Κανονική τυχαία μεταβλητή | Οι σημαντικές του ιδιότητες

Κανονική τυχαία μεταβλητή και Κανονική κατανομή

      Η τυχαία μεταβλητή με αμέτρητο σύνολο τιμών είναι γνωστό ότι είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή και η λειτουργία πυκνότητας πιθανότητας με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης καθώς η περιοχή κάτω από την καμπύλη δίνει τη συνεχή κατανομή. Τώρα θα επικεντρωθούμε σε μια από τις πιο χρησιμοποιούμενες και συχνές συνεχείς τυχαίες μεταβλητές δηλαδή κανονική τυχαία μεταβλητή που έχει άλλο όνομα ως τυχαία μεταβλητή Gauss ή κατανομή Gauss.

Κανονική τυχαία μεταβλητή

      Κανονική τυχαία μεταβλητή είναι η συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ {^ {2}}}} \ \ - \ infty <x <\ infty

έχει κακό μ και διακύμανση σ2 καθώς οι στατιστικές παράμετροι και γεωμετρικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει καμπύλη σε σχήμα καμπάνας η οποία είναι συμμετρική ως προς.

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τη συνολική πιθανότητα ως έχει

\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ { ^ {2}}}} dx = 1

βάζοντας y = (x-μ) / σ

\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ { ^ {2}}}} dx = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} δ

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy = {\ sqrt {2 \ pi}}

ας \ \ I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy \ \ τότε

I ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {^ {2} / 2}} dx

= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ - ({y ^ 2 + x ^ 2}) / 2 \ \ dy dx

Αυτή η διπλή ολοκλήρωση μπορεί να επιλυθεί μετατρέποντάς την σε πολική μορφή

x = r \ cos \ theta, y = r \ sin \ theta, dydx = rdrd \ theta

I ^ {^ {2}} = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} e ^ - {r ^ {2} / 2} rd \ theta dr

= 2 \ pi \ int_ {0} ^ {\ infty} re ^ - {r ^ {2} / 2} \ \ dr

= - 2 \ pi e ^ {- r ^ {2} / 2} \ lvert _ {\ infty} ^ {0} = 2 \ pi

που είναι η απαιτούμενη τιμή, ώστε να επαληθεύεται για το ολοκληρωμένο Ι.

  • Εάν το X κατανέμεται κανονικά με την παράμετρο μ  και σ2 τότε το Y = aX + b κατανέμεται επίσης κανονικά με τις παραμέτρους aμ + b και a2μ2

Προσδοκία και διακύμανση της κανονικής τυχαίας μεταβλητής

Η αναμενόμενη τιμή της κανονικής τυχαίας μεταβλητής και η διακύμανση που θα λάβουμε με τη βοήθεια του

Z = \ frac {X- \ mu} {\ sigma}

όπου το X κατανέμεται κανονικά με τις μέσες παραμέτρους μ και τυπική απόκλιση σ.

E [Z] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xfZ (x) dx

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2} / 2} dx

= - \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ {2} / 2} \ lvert _ {- \ infty} ^ {\ infty} = 0

δεδομένου ότι ο μέσος όρος του Ζ είναι μηδέν, έτσι έχουμε τη διακύμανση ως

Var (Z) = E [Z ^ {2}]

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx

χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση κατά τμήματα

Var (Z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} (- xe ^ {- x ^ {2} / 2} \ lvert _ {- \ infty} ^ {\ infty} + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx)

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx = 1

για τη μεταβλητή Z η γραφική ερμηνεία έχει ως εξής

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

και η περιοχή κάτω από την καμπύλη για αυτήν τη μεταβλητή Z που είναι γνωστή ως τυπική κανονική μεταβλητή, αυτό υπολογίζεται για την αναφορά (δίνεται στον πίνακα), καθώς η καμπύλη είναι συμμετρική, οπότε για αρνητική τιμή η περιοχή θα είναι ίδια με εκείνη των θετικών τιμών

P \ αριστερά {Z \ leq -x \ right} = P \ αριστερά {Z> x \ δεξιά} \ \ - \ infty <x <\ infty

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

αφού χρησιμοποιήσαμε την αντικατάσταση

Z = \ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ \ X = \ mu + \ sigma Z

E [X] = \ mu + \ sigma E [Z] = \ mu

Var (X) = \ sigma ^ {2} Var (Z) = \ sigma ^ {2}

Εδώ λάβετε υπόψη ότι το Ζ είναι τυπικό κανονικό μεταβάλλεται όπου ως συνεχής τυχαία μεταβλητή το X κατανέμεται κανονικά κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση μ και τυπική απόκλιση σ .

Έτσι, για να βρούμε τη συνάρτηση διανομής για την τυχαία μεταβλητή θα χρησιμοποιήσουμε τη μετατροπή στην τυπική κανονική μεταβλητή ως

FX (a) = P \ αριστερά {X \ leq a \ right} = P (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ leq \ frac {a- \ mu} {\ sigma}) = \ Phi \ αριστερά (\ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ δεξιά)

για οποιαδήποτε τιμή a.

Παράδειγμα: Στην τυπική κανονική καμπύλη βρείτε την περιοχή μεταξύ των σημείων 0 και 1.2.

Εάν ακολουθήσουμε τον πίνακα, η τιμή 1.2 κάτω από τη στήλη 0 είναι 0.88493 και η τιμή 0 είναι 0.5000,

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

P \ αριστερά (0 \ leq Z \ leq 1.2 \ δεξιά) = \ Phi \ αριστερά (1.2 \ δεξιά) - \ Phi \ αριστερά (0 \ δεξιά) = 0.88493 -0.50000 = 0.38493

Παράδειγμα: βρείτε την περιοχή για την τυπική κανονική καμπύλη από -0.46 έως 2.21.

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

Από τη σκιασμένη περιοχή μπορούμε να διαιρούμε αυτήν την περιοχή από -0.46 έως 0 και 0 έως 2.21, επειδή η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική γύρω από τον άξονα y οπότε η περιοχή από -0.46 έως 0 είναι ίδια όπως είναι από 0 έως 0.46, έτσι από τον πίνακα

P \ αριστερά (-0.46 \ leq Z \ leq 0 \ δεξιά) = P \ αριστερά (0 \ leq Z \ leq 0.46 \ δεξιά) = 0.1772

P \ αριστερά (0 \ leq Z \ leq 2.21 \ δεξιά) = 0.4864

έτσι μπορούμε να το γράψουμε ως

Συνολική έκταση = (περιοχή μεταξύ z = -0.46 και z = 0) + (περιοχή μεταξύ z = 0 και z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Παράδειγμα: Εάν το Χ είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 3 και διακύμανση 9, τότε βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες

P \ αριστερά {2 <X <5 \ δεξιά}

P \ αριστερά \ {X> 0 \ δεξιά \}

P \ αριστερά {\ αριστερά | X - 3 \ δεξιά | > 6 \ δεξιά}

Λύση: αφού έχουμε

FX (a) = P \ αριστερά {X \ leq a \ right} = P \ αριστερά (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ leq \ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ δεξιά) = \ Phi \ αριστερά (\ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ δεξιά)

P \ αριστερά {2 <X <5 \ right} = P \ αριστερά {\ frac {2-3} {3} <\ frac {X-3} {3} <\ frac {5-3} {3} \ σωστά }

= P \ αριστερά {- \ frac {1} {3} <Z <\ frac {2} {3} \ δεξιά}

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

οπότε διχασμός στα διαστήματα -1/3 έως 0 και 0 έως 2/3 θα πάρουμε τη λύση από τις τιμές πίνακα

P \ αριστερά {- \ frac {1} {3} <Z <\ frac {2} {3} \ right} = P \ αριστερά {- \ frac {1} {3} <Z <0 \ right} + P \ αριστερά (0 <Z <\ frac {2} {3} \ δεξιά)

or

= \ Phi \ αριστερά (\ frac {2} {3} \ δεξιά) - \ Phi \ αριστερά (- \ frac {1} {3} \ δεξιά)

= \ Phi \ αριστερά (\ frac {2} {3} \ δεξιά) - \ αριστερά [1- \ Phi \ αριστερά (\ frac {1} {3} \ δεξιά) \ δεξιά]

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

P \ αριστερά {X> 0 \ δεξιά} = P \ αριστερά {\ frac {X-3} {3}> \ frac {0-3} {3} \ δεξιά} = P \ αριστερά {Z> -1 \ δεξιά }

= 1- \ Phi \ αριστερά (-1 \ δεξιά) = \ Phi \ αριστερά (1 \ δεξιά) \ περίπου 0.8413

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

P \ αριστερά {\ αριστερά | X -3 \ δεξιά | > 6 \ δεξιά} = P \ αριστερά {X> 9 \ δεξιά} + P \ αριστερά {X <-3 \ δεξιά}

= P \ αριστερά {\ frac {X-3} {3}> \ frac {9-3} {3} \ δεξιά} + P \ αριστερά {\ frac {X-3} {3} <\ frac {-3 -3} {3} \ δεξιά}

= P \ αριστερά {Z> 2 \ δεξιά} + P \ αριστερά {Z <-2 \ δεξιά}

= 1- \ Phi \ αριστερά (2 \ δεξιά) + \ Phi \ αριστερά (-2 \ δεξιά)

= 2 [1- \ Phi \ αριστερά (2 \ δεξιά)] \ 0456 περίπου

Κανονική τυχαία μεταβλητή
Κανονική τυχαία μεταβλητή

Παράδειγμα: Ένας παρατηρητής στην περίπτωση της πατρότητας δηλώνει ότι η διάρκεια (σε ημέρες) της ανθρώπινης ανάπτυξης

διανέμεται κανονικά με παραμέτρους μέση τιμή 270 και διακύμανση 100. Στην περίπτωση αυτή, ο ύποπτος που είναι πατέρας του παιδιού παρείχε την απόδειξη ότι ήταν έξω από τη χώρα κατά τη διάρκεια μιας περιόδου που ξεκίνησε 290 ημέρες πριν από τη γέννηση του παιδιού και έληξε 240 ημέρες νωρίτερα η γέννηση. Βρείτε την πιθανότητα ότι η μητέρα θα μπορούσε να είχε την πολύ μεγάλη ή πολύ σύντομη εγκυμοσύνη που έδειξε ο μάρτυρας;

Αφήστε το X να δηλώσει την κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή για κύηση και θεωρήστε ότι ο ύποπτος είναι ο πατέρας του παιδιού. Σε αυτήν την περίπτωση η γέννηση του παιδιού συνέβη εντός του καθορισμένου χρόνου έχει την πιθανότητα

P \ αριστερά {X> 290 \ \ ή \ \ X 290 \ δεξιά} + P \ αριστερά {X <240 \ δεξιά}

= P \ αριστερά {\ frac {X-270} {10}> 2 \ δεξιά} + P \ αριστερά {\ frac {X-270} {10} <-3 \ δεξιά}

= 1- \ Phi \ αριστερά (2 \ δεξιά) +1 - \ Phi \ αριστερά (3 \ δεξιά) \ περίπου .0241

Σχέση μεταξύ της κανονικής τυχαίας μεταβλητής και της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής

      Σε περίπτωση κατανομής Binomial ο μέσος όρος είναι np και η διακύμανση είναι npq, οπότε αν μετατρέψουμε μια τέτοια διωνυμική τυχαία μεταβλητή με τέτοια μέση και τυπική απόκλιση που έχει n πολύ μεγάλη και το p ή q είναι πολύ μικρό που πλησιάζει το μηδέν τότε η τυπική κανονική μεταβλητή Z με το βοήθεια αυτών των μέσων και διακύμανσης είναι

Z = \ frac {X - np} {\ sqrt {npq}}

εδώ σε όρους Δοκιμές Bernouli Ο Χ λαμβάνει υπόψη τον αριθμό επιτυχιών σε δοκιμές n. Καθώς το n αυξάνεται και πλησιάζει στο άπειρο, αυτή η κανονική διακύμανση πηγαίνει με τον ίδιο τρόπο για να γίνει τυπική κανονική μεταβολή.

Η σχέση του διωνυμικού και του τυπικού φυσιολογικού ποικίλλει που μπορούμε να βρούμε με τη βοήθεια του ακόλουθου θεώρημα.

Θεώρημα ορίου DeMoivre Laplace

If Sn δηλώνει τον αριθμό των επιτυχιών που προκύπτουν όταν n  ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία με αποτέλεσμα μια επιτυχία με πιθανότητα σελ , εκτελούνται, στη συνέχεια, για οποιοδήποτε α <b,

P \ αριστερά {a \ leq \ frac {S_ {n} -np} {\ sqrt {np \ αριστερά (1-p \ δεξιά)}} \ leq b \ δεξιά} \ δεξί βέλος \ Phi \ αριστερά (b \ δεξιά) - \ Phi \ αριστερά (α \ δεξιά)

ως \ \ n \ δεξί βέλος \ infty

 Με άλλα λόγια

\ lim_ {n \ to \ infty} P \ αριστερά (a \ leq \ frac {X -np} {\ sqrt {np \ αριστερά (1 -p \ δεξιά)}} \ leq b \ δεξιά) = \ frac {1 } {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_ {a} ^ {b} e ^ {- u ^ {2} / 2} du

Παράδειγμα: Με τη βοήθεια της κανονικής προσέγγισης της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης 20 φορές ουράς όταν ένα δίκαιο κέρμα πετάχτηκε 40 φορές.

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή X αντιπροσωπεύει την εμφάνιση της ουράς, καθώς η διωνυμική τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή και η κανονική τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή, ώστε να μετατρέψουμε τη διακριτή σε συνεχή, την γράφουμε ως

P \ αριστερά (X = 20 \ δεξιά) = P \ αριστερά {19.5 \ leq X \ leq 20.5 \ δεξιά}

= P \ αριστερά {\ frac {19.5-20} {\ sqrt {10}} <\ frac {X-20} {\ sqrt {10}} <\ frac {20.5-20} {\ sqrt {10}} \ σωστά }

\ περ. P \ αριστερά {-.16 <\ frac {X-20} {\ sqrt {10}} <.16 \ δεξιά}

\ περίπου \ Phi \ αριστερά (.16 \ δεξιά) - \ Phi \ αριστερά (-.16 \ δεξιά) \ περίπου .1272

και αν λύσουμε το δεδομένο παράδειγμα με τη βοήθεια της διωνυμικής κατανομής θα το πάρουμε ως

P \ αριστερά {X = 20 \ δεξιά} = \ binom {40} {20} \ αριστερά (\ frac {1} {2} \ δεξιά) ^ {40} \ περ. 1254

Παράδειγμα: Για να αποφασίσει την αποτελεσματικότητα μιας συγκεκριμένης τροφής στη μείωση της έκτασης της χοληστερόλης στην κυκλοφορία του αίματος, 100 άτομα τοποθετούνται στην τροφή. Ο αριθμός χοληστερόλης παρατηρήθηκε για τον καθορισμένο χρόνο μετά την παροχή της τροφής. Εάν από αυτό το δείγμα το 65 τοις εκατό έχει χαμηλό αριθμό χοληστερόλης, τότε η τροφή θα εγκριθεί. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο διατροφολόγος εγκρίνει τη νέα τροφή εάν, στην πραγματικότητα, δεν έχει καμία συνέπεια στο επίπεδο της χοληστερόλης;

λύση:  Αφήστε την τυχαία μεταβλητή να εκφράσει το επίπεδο χοληστερόλης εάν μειωθεί από την τροφή, οπότε η πιθανότητα για μια τέτοια τυχαία μεταβλητή θα είναι ½ για κάθε άτομο, εάν το Χ υποδηλώνει τον χαμηλό αριθμό επιπέδων ατόμων, τότε η πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος να εγκριθεί ακόμη και δεν υπάρχει επίδραση στην τροφή μείωση του επιπέδου της χοληστερόλης είναι

\ sum_ {i = 65} ^ {100} \ binom {100} {i} \ αριστερά (\ frac {1} {2} \ δεξιά) ^ {100} = P \ αριστερά {X \ geq 64.5 \ δεξιά}

= P \ αριστερά {\ frac {X- (100) \ αριστερά (\ frac {1} {2} \ δεξιά)} {\ sqrt {100 \ αριστερά (\ frac {1} {2} \ δεξιά) \ αριστερά ( \ frac {1} {2} \ δεξιά)}} \ geq 2.9 \ δεξιά}

\ περίπου 1- \ Phi \ αριστερά (2.9 \ δεξιά) \ περ .0019

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο η έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή κανονική τυχαία μεταβλητή και η κατανομή της με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συζητήθηκε και η μέση στατιστική παράμετρος, δίνεται διακύμανση για την κανονική τυχαία μεταβλητή. Η μετατροπή της κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής στο νέο πρότυπο κανονική μεταβλητή και η περιοχή κάτω από την καμπύλη για μια τέτοια τυπική κανονική μεταβολή δίνεται σε μορφή πίνακα μια από τις σχέσεις με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή αναφέρεται επίσης με παράδειγμα, εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, τότε περάστε :

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα μαθηματικά, ελέγξτε αυτή η σελίδα.

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks