Παραλλαγές και συνδυασμοί Προβλήματα και λύσεις Μέρος-II

  Αφού συζητήσουμε τους ορισμούς και τις βασικές έννοιες θα συμπεριλάβουμε όλα τα αποτελέσματα και τις σχέσεις του παραλλαγή και συνδυασμός, ανάλογα με όλα αυτά θα εξοικειωθούμε με την έννοια της παραλλαγής και του συνδυασμού λύνοντας διάφορα παραδείγματα.

Σημεία που πρέπει να θυμάστε (Παραλλαγή)

  1. Ο αριθμός των τρόπων παραγγελίας = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. Ο αριθμός τακτοποίησης n διαφορετικών αντικειμένων που λαμβάνονται όλα μαζί κάθε φορά είναι = nPn = ν!
  3. nP0 = n! / n! = 1
  4. Ρ = ν. n-1Pr-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r N)
  7. Ο αριθμός των τρόπων πλήρωσης r θέσεων όπου κάθε μέρος μπορεί να γεμίσει με οποιοδήποτε από τα n αντικείμενα, Ο αριθμός των μεταθέσεων = Ο αριθμός των τρόπων πλήρωσης r θέσεων = (n)r   

Παράδειγμα: Πόσοι αριθμοί μεταξύ 999 και 10000 μπορούν να δημιουργηθούν με τη βοήθεια των αριθμών 0, 2, 3,6,7,8 όπου τα ψηφία δεν πρέπει να αναπαραχθούν;

Λύση: Οι αριθμοί μεταξύ 999 και 10000 είναι τετραψήφιοι αριθμοί.

                   Οι τετραψήφιοι αριθμοί που κατασκευάζονται με τα ψηφία 0, 2, 3,6,7,8 είναι

Μετάθεση
Παραλλαγή: Παράδειγμα

  Αλλά εδώ εμπλέκονται και αυτοί οι αριθμοί που ξεκινούν από το 0. Έτσι μπορούμε να πάρουμε τους αριθμούς που σχηματίζονται με τρία ψηφία.

Λαμβάνοντας το αρχικό ψηφίο 0, ο αριθμός των τρόπων για να τακτοποιήσετε εκκρεμείς 3 θέσεις από πέντε ψηφία 2, 3,6,7,8 είναι 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Έτσι, οι απαιτούμενοι αριθμοί = 360-60 = 300.

Παράδειγμα: Πόσα βιβλία μπορούν να αναλυθούν στη σειρά έτσι ώστε τα δύο βιβλία που αναφέρονται δεν είναι μαζί;

Λύση: Συνολικός αριθμός παραγγελιών n διαφορετικών βιβλίων = n !.                                                                                                                

           Αν δύο βιβλία αναφέρονται πάντα μαζί, τότε αριθμός τρόπων = (n-1)! X2

Παράδειγμα: Πόσοι τρόποι χωρίζονται με 10 μπάλες μεταξύ δύο αγοριών, το ένα παίρνει δύο και τα άλλα οκτώ.

Λύση: A παίρνει 2, Β  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A παίρνει 8, Β παίρνει 2; 10! / (8! 2!) = 45

αυτό σημαίνει 45 + 45 = 90 τρόπους που θα χωριστεί η μπάλα.

Παράδειγμα: Αναζήτηση στον αριθμό της τακτοποίησης των αλφαβήτων της λέξης "CALCUTTA".

Λύση: Απαιτούμενος αριθμός τρόπων = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Παράδειγμα: Είκοσι άτομα έχουν προσκληθεί στο πάρτι. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούν και αυτοί να φιλοξενηθούν σε ένα στρογγυλό τραπέζι, εάν τα δύο άτομα πρέπει να καθίσουν και στις δύο πλευρές του τερματοφύλακα.

Λύση: Θα υπάρχουν συνολικά 20 + 1 = 21 άτομα συνολικά.

Τα δύο καθορισμένα άτομα και ο οικοδεσπότης πρέπει να θεωρούνται ως μία μονάδα, ώστε να παραμείνουν 21 - 3 + 1 = 19 άτομα να τακτοποιηθούν σε 18! τρόποι.

 Αλλά τα δύο συγκεκριμένα άτομα και στις δύο πλευρές του οικοδεσπότη μπορούν να τακτοποιηθούν σε 2! τρόποι.

  Ως εκ τούτου υπάρχουν 2! * 18! τρόποι.

Παράδειγμα : Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει μια γιρλάντα από ακριβώς 10 λουλούδια.

Λύση:  n Γιρλάντα λουλουδιών μπορεί να φτιαχτεί στο (n-1)! τρόποι.

Χρησιμοποιώντας 10 λουλούδια γιρλάντα μπορεί να προετοιμαστεί με 9! / 2 διαφορετικούς τρόπους.

Παράδειγμα: Βρείτε τον συγκεκριμένο τετραψήφιο αριθμό που πρέπει να σχηματιστεί με 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 έτσι ώστε κάθε αριθμός να έχει τον αριθμό 1.

Λύση: Αφού εξασφαλίσετε 1 στην πρώτη θέση από 4 θέσεις 3 θέσεις μπορούν να συμπληρωθούν από7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Αλλά μερικοί αριθμοί των οποίων το τέταρτο ψηφίο είναι μηδέν, έτσι τέτοιου είδους τρόποι =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   Συνολικοί τρόποι = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

Λάβετε υπόψη αυτά τα σημεία για το συνδυασμό

  • Ο αριθμός των συνδυασμών n αντικείμενα, εκ των οποίων p είναι πανομοιότυπα, λαμβάνονται r σε μια στιγμή είναι

npCr+npCr-1+npCr-2+ …… .. +npC0 , εάν r <= p και  npCr+npCr-1+npCr-2+… .. +npCrp  , εάν r> p

  1. n επιλέξτε 0 ή n επιλέξτε n είναι 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = ν.
  2. nCr + nCr-1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = y ή x + y = n
  4. n. n-1Cr-1 = (n-r + 1) nCr-1
  5. nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  8. Αριθμός συνδυασμών n ανόμοια πράγματα που λαμβάνονται όλα ταυτόχρονα. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

Σε συνέχεια θα λύσουμε μερικά παραδείγματα  

Παράδειγμα: If 15Cr=15Cr + 5 , τότε ποια είναι η τιμή του r;

Λύση: Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω

 nCr=nCαρ στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-r =15Cr + 5

=> 15-r = r + 5 => 2r = 10 => r = 10/2 = 5

έτσι η τιμή του r είναι 5 υποδηλώνει το πρόβλημα των 15 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 5.

Παράδειγμα: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 βρείτε την τιμή του r, έτσι ώστε η τιμή του nCr  θα είναι 15.

 Λύση: Εδώ ο δεδομένος όρος είναι η αναλογία 2n επιλέξτε 3 και n επιλέξτε 2 ως

από τον ορισμό του συνδυασμού

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   Now 6Cr= 15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r = 2, 4

έτσι το πρόβλημα αποδεικνύεται ότι είναι 6 επιλέξτε 2 ή 6 επιλέξτε 4

Παράδειγμα:  If  nCr-1= 36 nCr= 84 και nCr + 1= 126, τότε ποια θα ήταν η τιμή του r;

 Λύση: Εδώ nCr-1 / nCr = 36/84 και nCr /nCr + 1 = 84/126.

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r / (n-r + 1) = 3/7 => 7r = 3n-3r + 3

=> 3n-10r = -3, και παρόμοια από τη δεύτερη μερίδα λαμβάνουμε

4n-10r = 6

Κατά την επίλυση, έχουμε n = 9, r = 3

έτσι το πρόβλημα αποδείχθηκε ότι είναι 9 επιλέξτε 3, 9 επιλέξτε 2 και 9 επιλέξτε 4.

Παράδειγμα: Όλοι στο δωμάτιο χειραψία με όλους. Ο συνολικός αριθμός των χειραψιών είναι 66. Βρείτε τον αριθμό των ατόμων στο δωμάτιο.

nC2 = 66 => n! / {2! (N-2)!} = 66 => n (n-1) = 132 => n = 12

Λύση: έτσι η τιμή του n είναι 12 σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός ατόμων στο δωμάτιο είναι 12 και το πρόβλημα είναι 12 επιλέξτε 2.

Παράδειγμα: Σε ένα τουρνουά ποδοσφαίρου, παίχτηκαν 153 παιχνίδια. Όλες οι ομάδες έπαιξαν ένα παιχνίδι. βρείτε τον αριθμό των ομάδων που συμμετέχουν στο τουρνουά.

Λύση:

εδώ nC2 = 153 => n! / {2! (N-2)} = 153 => n (n-1) / 2 = 153 => n = 18

ο συνολικός αριθμός των ομάδων που συμμετείχαν στο τουρνουά ήταν 18 και ο συνδυασμός είναι 18 επιλέξτε 2.

Παράδειγμα Κατά τη διάρκεια της τελετής Deepawali, κάθε μέλος του συλλόγου στέλνει ευχετήριες κάρτες σε άλλους. Εάν υπάρχουν 20 μέλη στο κλαμπ, ποιος θα είναι ο συνολικός αριθμός τρόπων ανταλλαγής ευχετήριων καρτών από τα μέλη.

Λύση: Δεδομένου ότι δύο μέλη μπορούν να ανταλλάξουν κάρτες μεταξύ τους με δύο τρόπους, έτσι υπάρχουν 20 επιλέξτε 2 δύο φορές

2 x 20C2 = 2 x (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380, θα υπήρχαν 380 τρόποι ανταλλαγής ευχετήριων καρτών.

Παράδειγμα: Έξι σύμβολα "+" και τέσσερα μείον "-" πρέπει να είναι διατεταγμένα σε τόσο ευθεία γραμμή, ώστε να μην συναντώνται δύο σύμβολα "-", να βρίσκουν τον συνολικό αριθμό τρόπων.

 Λύση: Η παραγγελία μπορεί να γίνει ως - + - + - + - + - + - + - το (-)  οι πινακίδες μπορούν να τοποθετηθούν σε 7 κενά (μυτερά) μέρη.

Ως εκ τούτου απαιτείται αριθμός τρόπων = 7C4 = 35.

Παράδειγμα: If nC21 =nC6 , τότε βρείτε nC15 =?

Λύση: Δεδομένου nC21 =nC6

21 + 6 = n => n = 27

Ως εκ τούτου 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

που είναι οι 27 επιλέξτε 15.

Συμπέρασμα

Μερικά παραδείγματα λαμβάνονται ανάλογα με τις σχέσεις και τα αποτελέσματα, καθώς αριθμός παραδειγμάτων μπορούμε να πάρουμε κάθε ένα από τα αποτελέσματα, αλλά το σημαντικό πράγμα που θέλω να δείξω ήταν πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε αποτέλεσμα ανάλογα με την κατάσταση, εάν χρειάζεστε περαιτέρω ανάγνωση διαβάστε το περιεχόμενο ή εάν έχετε οποιαδήποτε προσωπική βοήθεια, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας με κάποιο από τα σχετικά περιεχόμενα που μπορείτε να βρείτε από

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, ελέγξτε αυτό σύνδεσμος.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Θεωρίας και Προβλήματα ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks