Θεώρημα του Μίλμαν | Επισκόπηση και επεξηγήσεις | 3+ Σημαντικά βήματα

Το Θεώρημα του Μίλμαν

Πιστωτική εικόνα εξωφύλλου - RufustelestratΑντανακλαστική λίμνη του Σαν ΝτιέγκοCC BY-SA 3.0

Σημεία συζητήσεων

Εισαγωγή στο Θεώρημα του Μίλμαν

Στα προηγούμενα άρθρα Advanced Electrical Circuit Analysis, έχουμε συζητήσει μερικές από τις θεμελιώδεις θεωρίες όπως - Theorem Thevenem, Norton's Theorem, Superposition Theorem, κλπ. Έχουμε επίσης γνωρίσει το Maximum Power transfer theorem για να ανακαλύψουμε τη μέγιστη αντίσταση φορτίου στην αποστράγγιση πλήρης δύναμη. Σε αυτό το άρθρο, θα μάθουμε για μια άλλη σημαντική και θεμελιώδη ηλεκτρική ανάλυση για την αντιμετώπιση πολύπλοκων κυκλωμάτων, γνωστών ως θεώρημα του Μίλμαν. Θα συζητήσουμε τη θεωρία, τη διαδικασία επίλυσης των προβλημάτων που σχετίζονται με αυτήν τη θεωρία, τις εφαρμογές αυτής της θεωρίας και άλλες σημαντικές πτυχές.

Ο καθηγητής Jacob Millman απέδειξε αρχικά το θεώρημα και γι 'αυτό πήρε το όνομά του. Αυτή η θεωρία μας βοηθά να απλοποιήσουμε το κύκλωμα. Έτσι, γίνεται ευκολότερη η ανάλυση του κυκλώματος. Αυτό το θεώρημα είναι επίσης γνωστό ως «παράλληλο θεώρημα γεννήτριας». Το θεώρημα του Millman εφαρμόζεται σε μαθήματα για τον υπολογισμό της τάσης ορισμένων συγκεκριμένων κυκλωμάτων. Είναι ένα από τα βασικά θεωρήματα στην Ηλεκτρολογία.

Τι σημαίνει το θεώρημα του Thevenin; Κάντε κλικ ΕΔΩ!

Θεωρία του Θεωρήματος του Μίλμαν

Το Θεώρημα του Μίλμαν: Δηλώνει ότι εάν πολλαπλές πηγές τάσης (που έχουν εσωτερικές αντιστάσεις) συνδέονται παράλληλα, αυτό το συγκεκριμένο κύκλωμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα απλούστερο κύκλωμα μιας μόνο πηγής τάσης και μια αντίσταση σε σειρά.

Αυτή η θεωρία μας βοηθά να ανακαλύψουμε τάσεις στο τέλος των παράλληλων κλάδων εάν το κύκλωμα είναι δομημένο σε παράλληλες συνδέσεις. Ο κύριος στόχος αυτής της θεωρίας δεν είναι παρά η μείωση της πολυπλοκότητας του κυκλώματος.

Εφαρμογές του Θεωρήματος του Μίλμαν

Το θεώρημα του Μίλμαν είναι ένα από τα αποτελεσματικά θεωρήματα. Γι 'αυτό υπάρχουν πολλές πραγματικές εφαρμογές για αυτήν τη θεωρία. Το θεώρημα του Millman ισχύει για ένα κύκλωμα με πολλαπλές πηγές τάσης με τις εσωτερικές τους αντιστάσεις με παράλληλα συνδεδεμένο τρόπο. Βοηθά στην επίλυση προβλημάτων περίπλοκων θεωρητικών κυκλωμάτων. Μη ισορροπημένες γέφυρες, προβλήματα παράλληλου κυκλώματος μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα.

Τι είναι τα θεωρήματα δικτύου; Κάντε κλικ ΕΔΩ!

Βήματα για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με το Θεώρημα του Μίλμαν

Γενικά, τα συγκεκριμένα βήματα παρακολουθούνται για την επίλυση προβλημάτων θεωρίας του Millman. Υπάρχουν πολλές άλλες διαδρομές, αλλά ακολουθώντας αυτά τα παρακάτω βήματα θα οδηγήσετε σε πιο αποτελεσματικό αποτέλεσμα.

1 βήμα: Μάθετε την τιμή αγωγιμότητας κάθε πηγής τάσης.

Βήμα 2: Αφαιρέστε την αντίσταση φορτίου. Υπολογίστε την ισοδύναμη αγωγιμότητα του κυκλώματος.

Βήμα 3: Το κύκλωμα είναι τώρα έτοιμο να εφαρμόσει το Millor's Theorem. Εφαρμόστε το θεώρημα για να μάθετε την ισοδύναμη τάση πηγής V. Η παρακάτω εξίσωση δίνει την τιμή V.

V = (± V.)1 G1 ± Β2 G2 ± Β3 G3 ±… ± Vn Gn) / Ζ1 + Ζ2 + Ζ3 +… + Ζn

V1, V2, V3 είναι οι τάσεις και το G1, ΣΟΛ2, ΣΟΛ3 είναι η αντίστοιχη αγωγιμότητα τους.

Βήμα 4: Τώρα, μάθετε την ισοδύναμη αντίσταση σειράς του κυκλώματος με τη βοήθεια της τιμής αγωγιμότητας, που υπολογίστηκε νωρίτερα. Η ισοδύναμη αντίσταση σειράς δίνεται από την έκφραση: R = 1 / G

Βήμα 5: Επιτέλους, υπολογίστε το ρεύμα μέσω του φορτίου με την ακόλουθη εξίσωση.

IL = V / (R + RL)

Εδώ εγώL είναι το ρεύμα μέσω της αντίστασης φορτίου. ΡL είναι η αντίσταση φορτίου. Το R είναι η ισοδύναμη αντίσταση της σειράς. V είναι η ίδια τάση πηγής που υπολογίζεται με τη βοήθεια αγωγιμότητας των αντίστοιχων τάσεων τους.

Τι είναι το Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος; Κάντε κλικ ΕΔΩ!

Επεξήγηση του Θεωρήματος του Μίλμαν

Για να εξηγήσουμε λεπτομερώς το θεώρημα, ας πάρουμε ένα παράδειγμα συγκεκριμένου κυκλώματος. Η παρακάτω εικόνα περιγράφει το απαιτούμενο κύκλωμα. Η εικόνα δείχνει ένα τυπικό κύκλωμα DC με πολλαπλές παράλληλες τάσεις πηγής με τις εσωτερικές τους αντιστάσεις και με την αντίσταση φορτίου. Το RL δίνει την τιμή της αντίστασης φορτίου.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Παράδειγμα Κύκλου για επεξηγήσεις, Θεώρημα του Μίλμαν, Εικόνα - 1

Ας υποθέσουμε ότι το «I» είναι η τρέχουσα τιμή μέσω των παράλληλων πηγών ρεύματος. Το G δίνει την ισοδύναμη τιμή αγωγιμότητας ή εισαγωγής. Το προκύπτον κύκλωμα φαίνεται παρακάτω.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Το προκύπτον κύκλωμα, Millor's Theorem, Image - 2

I = εγώ1 + Ι2 +I3 +…

G = Ζ1 + Ζ2 + Ζ3 +….

Τώρα, η τελική πηγή ρεύματος αντικαθίσταται από μια ισοδύναμη τάση πηγής. Η τάση «V» μπορεί να γραφτεί ως: V = 1 / G = (± I1 ± Ι2 ± Ι3 ±… ± In) / (Ζ1 +G2 + Ζ3 +… + Ζn)

Και ισοδύναμη αντίσταση σειράς έρχεται ως:

R = 1 / G = 1 / (G1 + Ζ2 + Ζ3 +… + Ζn)

Τώρα, γνωρίζουμε ότι V = IR και R = 1 / G

Έτσι, το V μπορεί να γραφτεί ως:

V = [± (V1 / R1) ± (V2 / R2) ± (V3 / R3) ±… ± (Vn / Rn)] / [(1 / R1) ± (1 / R2) ± (1 / R3) ±… ± (1 / Rn)]

Το R είναι η ισοδύναμη αντίσταση της σειράς.

Τώρα, σύμφωνα με τη θεωρία του Millman, η ισοδύναμη πηγή τάσης είναι:

V = (± V.)1 G1 ± Β2 G2 ± Β3 G3 ±… ± Vn Gn) / (Ζ1 + Ζ2 + Ζ3 +… + Ζn)

Ή, V = Σ (n, k = 1) Vk Gk / Σ (n, k = 1) Gk

Gk = 1 / Rk

Για να μάθετε για τους νόμους του Kirchhoff: Κάντε κλικ εδώ!

Επίλυση προβλημάτων στο Θεώρημα του Μίλμαν

1. Δίνεται ένα σύνθετο κύκλωμα παρακάτω. Βρείτε το ρεύμα μέσω της αντίστασης 4 ohms. Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα του Millman για να λύσετε το πρόβλημα.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Πρόβλημα - 1, Θεώρημα του Μίλμαν, Εικόνα - 3

Λύση: Θα επιλύσουμε το πρόβλημα ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα.

Έτσι, πρέπει να μάθουμε την τιμή τάσης και την αντίστοιχη τιμή αντίστασης.

Γνωρίζουμε ότι η τάση δίνεται από,

V = [± (V1 / R1) ± (V2 / R2) ± (V3 / R3) ±… ± (Vn / Rn)] / [(1 / R1) ± (1 / R2) ± (1 / R3) ±… ± (1 / Rn)]

Εδώ, έχουμε τρεις πηγές τάσης και τρεις αντιστάσεις. Έτσι, η ενημερωμένη εξίσωση θα είναι,

VAB = [± (V1 / R1) ± (V2 / R2) ± (V3 / R3)] / [(1 / R1) ± (1 / R2) ± (1 / R3)]

VAB = [(5/6) + (6/4) + (4/2)] / [(1/6) + (1/4) + (1/2)]

VAB = 4.33/0.9167

Ή, VAB = 4.727 V

Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος, ή η ισοδύναμη αντίσταση του Thevenin είναι Rth.

RTH = [(1/6) + (1/4) + (1/2)] -1

Ή, RTH = 1.09 ohms

Στο τελευταίο βήμα, θα μάθουμε την τρέχουσα τιμή μέσω της αντίστασης φορτίου, δηλαδή 4 ohms.

Ξέρουμε ότι, IL = VAB / (ΡTH + RL)

Ή, εγώL = 4.727 / (1.09 + 4)

Ή, εγώL = 4.727/5.09

Ή, εγώL = 0.9287 Α

Έτσι, το φορτίο ρεύματος έως 4 ωμ φορτίο είναι 0.9287 A.

Μάθετε για τα βασικά του κυκλώματος AC: Κάντε κλικ εδώ!

2. Ένα πολύπλοκο ηλεκτρικό κύκλωμα δίνεται παρακάτω. Μάθετε το ρεύμα μέσω της αντίστασης φόρτωσης 16 ohms. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Millman για να λύσετε τα προβλήματα.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Πρόβλημα - 2, Θεώρημα του Μίλμαν, Εικόνα - 4

Λύση: Θα επιλύσουμε το πρόβλημα ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα.

Αρχικά, πρέπει να υπολογίσουμε την τρέχουσα τιμή χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Norton.

Το τρέχον «I» μπορεί να γραφτεί ως: I = εγώ1 + Ι2 + Ι3

Ή, I = 10 + 6 - 8

Ή, I = 8 A

Τώρα πρέπει να μάθουμε την ισοδύναμη τιμή αντίστασης. Αντιπροσωπεύουμε τις ισοδύναμες αντιστάσεις του R1Ε2Ε3 ως RN.

Λοιπόν, RN = [(1 / R1) + (1 / R2) + (1 / R3)]-1

Ή, RN = [(1/24) + (1/8) + (1/12)]-1

Ή, RN = 4 ohms

Τώρα σχεδιάζουμε ξανά το κύκλωμα με ισοδύναμη τιμή τάσης και αντιστάσεων και τοποθετούμε την αντίσταση φορτίου του κυκλώματος.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Equivalent Circuit, Millman's Theorem, Εικόνα - 5

Στο τελευταίο βήμα, πρέπει να μάθουμε το τρέχον φορτίο. Ετσι, IL = I x R / (R + RL)

Ή, εγώL = 8 x 4 / (4 + 16)

Ή, εγώL = 1.6 Α.

Έτσι, το ρεύμα φορτίου μέσω της αντίστασης φορτίου 8 ohms είναι 1.6 A.

Μάθετε για το προηγμένο κύκλωμα AC: Κάντε κλικ εδώ!

3. Δίνεται ένα σύνθετο δίκτυο AC. Υπολογίστε το ρεύμα που διέρχεται από το Load ZL. Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα του Millman για να λύσετε το πρόβλημα.

Το Θεώρημα του Μίλμαν
Πρόβλημα - 3, Millor's Theorem Image - 6

Λύση: Θα επιλύσουμε το πρόβλημα ακολουθώντας τα προηγούμενα βήματα. Σε αυτό το πρόβλημα, μπορούμε να δούμε ότι δίνεται μια τρέχουσα πηγή. Αλλά γνωρίζουμε ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη θεωρία του Μίλμαν για μια τρέχουσα πηγή. Έτσι, είναι δυνατή η μετατροπή της τρέχουσας πηγής σε πηγή τάσης.

Τώρα, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Millman και ανακαλύπτουμε την ισοδύναμη τάση.

Ξέρουμε ότι,

V = [± (V1 / R1) ± (V2 / R2) ± (V3 / R3)] / [(1 / R1) ± (1 / R2) ± (1 / R3)]

Έτσι, V = (1 * 1 ∠0o + 1 * 5 ∠0o + 0.2 * 25 ∠0o) / (1 + 1 + 0.2)

Ή, V = 11 / 2.2 = 5 ∠0o V.

IL δίνει το ρεύμα μέσω της αντίστασης φορτίου.

Όπως γνωρίζουμε, V = IR.

Ή, εγώL = V / ZL = 5 ∠0o / (2 + j4)

Ή, εγώL = 1.12 ∠-63.43o A.

Έτσι, το ρεύμα μέσω της αντίστασης φορτίου είναι 1.12 ∠-63.43o A.  

Εξώφυλλο Φωτογραφία από: άβυσσος

Σχετικά με τη Sudipta Roy

Είμαι ενθουσιώδης των ηλεκτρονικών και επί του παρόντος αφιερώνω στον τομέα των ηλεκτρονικών και των επικοινωνιών.
Έχω έντονο ενδιαφέρον για την εξερεύνηση σύγχρονων τεχνολογιών όπως η AI & Machine Learning.
Τα γραπτά μου είναι αφιερωμένα στην παροχή ακριβών και ενημερωμένων δεδομένων σε όλους τους μαθητές.
Βοηθώντας κάποιον να αποκτήσει γνώση μου δίνει μεγάλη χαρά.

Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/sr-sudipta/

Lambda Geeks