Μαθηματική προσδοκία και τυχαία μεταβλητή
Η μαθηματική προσδοκία παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων, τον βασικό ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας που έχουμε ήδη συζητήσει σε προηγούμενα άρθρα τώρα αφού συζητήσαμε τις διάφορες κατανομές και τους τύπους των κατανομών, στο επόμενο άρθρο θα εξοικειωθούμε με μερικά περισσότερα προηγμένες ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.
Προσδοκία αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών | Προσδοκία συνάρτησης τυχαίων μεταβλητών | Προσδοκία κοινής κατανομής πιθανότητας
Γνωρίζουμε ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής διακριτής φύσης είναι
και για το συνεχές είναι
τώρα για την τυχαία μεταβλητή Χ και Υ αν είναι διακριτές τότε με την άρθρωση συνάρτηση μάζας πιθανότητας p (x, y)
Η προσδοκία της συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής X και Y θα είναι
και εάν είναι συνεχής τότε με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης f (x, y) η προσδοκία της συνάρτησης της τυχαίας μεταβλητής X και Y θα είναι
εάν g είναι προσθήκη αυτών των δύο τυχαίων μεταβλητών σε συνεχή μορφή το
και αν για τις τυχαίες μεταβλητές X και Y έχουμε
Χ>Υ
τότε η προσδοκία επίσης
Παράδειγμα
Ένα νοσοκομείο Covid-19 κατανέμεται ομοιόμορφα στο δρόμο του μήκους L στο σημείο X, ένα όχημα που μεταφέρει οξυγόνο για τους ασθενείς βρίσκεται σε μια τοποθεσία Y που επίσης διανέμεται ομοιόμορφα στο δρόμο. Βρείτε την αναμενόμενη απόσταση μεταξύ του νοσοκομείου Covid-19 και όχημα μεταφοράς οξυγόνου εάν είναι ανεξάρτητα.
Λύση:
Για να βρούμε την αναμενόμενη απόσταση μεταξύ Χ και Υ πρέπει να υπολογίσουμε το E {| XY | }
Τώρα θα είναι η συνάρτηση πυκνότητας αρθρώσεων των Χ και Υ
αφού
ακολουθώντας αυτό έχουμε
Τώρα η τιμή του ολοκληρωμένου θα είναι
Έτσι, η αναμενόμενη απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων θα είναι
Προσδοκία μέσου δείγματος
Ως δείγμα μέσος όρος της ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών X1, Χ2, ………, Χn με συνάρτηση κατανομής F και αναμενόμενη τιμή καθενός ως μ
έτσι η προσδοκία αυτού του μέσου δείγματος θα είναι
που δείχνει την αναμενόμενη τιμή του μέσου δείγματος είναι επίσης μ.
Ανισότητα Boole
του Μπουλ η ανισότητα μπορεί να επιτευχθεί με τη βοήθεια ιδιοτήτων των προσδοκιών, ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή X ορίζεται ως
όπου
εδω εναi Είναι τα τυχαία συμβάντα, αυτό σημαίνει ότι η τυχαία μεταβλητή X αντιπροσωπεύει την εμφάνιση του αριθμού των συμβάντων Αi και μια άλλη τυχαία μεταβλητή Y ως
σαφώς
Χ>=Υ
E[X] >= E[Y]
και έτσι είναι
τώρα αν λάβουμε την τιμή της τυχαίας μεταβλητής X και Y, αυτή η προσδοκία θα είναι
και
Αντικαθιστώντας αυτές τις προσδοκίες στην παραπάνω ανισότητα, θα έχουμε την ανισότητα του Boole ως
Προσδοκία διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής | Μέσος όρος τυχαίας μεταβλητής Binomial
Γνωρίζουμε ότι το διωνυμική τυχαία μεταβλητή είναι η τυχαία μεταβλητή που δείχνει τον αριθμό των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας ως p και αποτυχία ως q = 1-p, έτσι εάν
X = Χ1 + Χ2+ ……n
Πού
εδώ αυτά τα Χi είναι το Μπερνούλι και η προσδοκία θα είναι
οπότε η προσδοκία του Χ θα είναι
Προσδοκία αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής | Μέσος όρος αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής
Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή X που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των δοκιμών που απαιτούνται για τη συλλογή επιτυχιών r, τότε μια τέτοια τυχαία μεταβλητή είναι γνωστή ως αρνητική διωνυμική τυχαία μεταβλητή και μπορεί να εκφραστεί ως
εδώ κάθε Χi δηλώστε τον αριθμό των δοκιμών που απαιτούνται μετά την επιτυχία (i-1) για να αποκτήσετε το σύνολο των επιτυχιών i.
Δεδομένου ότι κάθε ένα από αυτά τα Xi αντιπροσωπεύουν τη γεωμετρική τυχαία μεταβλητή και γνωρίζουμε ότι η προσδοκία για τη γεωμετρική τυχαία μεταβλητή είναι
so
Ποιο είναι το προσδοκία αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής.
Προσδοκία υπεργεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής | Μέσος όρος υπεργεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής
Η προσδοκία ή ο μέσος όρος της υπεργεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής που θα λάβουμε με τη βοήθεια ενός απλού πραγματικού παραδείγματος, εάν n αριθμός βιβλίων επιλέγεται τυχαία από ένα ράφι που περιέχει Ν βιβλία των οποίων είναι μαθηματικά, τότε για να βρούμε τον αναμενόμενο αριθμό Τα βιβλία μαθηματικών επιτρέπουν στο Χ να υποδηλώνει τον αριθμό των επιλεγμένων βιβλίων μαθηματικών, τότε μπορούμε να γράψουμε το Χ ως
όπου
so
=n/N
που δίνει
που είναι ο μέσος όρος μιας τέτοιας υπεργεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής.
Αναμενόμενος αριθμός αγώνων
Αυτό είναι πολύ δημοφιλές πρόβλημα που σχετίζεται με την προσδοκία, ας υποθέσουμε ότι σε ένα δωμάτιο υπάρχει Ν αριθμός ατόμων που ρίχνουν τα καπέλα τους στη μέση του δωματίου και όλα τα καπέλα αναμιγνύονται μετά από αυτό κάθε άτομο επιλέγει τυχαία ένα καπέλο και στη συνέχεια τον αναμενόμενο αριθμό ατόμων που επιλέγουν το δικό τους καπέλο που μπορούμε να αποκτήσουμε αφήνοντας το X να είναι ο αριθμός των αγώνων έτσι
Πού
δεδομένου ότι κάθε άτομο έχει την ίδια ευκαιρία να επιλέξει οποιοδήποτε από τα καπέλο από τα καπέλα Ν τότε
so
που σημαίνει ότι ένα άτομο επιλέγει κατά μέσο όρο το δικό του καπέλο.
Η πιθανότητα ένωσης γεγονότων
Ας αποκτήσουμε την πιθανότητα ένωσης των γεγονότων με τη βοήθεια της προσδοκίας, έτσι ώστε για τα γεγονότα Αi
με αυτό παίρνουμε
έτσι η προσδοκία αυτού θα είναι
και επέκταση χρησιμοποιώντας την ιδιότητα προσδοκίας ως
αφού έχουμε
και
so
Αυτό συνεπάγεται την πιθανότητα ένωσης ως
Όρια από την προσδοκία χρησιμοποιώντας πιθανοτική μέθοδο
Ας υποθέσουμε ότι το S είναι ένα πεπερασμένο σετ και το f είναι η συνάρτηση στα στοιχεία των S και
εδώ μπορούμε να αποκτήσουμε το κατώτερο όριο για αυτό το m με προσδοκία f (s) όπου το "s" είναι οποιοδήποτε τυχαίο στοιχείο του S του οποίου η προσδοκία μπορούμε να υπολογίσουμε έτσι
εδώ έχουμε την προσδοκία ως το κατώτερο όριο για τη μέγιστη τιμή
Μέγιστη-Ελάχιστη ταυτότητα
Μέγιστη Ελάχιστη ταυτότητα είναι το μέγιστο του συνόλου των αριθμών στο ελάχιστο των υποσύνολων αυτών των αριθμών που είναι για οποιονδήποτε αριθμόi
Για να το δείξουμε, ας περιορίσουμε το xi εντός του διαστήματος [0,1], ας υποθέσουμε μια ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή U στο διάστημα (0,1) και τα συμβάντα Αi καθώς η ομοιόμορφη μεταβλητή U είναι μικρότερη από xi αυτό είναι
δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από τα παραπάνω συμβάντα συμβαίνει καθώς το U είναι μικρότερο από ένα, η τιμή του xi
και
Σαφώς ξέρουμε
και όλα τα συμβάντα θα συμβούν εάν το U είναι μικρότερο από όλες τις μεταβλητές και
η πιθανότητα δίνει
έχουμε το αποτέλεσμα πιθανότητας ένωσης ως
ακολουθώντας αυτόν τον τύπο αποκλεισμού συμπερίληψης για την πιθανότητα
σκεφτείτε
αυτό δίνει
αφού
που σημαίνει
- ως εκ τούτου μπορούμε να το γράψουμε ως
λαμβάνοντας την προσδοκία μπορούμε να βρούμε αναμενόμενες τιμές μέγιστων και μερικών ελάχιστων ως
Συμπέρασμα:
Η Προσδοκία ως προς την ποικίλη κατανομή και τη συσχέτιση της προσδοκίας με ορισμένα από τα θεωρία πιθανότητας Οι έννοιες ήταν το επίκεντρο αυτού του άρθρου, το οποίο δείχνει τη χρήση της προσδοκίας ως εργαλείου για τη λήψη αναμενόμενων τιμών διαφορετικών ειδών τυχαίων μεταβλητών, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, διαβάστε τα παρακάτω βιβλία.
Για περισσότερα άρθρα σχετικά με τα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
