Κανονική Τυχαία Μεταβλητή: 3 Σημαντικά Γεγονότα

Κανονική τυχαία μεταβλητή και Κανονική κατανομή

      Η τυχαία μεταβλητή με αμέτρητο σύνολο τιμών είναι γνωστό ότι είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή και η λειτουργία πυκνότητας πιθανότητας με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης καθώς η περιοχή κάτω από την καμπύλη δίνει τη συνεχή κατανομή. Τώρα θα επικεντρωθούμε σε μια από τις πιο χρησιμοποιούμενες και συχνές συνεχείς τυχαίες μεταβλητές δηλαδή κανονική τυχαία μεταβλητή που έχει άλλο όνομα ως τυχαία μεταβλητή Gauss ή κατανομή Gauss.

Κανονική τυχαία μεταβλητή

      Κανονική τυχαία μεταβλητή είναι η συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

έχει κακό μ και διακύμανση σ² καθώς οι στατιστικές παράμετροι και γεωμετρικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει καμπύλη σε σχήμα καμπάνας η οποία είναι συμμετρική ως προς.

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τη συνολική πιθανότητα ως έχει

βάζοντας y = (x-μ) / σ

Αυτή η διπλή ολοκλήρωση μπορεί να επιλυθεί μετατρέποντάς την σε πολική μορφή

που είναι η απαιτούμενη τιμή, ώστε να επαληθεύεται για το ολοκληρωμένο Ι.

• Εάν το X κατανέμεται κανονικά με την παράμετρο μ  και σ² τότε το Y = aX + b κατανέμεται επίσης κανονικά με τις παραμέτρους aμ + b και a²μ²

Προσδοκία και διακύμανση της κανονικής τυχαίας μεταβλητής

Η αναμενόμενη τιμή της κανονικής τυχαίας μεταβλητής και η διακύμανση που θα λάβουμε με τη βοήθεια του

όπου το X κατανέμεται κανονικά με τις μέσες παραμέτρους μ και τυπική απόκλιση σ.

δεδομένου ότι ο μέσος όρος του Ζ είναι μηδέν, έτσι έχουμε τη διακύμανση ως

χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση κατά τμήματα

για τη μεταβλητή Z η γραφική ερμηνεία έχει ως εξής

και η περιοχή κάτω από την καμπύλη για αυτήν τη μεταβλητή Z που είναι γνωστή ως τυπική κανονική μεταβλητή, αυτό υπολογίζεται για την αναφορά (δίνεται στον πίνακα), καθώς η καμπύλη είναι συμμετρική, οπότε για αρνητική τιμή η περιοχή θα είναι ίδια με εκείνη των θετικών τιμών

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

αφού χρησιμοποιήσαμε την αντικατάσταση

Εδώ να έχετε κατά νου ότι το Z είναι τυπική κανονική μεταβλητή όπου ως Η συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά κανονική τυχαία μεταβλητή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ.

Έτσι, για να βρούμε τη συνάρτηση διανομής για την τυχαία μεταβλητή θα χρησιμοποιήσουμε τη μετατροπή στην τυπική κανονική μεταβλητή ως

για οποιαδήποτε τιμή a.

Παράδειγμα: Στην τυπική κανονική καμπύλη βρείτε την περιοχή μεταξύ των σημείων 0 και 1.2.

Εάν ακολουθήσουμε τον πίνακα, η τιμή 1.2 κάτω από τη στήλη 0 είναι 0.88493 και η τιμή 0 είναι 0.5000,

Παράδειγμα: βρείτε την περιοχή για την τυπική κανονική καμπύλη από -0.46 έως 2.21.

Από τη σκιασμένη περιοχή μπορούμε να διαιρούμε αυτήν την περιοχή από -0.46 έως 0 και 0 έως 2.21, επειδή η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική γύρω από τον άξονα y οπότε η περιοχή από -0.46 έως 0 είναι ίδια όπως είναι από 0 έως 0.46, έτσι από τον πίνακα

και

έτσι μπορούμε να το γράψουμε ως

Συνολική έκταση = (περιοχή μεταξύ z = -0.46 και z = 0) + (περιοχή μεταξύ z = 0 και z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Παράδειγμα: Εάν το Χ είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 3 και διακύμανση 9, τότε βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες

P2

P{X>0}

Ρ|Χ-3|>6

Λύση: αφού έχουμε

οπότε διχασμός στα διαστήματα -1/3 έως 0 και 0 έως 2/3 θα πάρουμε τη λύση από τις τιμές πίνακα

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

και

Παράδειγμα: Ένας παρατηρητής στην περίπτωση της πατρότητας δηλώνει ότι η διάρκεια (σε ημέρες) της ανθρώπινης ανάπτυξης

διανέμεται κανονικά με παραμέτρους μέση τιμή 270 και διακύμανση 100. Στην περίπτωση αυτή, ο ύποπτος που είναι πατέρας του παιδιού παρείχε την απόδειξη ότι ήταν έξω από τη χώρα κατά τη διάρκεια μιας περιόδου που ξεκίνησε 290 ημέρες πριν από τη γέννηση του παιδιού και έληξε 240 ημέρες νωρίτερα η γέννηση. Βρείτε την πιθανότητα ότι η μητέρα θα μπορούσε να είχε την πολύ μεγάλη ή πολύ σύντομη εγκυμοσύνη που έδειξε ο μάρτυρας;

Αφήστε το X να δηλώσει την κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή για κύηση και θεωρήστε ότι ο ύποπτος είναι ο πατέρας του παιδιού. Σε αυτήν την περίπτωση η γέννηση του παιδιού συνέβη εντός του καθορισμένου χρόνου έχει την πιθανότητα

Σχέση μεταξύ της κανονικής τυχαίας μεταβλητής και της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής

      Σε περίπτωση κατανομής Binomial ο μέσος όρος είναι np και η διακύμανση είναι npq, οπότε αν μετατρέψουμε μια τέτοια διωνυμική τυχαία μεταβλητή με τέτοια μέση και τυπική απόκλιση που έχει n πολύ μεγάλη και το p ή q είναι πολύ μικρό που πλησιάζει το μηδέν τότε η τυπική κανονική μεταβλητή Z με το βοήθεια αυτών των μέσων και διακύμανσης είναι

εδώ σε όρους Δοκιμές Bernouli Ο Χ λαμβάνει υπόψη τον αριθμό επιτυχιών σε δοκιμές n. Καθώς το n αυξάνεται και πλησιάζει στο άπειρο, αυτή η κανονική διακύμανση πηγαίνει με τον ίδιο τρόπο για να γίνει τυπική κανονική μεταβολή.

Η σχέση του διωνυμικού και του τυπικού φυσιολογικού ποικίλλει που μπορούμε να βρούμε με τη βοήθεια του ακόλουθου θεώρημα.

Θεώρημα ορίου DeMoivre Laplace

If S_n δηλώνει τον αριθμό των επιτυχιών που προκύπτουν όταν n  ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία με αποτέλεσμα μια επιτυχία με πιθανότητα σελ , εκτελούνται, στη συνέχεια, για οποιοδήποτε α <b,

Παράδειγμα: Με τη βοήθεια της κανονικής προσέγγισης της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης 20 φορές ουράς όταν ένα δίκαιο κέρμα πετάχτηκε 40 φορές.

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή X αντιπροσωπεύει την εμφάνιση της ουράς, καθώς η διωνυμική τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή και η κανονική τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή, ώστε να μετατρέψουμε τη διακριτή σε συνεχή, την γράφουμε ως

και αν λύσουμε το δεδομένο παράδειγμα με τη βοήθεια της διωνυμικής κατανομής θα το πάρουμε ως

Παράδειγμα: Για να αποφασίσει την αποτελεσματικότητα μιας συγκεκριμένης τροφής στη μείωση της έκτασης της χοληστερόλης στην κυκλοφορία του αίματος, 100 άτομα τοποθετούνται στην τροφή. Ο αριθμός χοληστερόλης παρατηρήθηκε για τον καθορισμένο χρόνο μετά την παροχή της τροφής. Εάν από αυτό το δείγμα το 65 τοις εκατό έχει χαμηλό αριθμό χοληστερόλης, τότε η τροφή θα εγκριθεί. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο διατροφολόγος εγκρίνει τη νέα τροφή εάν, στην πραγματικότητα, δεν έχει καμία συνέπεια στο επίπεδο της χοληστερόλης;

λύση:  Αφήστε την τυχαία μεταβλητή να εκφράσει το επίπεδο χοληστερόλης εάν μειωθεί από την τροφή, οπότε η πιθανότητα για μια τέτοια τυχαία μεταβλητή θα είναι ½ για κάθε άτομο, εάν το Χ υποδηλώνει τον χαμηλό αριθμό επιπέδων ατόμων, τότε η πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος να εγκριθεί ακόμη και δεν υπάρχει επίδραση στην τροφή μείωση του επιπέδου της χοληστερόλης είναι

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο η έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή κανονική τυχαία μεταβλητή και η κατανομή του με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συζητήθηκαν και δίνεται η στατιστική παράμετρος μέσος όρος, διακύμανση για την κανονική τυχαία μεταβλητή. Η μετατροπή της κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής στη νέα τυπική κανονική μεταβλητή και στην περιοχή κάτω από την καμπύλη για μια τέτοια τυπική κανονική μεταβλητή δίνεται σε μορφή πίνακα μία από τις Η σχέση με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή αναφέρεται επίσης με παράδειγμα , αν θέλετε να διαβάσετε περαιτέρω, διαβάστε:

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα μαθηματικά, ελέγξτε αυτή η σελίδα.