Λειτουργία δημιουργίας στιγμής
Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής είναι πολύ σημαντική συνάρτηση που δημιουργεί τις στιγμές τυχαίας μεταβλητής που περιλαμβάνουν μέση, τυπική απόκλιση και διακύμανση κ.λπ. θα δει συναρτήσεις δημιουργίας στιγμής για τις διαφορετικές διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. δεδομένου ότι η συνάρτηση δημιουργίας ροπής (MGF) ορίζεται με τη βοήθεια της μαθηματικής προσδοκίας που υποδηλώνεται από το M (t) ως
και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του προσδοκία για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή αυτή η λειτουργία θα είναι
που αντικαθιστώντας την τιμή του t ως μηδέν δημιουργεί αντίστοιχες ροπές. Αυτές τις στιγμές πρέπει να συλλέξουμε διαφοροποιώντας αυτήν τη στιγμή δημιουργώντας τη λειτουργία για παράδειγμα για την πρώτη στιγμή ή σημαίνει ότι μπορούμε να αποκτήσουμε με τη διαφοροποίηση μία φορά ως
Αυτό δίνει την υπόδειξη ότι η διαφοροποίηση είναι εναλλάξιμη υπό την προσδοκία και μπορούμε να την γράψουμε ως
και
αν t = 0 οι παραπάνω στιγμές θα είναι
και
Σε γενικές γραμμές μπορούμε να το πούμε αυτό
ως εκ τούτου
Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της διωνυμικής κατανομής || Συνάρτηση δημιουργίας ροής διωνυμικής κατανομής || MGF της διωνυμικής κατανομής || Μέση και διακύμανση της διωνυμικής κατανομής χρησιμοποιώντας τη λειτουργία δημιουργίας ροπής
Η συνάρτηση δημιουργίας Moment για την τυχαία μεταβλητή X που είναι Binomally κατανομή θα ακολουθήσει τη συνάρτηση πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής με τις παραμέτρους n και p ως
που είναι το αποτέλεσμα από το διωνυμικό θεώρημα, τώρα διαφοροποιώντας και βάζοντας την τιμή του t = 0
που είναι η μέση ή πρώτη στιγμή της διωνυμικής κατανομής παρόμοια η δεύτερη στιγμή θα είναι
έτσι θα είναι η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής
που είναι ο τυπικός μέσος όρος και η διακύμανση της Binomial κατανομής, όπως και οι υψηλότερες στιγμές που μπορούμε να βρούμε χρησιμοποιώντας αυτήν τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής.
Λειτουργία δημιουργίας στιγμής του Poisson διανομή ||Poisson συνάρτηση δημιουργίας ροπής διανομής || MGF του Poisson διανομή || Μέση και μεταβλητή κατανομή Poisson χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας ροπής
Εάν έχουμε την τυχαία μεταβλητή X που είναι Poisson κατανεμημένη με την παράμετρο Lambda τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για αυτήν την κατανομή θα είναι
τώρα διαφοροποιώντας αυτό θα δώσει
αυτό δίνει
το οποίο δίνει τη μέση τιμή και τη διακύμανση για τη διανομή Poisson ίδια που ισχύει
Λειτουργία δημιουργίας στιγμής της εκθετικής κατανομής ||Εκθετικός συνάρτηση δημιουργίας ροπής διανομής || MGF του Εκθετικός διανομή || Μέσος όρος και διακύμανση του Εκθετικός διανομή χρησιμοποιώντας λειτουργία δημιουργίας ροπής
Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για την εκθετική τυχαία μεταβλητή X ακολουθώντας τον ορισμό είναι
εδώ η τιμή του t είναι μικρότερη από την παράμετρο lambda, διαφοροποιώντας τώρα αυτό που θα δώσει
που παρέχει τις στιγμές
σαφώς
Ποια είναι η μέση και η διακύμανση της εκθετικής κατανομής.
Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της κανονικής κατανομής ||NormaΛειτουργία δημιουργίας ροπής κατανομής || MGF του Normaκατανομή || Μέσος όρος και διακύμανση του Κανονικός διανομή χρησιμοποιώντας λειτουργία δημιουργίας ροπής
Η λειτουργία δημιουργίας ροπής για τις συνεχείς διανομές είναι επίσης ίδια με τη διακριτή, οπότε η συνάρτηση δημιουργίας ροπής για την κανονική κατανομή με τυπική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Αυτή η ολοκλήρωση μπορούμε να λύσουμε με προσαρμογή ως
δεδομένου ότι η τιμή ολοκλήρωσης είναι 1. Έτσι, η συνάρτηση δημιουργίας ροής για την τυπική κανονική διακύμανση θα είναι
από αυτό μπορούμε να βρούμε για οποιαδήποτε γενική κανονική τυχαία μεταβλητή τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής χρησιμοποιώντας τη σχέση
έτσι
οπότε η διαφοροποίηση μας δίνει
έτσι
οπότε η διακύμανση θα είναι
Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών
Η καλύτερη Λειτουργία δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών δίνει σημαντική ιδιότητα ότι ισούται με το προϊόν της συνάρτησης δημιουργίας ροής των αντίστοιχων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που είναι για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X και Y, τότε η συνάρτηση δημιουργίας ροής για το άθροισμα της τυχαίας μεταβλητής X + Y
Εδώ οι συναρτήσεις δημιουργίας ροπών κάθε X και Y είναι ανεξάρτητες από το ιδιότητα της μαθηματικής προσδοκίας. Στη διαδοχή θα βρούμε το άθροισμα των συναρτήσεων δημιουργίας ροπών διαφορετικών κατανομών.
Άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Binomial
Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y κατανέμονται με Binomial κατανομή με τις παραμέτρους (n, p) και (m, p) αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση δημιουργίας ροπής του αθροίσματος X + Y θα είναι
όπου οι παράμετροι για το άθροισμα είναι (n + m, p).
Άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Poisson
Η κατανομή για το άθροισμα των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y με αντίστοιχα μέσα που κατανέμονται από την κατανομή Poisson μπορούμε να βρούμε ως
Πού
είναι ο μέσος όρος της τυχαίας μεταβλητής Poisson X + Y.
Άθροισμα των κανονικών τυχαίων μεταβλητών
Σκεφτείτε το ανεξάρτητο κανονικές τυχαίες μεταβλητές X και Y με τις παραμέτρους
τότε για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών X + Y με παραμέτρους
οπότε η λειτουργία δημιουργίας στιγμής θα είναι
που είναι η λειτουργία δημιουργίας στιγμής με πρόσθετο μέσο όρο και διακύμανση.
Άθροισμα τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών
Για να βρούμε τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος του τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών ας υποθέσουμε την τυχαία μεταβλητή
όπου οι τυχαίες μεταβλητές X1,X2,… Είναι η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών οποιουδήποτε τύπου, οι οποίες είναι ανεξάρτητες και ταυτόχρονα κατανεμημένες, τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής θα είναι
Που δίνει τη συνάρτηση δημιουργίας ροής του Y σε διαφοροποίηση ως
ως εκ τούτου
με παρόμοιο τρόπο θα δώσει η διαφοροποίηση δύο φορές
που δίνουν
έτσι η διακύμανση θα είναι
Παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής Chi-square
Υπολογίστε τη συνάρτηση δημιουργίας ροής της τυχαίας μεταβλητής Chi-squared με n-βαθμό ελευθερίας.
Λύση: σκεφτείτε την τυχαία μεταβλητή Chi-squared με το n-βαθμό ελευθερίας για
η ακολουθία των τυπικών κανονικών μεταβλητών τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής θα είναι
έτσι δίνει
η κανονική πυκνότητα με μέση τιμή 0 και διακύμανση σ2 ενσωματώνεται στο 1
που είναι η απαιτούμενη συνάρτηση δημιουργίας ροής n βαθμού ελευθερίας.
Παράδειγμα ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής
Βρείτε τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής της τυχαίας μεταβλητής X η οποία κατανέμεται διωνυμικά με τις παραμέτρους n και p δεδομένου του υπό όρους τυχαία μεταβλητή Y=p στο διάστημα (0,1)
Λύση: Για να βρείτε τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου του Y
χρησιμοποιώντας τη διωνυμική κατανομή, το sin Y είναι η Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (0,1)
Λειτουργία δημιουργίας κοινών ροπών
Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης για τον αριθμό n των τυχαίων μεταβλητών X1,X2,…,Χn
όπου τ1,t2, …… τn είναι οι πραγματικοί αριθμοί, από τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης μπορούμε να βρούμε τη μεμονωμένη λειτουργία δημιουργίας ροπής ως
Θεώρημα: Οι τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είναι ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η λειτουργία δημιουργίας της κοινής μνήμης
Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι οι δεδομένες τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είναι ανεξάρτητοι τότε
Τώρα υποθέστε ότι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης ικανοποιεί την εξίσωση
- για να αποδείξει τις τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είμαστε ανεξάρτητοι έχουμε το αποτέλεσμα ότι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης δίνει μοναδικά την κατανομή αρθρώσεων (αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό αποτέλεσμα που απαιτεί απόδειξη) οπότε πρέπει να έχουμε κοινή κατανομή που δείχνει ότι οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, άρα αποδεικνύεται η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη
Παράδειγμα συνάρτησης δημιουργίας Joint Moment
1. Υπολογίστε τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής της τυχαίας μεταβλητής X + Y και XY
Λύση: Δεδομένου ότι το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών X + Y και η αφαίρεση των τυχαίων μεταβλητών XY είναι ανεξάρτητα όπως και για τις ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X και Y, έτσι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας στιγμής για αυτές
καθώς αυτή η λειτουργία δημιουργίας στιγμής καθορίζει την κοινή κατανομή, έτσι από αυτό μπορούμε να έχουμε τα X + Y και XY να είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
2. Εξετάστε για το πείραμα τον αριθμό των συμβάντων που μετρήθηκαν και μετρήθηκαν κατανεμημένες με κατανομή poisson με πιθανότητα p και το μέσο λ, δείξτε ότι ο αριθμός των συμβάντων που μετρήθηκαν και δεν μετρήθηκαν είναι ανεξάρτητοι με τα αντίστοιχα μέσα λp και λ (1-p).
Λύση: Θα θεωρήσουμε το Χ ως τον αριθμό των συμβάντων και το Χc ο αριθμός των μετρημένων συμβάντων, οπότε ο αριθμός των μη μετρημένων συμβάντων είναι XXc, η λειτουργία δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης δημιουργεί ροπή
και από τη στιγμή που δημιουργούν τη λειτουργία της διωνυμικής κατανομής
και να πάρουμε την προσδοκία από αυτά θα δώσουν
Συμπέρασμα:
Χρησιμοποιώντας τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης δημιουργίας ροπής, συζητήθηκαν οι στιγμές για τις διαφορετικές κατανομές όπως διωνυμικές, poisson, κανονικές κ.λπ. και το άθροισμα αυτών των τυχαίων μεταβλητών είτε η διακριτή είτε η συνεχής συνάρτηση δημιουργίας ροπής για αυτές και η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας ροής αποκτήθηκαν κατάλληλα παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα παρακάτω βιβλία.
Για περισσότερα άρθρα σχετικά με τα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών.
Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross
Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum
Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH
