-5ν²+ 48n-44 = 0

Or, 5 (μ²+n²) -76m+48n+44 = 0 ———- (1)

Αυτή είναι μια εξίσωση δεύτερου βαθμού των m και n.

Τώρα αν τα m και n αντικατασταθούν από x και y, η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση δεύτερου βαθμού των x και y με τη μορφή 5 (x²+y²) -76x + 48y + 44 = 0 όπου οι συντελεστές του x² και γ² είναι ίδιοι και ο συντελεστής του xy είναι μηδέν. Αυτή η εξίσωση αντιπροσωπεύει έναν κύκλο.

Επομένως, ο τόπος του σημείου R (m, n) στο επίπεδο XY είναι ένας κύκλος και η εξίσωση του τόπου είναι

5 (x²+y²) -76x + 48y + 44 = 0 (Απ.)

3 πρόβλημα: Για όλες τις τιμές των (θ,aCosθ,bSinθ) είναι οι συντεταγμένες ένα σημείο P που κινείται στο επίπεδο XY. Να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του P.

Λύση: ας (h, k) είναι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στη θέση του P στο επίπεδο XY.

Μετά από την ερώτηση, μπορούμε να πούμε

h= a Cosθ

Ή, h/a = Cosθ —————(1)

Και k = b Sinθ

Ή, k/b = Sinθ —————(2)

Τώρα παίρνοντας το τετράγωνο και των δύο εξισώσεων (1) και (2) και μετά προσθέτοντας, έχουμε την εξίσωση

h²/a² + κ²/b² = Μαρού²θ + Αμαρτία²θ

Or, h²/a² + κ²/b² = 1 (Από Cos²θ + Αμαρτία²θ =1 στην τριγωνομετρία)

Επομένως η εξίσωση του τόπου του σημείου P είναι x²/a² + ε²/b² = 1. (Απ.)

Πρόβλημα 4: Βρείτε την εξίσωση του τόπου ενός σημείου Q, κινώντας στο επίπεδο XY, εάν οι συντεταγμένες του Q είναι

όπου u είναι η μεταβλητή παράμετρος.

Λύση: Αφήστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στη θέση του δεδομένου σημείου Q ενώ κινείστε στο επίπεδο XY να είναι (h, k).

Τότε, h = και k =

δηλαδή h (3u+2) = 7u-2 και k (u-1) = 4u+5

δηλ. (3h-7) u = -2h-2 και (k-4) u = 5+k

δηλ. u = ————— (1)

και u = ————— (2)

Τώρα εξισώνοντας τις εξισώσεις (1) και (2), έχουμε,

Or, (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Or, -5hk -7h+5k = -43

Ή, 5hk + 7h-5k = 43

Επομένως, η εξίσωση του τόπου του Q είναι 5xy+7x-5y = 43.

Περισσότερα παραδείγματα στο Locus με δικές σας απαντήσεις για πρακτική:

Προβλήματα 5: Αν το θ είναι μεταβλητή και το u σταθερά, τότε να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου τομής των δύο ευθειών x Cosθ + y Sinθ = u και x Sinθ- y Cosθ = u. (Απ. X²+y² = 2u² )

Προβλήματα 6: Να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του μεσαίου σημείου του ευθύγραμμου τμήματος της ευθείας x Sinθ + y Cosθ = t μεταξύ των αξόνων. (Απ. 1 / x²+ 1 /y² = 4/τόνο² )

Προβλήματα 7: Εάν ένα σημείο P κινείται με τέτοιο τρόπο στο επίπεδο XY που η περιοχή του τριγώνου γίνεται από το σημείο με δύο σημεία (2, -1) και (3,4). (Απ. 5x-y = 11)

Βασικά παραδείγματα για τους τύπους "Centroid of a Triangle" στη 2D Γεωμετρία Συντεταγμένων

Centroid: Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου διασταυρώνονται πάντα σε ένα σημείο, που βρίσκεται στην εσωτερική περιοχή του τριγώνου και διαιρεί τη διάμεσο σε αναλογία 2: 1 από οποιαδήποτε κορυφή προς το μέσο της αντίθετης πλευράς. Αυτό το σημείο ονομάζεται κεντροειδές του τριγώνου.

Προβλήματα 1: Βρείτε το κεντροειδές του τριγώνου με κορυφές (-1,0), (0,4) και (5,0).

Λύση: Γνωρίζουμε ήδη,

If Τσεκούρι₁,y₁) Β (x₂,y₂) και Γ (x₃,y₃) να είναι οι κορυφές ενός τριγώνου και G (x, y) γίνε το κέντρο του τριγώνου, τότε Συντεταγμένες του G are

και

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο που έχουμε,

(x₁,y₁) ≌ (-1,0) δηλ x₁= -1, y₁=0?

(x₂,y₂) 0,4, (XNUMX) δηλ x₂= 0, y₂= 4 και

(x₃,y₃) ≌ (5,0) δηλ x₃= 5, y₃=0

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Έτσι, η συντεταγμένη x του κεντρικού G,

δηλαδή

δηλαδή x=4/3

και

η συντεταγμένη y του κεντροειδούς G,

δηλαδή

δηλαδή y=4/3

Επομένως, οι συντεταγμένες του κεντροειδούς του δεδομένου τριγώνου είναι Το (Απάντηση)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο παραπάνω πρόβλημα 1: -

Προβλήματα 2: Βρείτε τις συντεταγμένες του κεντροειδούς του τριγώνου με κορυφές στα σημεία (-3, -1), (-1,3)) και (1,1).

Ans. (-1,1)

Προβλήματα 3: Ποια είναι η συντεταγμένη x του κεντροειδούς του τριγώνου με κορυφές (5,2), (10,4) και (6, -1);

Ans. 7

Προβλήματα 4: Τρεις κορυφές ενός τριγώνου είναι (5,9), (2,15) και (11,12). Βρείτε το κεντροειδές αυτού του τριγώνου.

Ans. (6,12)

Μετατόπιση προέλευσης / Μετάφραση των αξόνων- 2Δ Συντεταγμένη γεωμετρία

Η μετατόπιση της προέλευσης σημαίνει μετατόπιση της προέλευσης σε ένα νέο σημείο διατηρώντας αμετάβλητο τον προσανατολισμό των αξόνων, δηλαδή οι νέοι άξονες παραμένουν παράλληλοι με τους αρχικούς άξονες στο ίδιο επίπεδο. Με αυτήν τη μετάφραση των αξόνων ή τη διαδικασία αλλαγής της προέλευσης, πολλά προβλήματα στην αλγεβρική εξίσωση γεωμετρικού σχήματος απλοποιούνται και επιλύονται εύκολα.

Ο τύπος «Μετατόπιση της Προέλευσης» ή «Μετάφραση των Αξόνων» περιγράφεται παρακάτω με γραφική παράσταση.

Φόρμουλα:

Εάν το O είναι η προέλευση, το P (x, y) είναι οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο XY και το O μετατοπίζεται σε άλλο σημείο O ′ (a, b) έναντι του οποίου γίνονται οι συντεταγμένες του σημείου P (x₁,y₁) στο ίδιο επίπεδο με νέους άξονες X₁Y₁ , Τότε οι Νέες Συντεταγμένες του P είναι

x₁= x- α

y₁ = y- β

Γραφική αναπαράσταση για διευκρίνιση: Ακολουθήστε τα γραφήματα

Λίγοι λύθηκαν Προβλήματα σχετικά με τον τύπο του «Shifting of Origin»:

Πρόβλημα-1: Εάν υπάρχουν δύο σημεία (3,1) και (5,4) στο ίδιο επίπεδο και η προέλευση μετακινηθεί στο σημείο (3,1) διατηρώντας τους νέους άξονες παράλληλους με τους αρχικούς άξονες, τότε βρείτε τις συντεταγμένες του το σημείο (5,4) σε σχέση με τη νέα προέλευση και τους άξονες.

Λύση: Σε σύγκριση με τον τύπο «Μετατόπιση προέλευσης» που περιγράφηκε παραπάνω, έχουμε νέα προέλευση, O ′ (a, b) ≌ (3,1) δηλαδή a = 3, b = 1 και το απαιτούμενο σημείο P, (x, y) (5,4) δηλαδή x = 5, y = 4

Τώρα εάν (x₁,y₁) είναι οι νέες συντεταγμένες του σημείου P (5,4), και στη συνέχεια ο τύπος x του x₁ = xa και y₁ = yb,

παίρνουμε, x₁ = 5-3 και y₁ = 4-1

δηλ. x₁ = 2 και y₁ =3

Επομένως, οι απαιτούμενες νέες συντεταγμένες του σημείου (5,4) είναι (2,3). (Απ.)

Πρόβλημα-2: Μετά τη μετατόπιση της προέλευσης σε ένα σημείο στο ίδιο επίπεδο, παραμένοντας τους άξονες παράλληλους μεταξύ τους, οι συντεταγμένες ενός σημείου (5, -4) γίνονται (4, -5). Βρείτε τις Συντεταγμένες της νέας προέλευσης.

Λύση: Εδώ, χρησιμοποιώντας τον τύπο «Μετατόπιση της προέλευσης» ή «Μετάφραση των αξόνων», μπορούμε να πούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Ρ σε σχέση με την παλιά και τη νέα προέλευση και οι άξονες αντίστοιχα είναι (x, y) ≌ (5, -4) δηλ. x = 5, y = -4 και (x₁,y₁) ≌ (4, -5) δηλ x₁= 4, y₁= -5

Τώρα πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες της νέας προέλευσης Ο ′ (α, β) δηλαδή a = ?, b =?

Τύπος Asper,

x₁= x- a

y₁ = ε- b

δηλαδή a= xx₁ και b= εε₁

Ή, a=5-4 και b= -4 - (- 5)

Ή, a=1 και b= -4 + 5

Ή, a=1 και b= 1

Επομένως, O '(1,1) είναι η νέα προέλευση, δηλαδή οι συντεταγμένες της νέας προέλευσης είναι (1,1). (Απ.)

Βασικά παραδείγματα στους τύπους «Γραμμικότητα σημείων (τρία σημεία)» στη 2D Γεωμετρία Συντεταγμένων

Προβλήματα 1: Ελέγξτε εάν τα σημεία (1,0), (0,0) και (-1,0) είναι γραμμικά ή όχι.

Λύση: Γνωρίζουμε ήδη,

If Τσεκούρι₁,y₁) Β (x₂,y₂) και Γ (x₃,y₃) είναι οποιαδήποτε τρία γραμμικά σημεία, τότε το εμβαδόν του τριγώνου που κατασκευάζεται από αυτά πρέπει να είναι μηδέν δηλ η περιοχή του τριγώνου είναι ½ [x₁ (y₂- ε₃) + x₂ (y₃- ε₁) + x₃ (y₁-y₂)] =0

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο που έχουμε,

(x₁,y₁) ≌ (-1,0) δηλ x₁= -1, y₁= 0;

(x₂,y₂) ≌ (0,0) δηλ x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) ≌ (1,0) δηλ x₃= 1, y₃= 0

Έτσι, η περιοχή του τριγώνου είναι = | ½ [x₁ (y₂- y₃) + x₂ (y₃- y₁) + x₃ (y₁-y₂)] | δηλαδή.

(LHS) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= | ½ [0 + 0 + 0] |

= | ½ x 0 |

= 0 (RHS)

Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου που γίνεται από αυτά τα σημεία γίνεται μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Επομένως, τα δεδομένα σημεία είναι γραμμικά σημεία. (Απ)

Παρακάτω δίνονται περισσότερα απαντημένα προβλήματα για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στα παραπάνω πρόβλημα 1: -

Προβλήματα 2: Ελέγξτε εάν τα σημεία (-1, -1), (0,0) και (1,1) είναι γραμμικά ή όχι.

Ans. Ναι

Προβλήματα 3: Είναι δυνατόν να σχεδιάσετε μία γραμμή μέσω τριών σημείων (-3,2), (5, -3) και (2,2);

Ans.Οχι

Προβλήματα 4: Ελέγξτε εάν τα σημεία (1,2), (3,2) και (-5,2), που συνδέονται με γραμμές, μπορούν να σχηματίσουν ένα τρίγωνο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Ans. Οχι

______________________________

Βασικά παραδείγματα στους τύπους "Incenter of a Triangle" στη 2D Γεωμετρία Συντεταγμένων

Ίντερνετ:Είναι το κέντρο του μεγαλύτερου incircle του τριγώνου που ταιριάζει στο τρίγωνο. Είναι επίσης το σημείο τομής των τριών διχοτόμων των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου.

Προβλήματα 1: Οι κορυφές ενός τριγώνου με πλευρές είναι (-2,0), (0,5) και (6,0) αντίστοιχα. Βρείτε το κέντρο του τριγώνου.

Λύση: Γνωρίζουμε ήδη,

If Τσεκούρι₁,y₁) Β (x₂,y₂) και Γ (x₃,y₃) είναι οι κορυφές, BC = a, CA = b και AB = c, G ′ (x, y) να είναι το κίνητρο του τριγώνου,

Οι συντεταγμένες του ΣΟΛ' are

και

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Asper ο τύπος που έχουμε,

(x₁,y₁) ≌ (-4,0) δηλ x₁= -4, y₁=0?

(x₂,y₂) 0,3, (XNUMX) δηλ x₂= 0, y₂= 3;

(x₃,y₃) ≌ (0,0) δηλ x₃= 0, y₃=0

Έχουμε τώρα,

a = √ [(x₂-x₁)²+ (ε₂-y₁)²]

Or, a = √ [(0+4)²+ (3-0)²]

Or, a = √ [(4)²+ (3)²]

Or, a = √ (16+9)

Or, a = √25

Ή, a = 5 ——————— (1)

b = √ [(x₁-x₃)²+ (ε₁-y₃)²]

Or, b = √ [(-4-0)²+ (0-0)²]

Or, b = √ [(-4)²+ (0)²]

Or, b = √ (16+0)

Or, b = √16

Ή, β = 4 ———————– (2)

c = √ [(x₃-x₂)²+ (ε₃-y₂)²]

Or, c = √ [(0-0)²+ (0-3)²]

Or, c = √ [(0)²+ (- 3)²]

Or, c = √ (0+9)

Or, c = √9

Ή, c = 3 ———————– (3)

και έναx₁+ bx₂+ cx₃ = (5 Χ (-4)) + (4 Χ 0) + (3 Χ 6)

= -20 + 0 + 18

Ή, ax₁+ bx₂+ cx₃ = -2 ———————- (4)

ay₁+ by₂+ κυ₃ = (5 Χ 0) + (4 Χ 3) + (3 Χ 0)

= 0 + 12 + 0

Ή, ay₁+ από₂+ κυ₃ = 12 ———————– (5)

α + β + γ = 5 + 4 + 3

Ή, a+b+c = 12 ——————— (6)

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις (1), (2), (3), (4), (5) και (6) μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του x και y από

Or, x = -2/12

Or, x = -1/6

και

Or, y = 12/12

Or, y = 1

Επομένως, οι απαιτούμενες συντεταγμένες του incenter του δεδομένου τριγώνου είναι (-1/6, 1). (Απ.)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο παραπάνω πρόβλημα 1: -

Προβλήματα 2: Βρείτε τις συντεταγμένες του incenter του τριγώνου με κορυφές στα σημεία (-3, -1), (-1,3)) και (1,1).

Προβλήματα 3: Ποια είναι η συντεταγμένη x του incenter του τριγώνου με κορυφές (0,2), (0,0) και (0, -1);

Προβλήματα 4: Τρεις κορυφές ενός τριγώνου είναι (1,1), (2,2) και (3,3). Βρείτε το κέντρο αυτού του τριγώνου.