Λειτουργίες δημιουργίας στιγμής | Οι 6 σημαντικές διανομές του

Λειτουργία δημιουργίας στιγμής    

Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής είναι πολύ σημαντική συνάρτηση που δημιουργεί τις στιγμές τυχαίας μεταβλητής που περιλαμβάνουν μέση, τυπική απόκλιση και διακύμανση κ.λπ. θα δει συναρτήσεις δημιουργίας στιγμής για τις διαφορετικές διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. δεδομένου ότι η συνάρτηση δημιουργίας ροπής (MGF) ορίζεται με τη βοήθεια της μαθηματικής προσδοκίας που υποδηλώνεται από το M (t) ως

M (t) = E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά]

και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της προσδοκίας για τη διακριτή και συνεχή τυχαία μεταβλητή αυτή η συνάρτηση θα είναι

M (t) = \ αριστερά \ {\ begin {array} {ll} \ sum_ {x} e ^ {tx} p (x) & \ text {if} X \ text {είναι διακριτή με λειτουργία μάζας} p (x ) \\ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ix} f (x) dx & \ text {if} X \ text {είναι συνεχής με πυκνότητα} f (x) \ end {array} \ σωστά.

που αντικαθιστώντας την τιμή του t ως μηδέν δημιουργεί αντίστοιχες ροπές. Αυτές τις στιγμές πρέπει να συλλέξουμε διαφοροποιώντας αυτήν τη στιγμή δημιουργώντας τη λειτουργία για παράδειγμα για την πρώτη στιγμή ή σημαίνει ότι μπορούμε να αποκτήσουμε με τη διαφοροποίηση μία φορά ως

\ start {aligned} M ^ {\ prime} (t) & = \ frac {d} {dt} E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [\ frac {d} {dt} \ αριστερά (e ^ {LX} \ δεξιά) \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [X e ^ {t X} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

Αυτό δίνει την υπόδειξη ότι η διαφοροποίηση είναι εναλλάξιμη υπό την προσδοκία και μπορούμε να την γράψουμε ως

\ frac {d} {dt} \ αριστερά [\ sum_ {x} e ^ {ix} p (x) \ right] = \ sum_ {x} \ frac {d} {dt} \ αριστερά [e ^ {\ operatorname {tr}} p (x) \ δεξιά]

\ frac {d} {dt} \ αριστερά [\ int e ^ {ix} f (x) dx \ right] = \ int \ frac {d} {dt} \ αριστερά [e ^ {tx} f (x) \ δεξιά] dx

αν t = 0 οι παραπάνω στιγμές θα είναι

M ^ {\ prime} (0) = E [X]

\ start {aligned} M ^ {\ prime \ prime} (t) & = \ frac {d} {dt} M ^ {\ prime} (t) \\ & = \ frac {d} {dt} E \ αριστερά [X e ^ {t X} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [\ frac {d} {dt} \ αριστερά (X e ^ {t X} \ δεξιά) \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [X ^ {2} e ^ {LX} \ δεξιά] \\ M ^ {\ prime \ prime} (0) & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

Σε γενικές γραμμές μπορούμε να το πούμε αυτό

M ^ {n} (t) = E \ αριστερά [X ^ {n} e ^ {t X} \ δεξιά] \ quad n \ geq 1

ως εκ τούτου

M ^ {n} (0) = E \ αριστερά [X ^ {n} \ δεξιά] \ quad n \ geq 1

Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της διωνυμικής κατανομής || Συνάρτηση δημιουργίας ροής διωνυμικής κατανομής || MGF της διωνυμικής κατανομής || Μέση και διακύμανση της διωνυμικής κατανομής χρησιμοποιώντας τη λειτουργία δημιουργίας ροπής

Η συνάρτηση δημιουργίας Moment για την τυχαία μεταβλητή X που είναι Binomally κατανομή θα ακολουθήσει τη συνάρτηση πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής με τις παραμέτρους n και p ως

\ begin {aligned} M (t) & = E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {n} e ^ {tk} \ αριστερά (\ έναρξη { array} {l} n \\ k \ end {array} \ δεξιά) p ^ {k} (1-p) ^ {nk} \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ αριστερά (\ έναρξη {array} {l} n \\ k \ end {array} \ δεξιά) \ αριστερά (pe ^ {t} \ δεξιά) ^ {k} (1-p) ^ {nk} \\ & = \ αριστερά ( pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n} \ end {στοίχιση}

που είναι το αποτέλεσμα από το διωνυμικό θεώρημα, τώρα διαφοροποιώντας και βάζοντας την τιμή του t = 0

M ^ {\ prime} (t) = n \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n-1} pe ^ {t} \\ E [X] = M ^ {\ prime} (0) = np

που είναι η μέση ή πρώτη στιγμή της διωνυμικής κατανομής παρόμοια η δεύτερη στιγμή θα είναι

M ^ {\ prime} (t) = n (n-1) \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n-2} \ αριστερά (pe ^ {t} \ δεξιά) ^ { 2} + n \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n-1} pe ^ {t} \\ E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] = M ^ {\ prime \ prime} (0) = n (n-1) p ^ {2} + np

έτσι θα είναι η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (X) & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2} \\ & = n (n-1) p ^ {2} + n pn ^ {2} p ^ {2} \\ & = np (1-p) \ end {στοίχιση}

που είναι ο τυπικός μέσος όρος και η διακύμανση της Binomial κατανομής, όπως και οι υψηλότερες στιγμές που μπορούμε να βρούμε χρησιμοποιώντας αυτήν τη λειτουργία δημιουργίας στιγμής.

Λειτουργία δημιουργίας στιγμής του Poisson διανομή ||Poisson συνάρτηση δημιουργίας ροπής διανομής || MGF του Poisson διανομή || Μέση και μεταβλητή κατανομή Poisson χρησιμοποιώντας συνάρτηση δημιουργίας ροπής

 Εάν έχουμε την τυχαία μεταβλητή X που είναι Poisson κατανεμημένη με την παράμετρο Lambda τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για αυτήν την κατανομή θα είναι

\ start {aligned} M (t) & = E \ αριστερά [e ^ {\ ell X} \ δεξιά] \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {in} e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {n}} {n!} \\ & = e ^ {- \ lambda} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ αριστερά (\ lambda e ^ {t} \ δεξιά) ^ {n}} {n!} \\ & = e ^ {- \ lambda} e \\ & = e ^ {\ αριστερά \ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \}} \ τέλος {στοίχιση}

τώρα διαφοροποιώντας αυτό θα δώσει

\ start {aligned} M ^ {\ prime} (t) & = \ lambda e ^ {t} e ^ {\ αριστερά \ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \}} \\ M ^ {\ prime \ prime} (t) & = \ αριστερά (\ lambda e ^ {t} \ δεξιά) ^ {2} e ^ {\ αριστερά \ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {t} - 1 \ δεξιά) \ δεξιά \}} + \ lambda e ^ {t} e ^ {\ αριστερά \ {\ lambda \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \}} \ τέλος {στοίχιση}

αυτό δίνει

\ start {aligned} E [X] & = M ^ {\ prime} (0) = \ lambda \\ E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] & = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ lambda ^ {2} + \ lambda \\ \ operatorname {Var} (X) & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2} \\ & = \ λάμδα \ τέλος {στοίχιση}

το οποίο δίνει τη μέση τιμή και τη διακύμανση για τη διανομή Poisson ίδια που ισχύει

Λειτουργία δημιουργίας στιγμής της εκθετικής κατανομής ||Εκθετικός συνάρτηση δημιουργίας ροπής διανομής || MGF του Εκθετικός διανομή || Μέσος όρος και διακύμανση του Εκθετικός διανομή χρησιμοποιώντας λειτουργία δημιουργίας ροπής

                Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής για την εκθετική τυχαία μεταβλητή X ακολουθώντας τον ορισμό είναι

\ start {aligned} M (t) & = E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] \\ & = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ lfloor x} \ lambda e ^ { - \ lambda x} dx \\ & = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (\ lambda-t) x} dx \\ & = \ frac {\ lambda} {\ lambda-t } \ quad \ text {για} t <\ lambda \ end {aligned}

εδώ η τιμή του t είναι μικρότερη από την παράμετρο lambda, διαφοροποιώντας τώρα αυτό που θα δώσει

M ^ {\ prime} (t) = \ frac {\ lambda} {(\ lambda-t) ^ {2}} \ quad M ^ {\ prime \ prime} (t) = \ frac {2 \ lambda} { (\ lambda-t) ^ {3}}

που παρέχει τις στιγμές

E [X] = M ^ {\ prime} (0) = \ frac {1} {\ lambda} \ quad E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ frac {2} {\ lambda ^ {2}}

σαφώς

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (X) & = E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2} \\ & = \ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ τέλος {στοίχιση}

Ποια είναι η μέση και η διακύμανση της εκθετικής κατανομής.

Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της κανονικής κατανομής ||NormaΛειτουργία δημιουργίας ροπής κατανομής || MGF του Normaκατανομή || Μέσος όρος και διακύμανση του Κανονικός διανομή χρησιμοποιώντας λειτουργία δημιουργίας ροπής

  Η λειτουργία δημιουργίας ροπής για τις συνεχείς διανομές είναι επίσης ίδια με τη διακριτή, οπότε η συνάρτηση δημιουργίας ροπής για την κανονική κατανομή με τυπική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

\ start {aligned} M_ {Z} (t) & = E \ αριστερά [e ^ {t Z} \ δεξιά] \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \ end {στοίχιση}

Αυτή η ολοκλήρωση μπορούμε να λύσουμε με προσαρμογή ως

\ begin {array} {l} = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ αριστερά \ {- \ frac {\ αριστερά (x ^ {2} -2 tx \ δεξιά)} {2} \ δεξιά \}} dx \\ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ε ^ {\ αριστερά \ {- \ frac {(xt) ^ {2}} {2} + \ frac {t ^ {2}} {2} \ δεξιά \}} dx \\ = e ^ {t ^ {2 } / 2} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (xt) ^ {2} / 2} dx \\ = e ^ {t ^ {2} / 2} \ end {array}

δεδομένου ότι η τιμή ολοκλήρωσης είναι 1. Έτσι, η συνάρτηση δημιουργίας ροής για την τυπική κανονική διακύμανση θα είναι

Μ_ {Z} (t) = e ^ {t ^ {2} / 2}

από αυτό μπορούμε να βρούμε για οποιαδήποτε γενική κανονική τυχαία μεταβλητή τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής χρησιμοποιώντας τη σχέση

X = \ mu + \ sigma Z

έτσι

\ start {aligned} M_ {X} (t) & = E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [e ^ {t (\ mu + \ sigma Z)} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [e ^ {t \ mu} e ^ {b \ sigma Z} \ δεξιά] \\ & = e ^ {t \ mu} E \ αριστερά [e ^ {k \ sigma Z} \ δεξιά] \\ & = e ^ {t \ mu} M_ {Z} (t \ sigma) \\ & = e ^ {t \ mu} e ^ {(t \ sigma) ^ {2} / 2} \\ & = e ^ {\ αριστερά \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ δεξιά \}} \ τέλος {στοίχιση}

οπότε η διαφοροποίηση μας δίνει

\ begin {array} {l} M_ {X} ^ {\ prime} (t) = \ αριστερά (\ mu + t \ sigma ^ {2} \ δεξιά) \ exp \ αριστερά \ {\ frac {\ sigma ^ { 2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ δεξιά \} \\ M_ {X} ^ {\ prime \ prime} (t) = \ αριστερά (\ mu + t \ sigma ^ {2} \ δεξιά) ^ {2} \ exp \ αριστερά \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ δεξιά \} + \ sigma ^ {2} \ exp \ αριστερά \ {\ frac {\ sigma ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu t \ δεξιά \} \ τέλος {πίνακας}

έτσι

\ start {aligned} E [X] & = M ^ {\ prime} (0) = \ mu \\ E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] & = M ^ {\ prime \ prime} (0) = \ mu ^ {2} + \ sigma ^ {2} \ end {στοίχιση}

οπότε η διακύμανση θα είναι

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (X) & = E \ left [X ^ {2} \ right] -E ([X]) ^ {2} \\ & = \ sigma ^ {2} \ τέλος {ευθυγραμμισμένος}

Συνάρτηση δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών

Η Λειτουργία δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών δίνει σημαντική ιδιότητα ότι ισούται με το προϊόν της συνάρτησης δημιουργίας ροής των αντίστοιχων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που είναι για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X και Y, τότε η συνάρτηση δημιουργίας ροής για το άθροισμα της τυχαίας μεταβλητής X + Y

Λειτουργία δημιουργίας στιγμής
MGF OF SUM

εδώ οι συναρτήσεις δημιουργίας στιγμής κάθε Χ και Υ είναι ανεξάρτητες από την ιδιότητα της μαθηματικής προσδοκίας. Στη διαδοχή θα βρούμε το άθροισμα των στιγμών που δημιουργούν συναρτήσεις διαφορετικών διανομών.

Άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Binomial

Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y κατανέμονται με Binomial κατανομή με τις παραμέτρους (n, p) και (m, p) αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση δημιουργίας ροπής του αθροίσματος X + Y θα είναι

\ start {aligned} M_ {X + Y} (t) = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) & = \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n} \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {m} \\ & = \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {m + n} \ τέλος {στοίχιση}

όπου οι παράμετροι για το άθροισμα είναι (n + m, p).

Άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Poisson

Η κατανομή για το άθροισμα των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y με αντίστοιχα μέσα που κατανέμονται από την κατανομή Poisson μπορούμε να βρούμε ως

\ start {aligned} M_ {X + Y} (t) & = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) \\ & = \ exp \ αριστερά \ {\ lambda_ {1} \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \} \ exp \ αριστερά \ {\ lambda_ {2} \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \} \\ & = \ exp \ αριστερά \ { \ αριστερά (\ lambda_ {1} + \ lambda_ {2} \ δεξιά) \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά) \ δεξιά \} \ τέλος {στοίχιση}

όπου

\ lambda_ {1} + \ lambda_ {2}

είναι ο μέσος όρος της τυχαίας μεταβλητής Poisson X + Y.

Άθροισμα των κανονικών τυχαίων μεταβλητών

     Εξετάστε τις ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές X και Y με τις παραμέτρους

αριστερά (\ mu_ {1}, \ sigma_ {1} ^ {2} \ δεξιά) \ και \ \ αριστερά (\ mu_ {2}, \ sigma_ {2} ^ {2} \ δεξιά)

τότε για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών X + Y με παραμέτρους

\ mu_ {1} + \ mu_ {2} \ και \ \ sigma_ {1} ^ {2} + \ sigma_ {2} ^ {2}

οπότε η λειτουργία δημιουργίας στιγμής θα είναι

\ start {aligned} M_ {X + Y} (t) & = M_ {X} (t) M_ {Y} (t) \\ & = e ^ {\ αριστερά \ {\ frac {\ sigma_ {1} ^ {2} t ^ {2}} {2} + \ mu_ {1} t \ δεξιά \} \ exp \ αριστερά \ {\ frac {\ sigma_ {2} ^ {2} τ ^ {2}} {2} + \ mu_ {2} t \ δεξιά \}} \\ & = e ^ {\ αριστερά \ {\ frac {\ αριστερά (\ sigma_ {1} ^ {2} + \ sigma_ {2} ^ {2} \ δεξιά ) t ^ {2}} {2} + \ αριστερά (\ mu_ {1} + \ mu_ {2} \ δεξιά) t \ δεξιά \}} \ τέλος {στοίχιση}

που είναι η λειτουργία δημιουργίας στιγμής με πρόσθετο μέσο όρο και διακύμανση.

Άθροισμα τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών

Για να βρούμε τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής του αθροίσματος του τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών ας υποθέσουμε την τυχαία μεταβλητή

Y = \ sum_ {i = 1} ^ {N} X_ {i

όπου οι τυχαίες μεταβλητές X1,X2,… Είναι η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών οποιουδήποτε τύπου, οι οποίες είναι ανεξάρτητες και ταυτόχρονα κατανεμημένες, τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής θα είναι

\ start {aligned} E \ left [\ exp \ left \ {t \ sum_ {1} ^ {N} X_ {i} \ right \} \ mid N = n \ right] & = E \ αριστερά [\ exp \ αριστερά \ {t \ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ δεξιά \} \ μέσα N = n \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [\ exp \ αριστερά \ {t \ sum_ {1} ^ {n} X_ {i} \ δεξιά \} \ δεξιά] \\ & = \ αριστερά [M_ {X} (t) \ δεξιά] ^ {n} \ τέλος {στοίχιση}

\ text {όπου} MX (t) = E \ αριστερά [e ^ {t X_ {i}} \ δεξιά] \\ \ κείμενο {Έτσι} E \ αριστερά [e ^ {t Y} \ mid N \ right] = \ αριστερά (M_ {X} (t) \ δεξιά) ^ {N} \\ M_ {Y} (t) = E \ αριστερά [\ αριστερά (M_ {X} (t) \ δεξιά) ^ {N} \ δεξιά ]

Που δίνει τη συνάρτηση δημιουργίας ροής του Y σε διαφοροποίηση ως

M_ {Y} ^ {\ prime} (t) = E \ αριστερά [N \ αριστερά (M_ {X} (t) \ δεξιά) ^ {N-1} M_ {X} ^ {\ prime} (t) \ σωστά]

ως εκ τούτου

\ start {aligned} E [Y] & = M_ {Y} ^ {\ prime} (0) \\ & = E \ αριστερά [N \ αριστερά (M_ {X} (0) \ δεξιά) ^ {N-1 } M_ {X} ^ {\ prime} (0) \ δεξιά] \\ & = E [NEX] \\ & = E [N] E [X] \ end {στοίχιση}

με παρόμοιο τρόπο θα δώσει η διαφοροποίηση δύο φορές

M_ {Y} ^ {\ prime \ prime} (t) = E \ αριστερά [N (N-1) \ αριστερά (M_ {X} (t) \ δεξιά) ^ {N-2} \ αριστερά (M_ {X } ^ {\ prime} (t) \ δεξιά) ^ {2} + N \ αριστερά (M_ {X} (t) \ δεξιά) ^ {N-1} M_ {X} ^ {\ prime \ prime} (t )\σωστά]

που δίνουν

\ start {aligned} E \ αριστερά [Y ^ {2} \ δεξιά] & = M_ {Y} ^ {\ prime \ prime} (0) \\ & = E \ αριστερά [N (N-1) (E [ X]) ^ {2} + NE \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \ δεξιά] \\ & = (E [X]) ^ {2} \ αριστερά (E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] -E [N] \ δεξιά) + E [N] E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] \\ & = E [N] \ αριστερά (E \ αριστερά [X ^ {2} \ δεξιά] - (E [X]) ^ {2} \ δεξιά) + (E [X]) ^ {2} E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] \\ & = E [N] \ όνομα λειτουργίας {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} E \ αριστερά [N ^ {2} \ δεξιά] \ τέλος {στοίχιση}

έτσι η διακύμανση θα είναι

\ begin {aligned} \ operatorname {Var} (Y) & = E [N] \ operatorname {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} \ αριστερά (E \ αριστερά [N ^ {2} \ right] - (E [N]) ^ {2} \ right) \\ & = E [N] \ operatorname {Var} (X) + (E [X]) ^ {2} \ operatorname {Var} ( N) \ τέλος {στοίχιση}

Παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής Chi-square

Υπολογίστε τη συνάρτηση δημιουργίας ροής της τυχαίας μεταβλητής Chi-squared με n-βαθμό ελευθερίας.

Λύση: σκεφτείτε την τυχαία μεταβλητή Chi-squared με το n-βαθμό ελευθερίας για

Z_ {1} ^ {2} + \ cdots + Z_ {n} ^ {2}

η ακολουθία των τυπικών κανονικών μεταβλητών τότε η συνάρτηση δημιουργίας στιγμής θα είναι

M (t) = \ αριστερά (E \ αριστερά [e ^ {t Z ^ {2}} \ δεξιά] \ δεξιά) ^ {n}

έτσι δίνει

\ begin {aligned} E \ left [e ^ {t Z ^ {2}} \ right] & = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx ^ {2}} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}} dx \ quad \ text {όπου} \ sigma ^ {2} = (1-2 t) ^ {- 1} \\ & = \ sigma \\ & = (1-2 t) ^ {- 1/2} \ end {στοίχιση}

η κανονική πυκνότητα με μέση τιμή 0 και διακύμανση σ2 ενσωματώνεται στο 1

M (t) = (1-2 t) ^ {- n / 2}

που είναι η απαιτούμενη συνάρτηση δημιουργίας ροής n βαθμού ελευθερίας.

Παράδειγμα ομοιόμορφης τυχαίας μεταβλητής

Βρείτε τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της τυχαίας μεταβλητής X που κατανέμεται δυο φορές με τις παραμέτρους n και p δεδομένης της τυχαίας τυχαίας μεταβλητής Y = p στο διάστημα (0,1)

Λύση: Για να βρείτε τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμής της τυχαίας μεταβλητής X δεδομένου του Y

E \ αριστερά [e ^ {XX} \ mid Y = p \ right] = \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n}

χρησιμοποιώντας τη διωνυμική κατανομή, το sin Y είναι η Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα (0,1)

\ begin {array} {l} E \ αριστερά [e ^ {t X} \ δεξιά] = \ int_ {0} ^ {1} \ αριστερά (pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά) ^ {n} dp \\ = \ frac {1} {e ^ {t} -1} \ int_ {1} ^ {e ^ {t}} y ^ {n} dy \\ = \ frac {1} {n + 1} \ frac {e ^ {t (n + 1)} - 1} {e ^ {t} -1} \\ = \ frac {1} {n + 1} \ αριστερά (1 + e ^ {t} + e ^ {2 t} + \ cdots + e ^ {nt} \ δεξιά) \ end {array} \\\ κείμενο {υποκαθιστώντας} \ left.y = pe ^ {t} + 1-p \ δεξιά)

Λειτουργία δημιουργίας κοινών ροπών

Η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης για τον αριθμό n των τυχαίων μεταβλητών X1,X2,…,Χn

M \ αριστερά (t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right) = E \ αριστερά [e ^ {t_ {1} X_ {1} + \ cdots + t_ {n} X_ {n}} \ δεξιά ]

όπου τ1,t2, …… τn είναι οι πραγματικοί αριθμοί, από τη συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης μπορούμε να βρούμε τη μεμονωμένη λειτουργία δημιουργίας ροπής ως

M_ {X_ {i}} (t) = E \ αριστερά [e ^ {t X_ {i}} \ δεξιά] = M (0, \ ldots, 0, t, 0, \ ldots, 0)

Θεώρημα: Οι τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είναι ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η λειτουργία δημιουργίας της κοινής μνήμης

M \ αριστερά (t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right) = M X_ {1} \ αριστερά (t_ {1} \ δεξιά) \ cdots M X_ {n} \ αριστερά (t_ {n} \ σωστά)

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι οι δεδομένες τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είναι ανεξάρτητοι τότε

\ start {aligned} M \ αριστερά (t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ δεξιά) & = E \ αριστερά [e ^ {\ αριστερά (t_ {1} X_ {1} + \ cdots + t_ { n} X_ {n} \ δεξιά)} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [e ^ {t_ {1} X_ {1}} \ ldots e ^ {t_ {n} X_ {n}} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [e ^ {t_ {1} X_ {1}} \ δεξιά] \ cdots E \ αριστερά [e ^ {t_ {n} X_ {n}} \ δεξιά] \ τετράγωνο \ κείμενο {από ανεξαρτησία} \\ & = M_ {X_ {1}} \ αριστερά (t_ {1} \ δεξιά) \ cdots M_ {X_ {n}} \ αριστερά (t_ {n} \ δεξιά) \ τέλος {στοίχιση}

Τώρα υποθέστε ότι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης ικανοποιεί την εξίσωση

M \ αριστερά (t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right) = M X_ {1} \ αριστερά (t_ {1} \ δεξιά) \ cdots M X_ {n} \ αριστερά (t_ {n} \ σωστά)

  • για να αποδείξει τις τυχαίες μεταβλητές X1,X2,…,Χn είμαστε ανεξάρτητοι έχουμε το αποτέλεσμα ότι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης δίνει μοναδικά την κατανομή αρθρώσεων (αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό αποτέλεσμα που απαιτεί απόδειξη) οπότε πρέπει να έχουμε κοινή κατανομή που δείχνει ότι οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, άρα αποδεικνύεται η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη

Παράδειγμα συνάρτησης δημιουργίας Joint Moment

1. Υπολογίστε τη συνάρτηση δημιουργίας ροπής της τυχαίας μεταβλητής X + Y και XY

Λύση: Δεδομένου ότι το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών X + Y και η αφαίρεση των τυχαίων μεταβλητών XY είναι ανεξάρτητα όπως και για τις ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X και Y, έτσι η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας στιγμής για αυτές

\ start {aligned} E \ αριστερά [e ^ {n (X + Y) + s (XY)} \ δεξιά] & = E \ αριστερά [e ^ {(t + s) X + (ts) Y} \ δεξιά] \\ & = E \ αριστερά [e ^ {(t + s) X} \ δεξιά] E \ αριστερά [e ^ {(ts) Y} \ δεξιά] \\ & = e ^ {\ mu (t + s) + \ sigma ^ {2} (t + s) ^ {2} / 2} e ^ {\ mu (ts) + \ sigma ^ {2} (ts) ^ {2} / 2} \\ & = e ^ {2 \ mu t + \ sigma ^ {2} t ^ {2}} e ^ {\ sigma ^ {2} s ^ {2}} \ τέλος {στοίχιση}

καθώς αυτή η λειτουργία δημιουργίας στιγμής καθορίζει την κοινή κατανομή, έτσι από αυτό μπορούμε να έχουμε τα X + Y και XY να είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

2. Εξετάστε για το πείραμα τον αριθμό των συμβάντων που μετρήθηκαν και μετρήθηκαν κατανεμημένες με κατανομή poisson με πιθανότητα p και το μέσο λ, δείξτε ότι ο αριθμός των συμβάντων που μετρήθηκαν και δεν μετρήθηκαν είναι ανεξάρτητοι με τα αντίστοιχα μέσα λp και λ (1-p).

Λύση: Θα θεωρήσουμε το Χ ως τον αριθμό των συμβάντων και το Χc ο αριθμός των μετρημένων συμβάντων, οπότε ο αριθμός των μη μετρημένων συμβάντων είναι XXc, η λειτουργία δημιουργίας στιγμιαίας σύνδεσης δημιουργεί ροπή

\ start {aligned} E \ αριστερά [e ^ {\ kappa X _ {\ varepsilon} + t \ αριστερά (X-X_ {c} \ δεξιά)} \ mid X = n \ δεξιά] & = e ^ {\ ln} E \ αριστερά [e ^ {(st) X_ {c}} \ mid X = n \ right] \\ & = e ^ {in} \ αριστερά (pe ^ {st} + 1-p \ δεξιά) ^ {n } \\ & = \ αριστερά (pe ^ {s} + (1-p) e ^ {t} \ δεξιά) ^ {n} \ τέλος {στοίχιση}

και από τη στιγμή που δημιουργούν τη λειτουργία της διωνυμικής κατανομής

E \ αριστερά [e ^ {s X _ {\ varepsilon} + t \ αριστερά (X-X _ {\ varepsilon} \ δεξιά)} \ μέσα X \ δεξιά] = \ αριστερά (pe ^ {s} + (1-p) ε ^ {t} \ δεξιά) ^ {X}

και να πάρουμε την προσδοκία από αυτά θα δώσουν

E \ αριστερά [e ^ {\ άθροισμα X_ {c} + t \ αριστερά (X-X_ {c} \ δεξιά)} \ δεξιά] = E \ αριστερά [\ αριστερά (pe ^ {s} + (1-p) e ^ {t} \ δεξιά) ^ {X} \ δεξιά] \\ \ έναρξη {στοίχιση} E \ αριστερά [e ^ {s X_ {c} + t \ αριστερά (X-X_ {c} \ δεξιά)} \ δεξιά] & = e ^ {\ lambda \ αριστερά (pe ^ {\ prime} + (1-p) e ^ {t} -1 \ δεξιά)} \\ & = e ^ {\ lambda p \ αριστερά (e ^ {c-1} \ δεξιά)} e ^ {\ lambda (1-p) \ αριστερά (e ^ {t} -1 \ δεξιά)} \ τέλος {στοίχιση}

Συμπέρασμα:

Χρησιμοποιώντας τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης δημιουργίας ροπής, συζητήθηκαν οι στιγμές για τις διαφορετικές κατανομές όπως διωνυμικές, poisson, κανονικές κ.λπ. και το άθροισμα αυτών των τυχαίων μεταβλητών είτε η διακριτή είτε η συνεχής συνάρτηση δημιουργίας ροπής για αυτές και η συνάρτηση δημιουργίας στιγμιαίας ροής αποκτήθηκαν κατάλληλα παραδείγματα, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση, ανατρέξτε στα παρακάτω βιβλία.

Για περισσότερα άρθρα σχετικά με τα Μαθηματικά, ανατρέξτε στο Σελίδα μαθηματικών.

Ένα πρώτο μάθημα πιθανότατα από τον Sheldon Ross

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

Εισαγωγή στις πιθανότητες και στα στατιστικά στοιχεία από τους ROHATGI και SALEH

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks