Ένας πλήρης οδηγός για παραλλαγές και συνδυασμούς

Παραλλαγές και συνδυασμοί

 Παραλλαγές και συνδυασμοί, αυτό το άρθρο θα συζητήσει την έννοια του προσδιορισμού, εκτός από τον άμεσο υπολογισμό, του αριθμού των πιθανών αποτελεσμάτων ενός συγκεκριμένου συμβάντος ή του αριθμού των καθορισμένων στοιχείων, των παραλλαγών και των συνδυασμών που είναι η κύρια μέθοδος υπολογισμού σε συνδυαστική ανάλυση.

Συνηθισμένα λάθη κατά την εκμάθηση παραλλαγών και συνδυασμών

Υπάρχει πάντα σύγχυση μεταξύ του μαθητή μεταξύ των παραλλαγών και των συνδυασμών επειδή και οι δύο σχετίζονται με τον αριθμό της διάταξης διαφορετικών αντικειμένων και τον αριθμό της πιθανής έκβασης ενός συγκεκριμένου συμβάντος ή τον αριθμό τρόπων λήψης ενός στοιχείου από ένα σύνολο. Το θέμα της παραλλαγής & συνδυασμού με παραδείγματα και η διαφορά μεταξύ τους με αιτιολόγηση θα συζητηθεί εδώ

Μια απλή και εύχρηστη τεχνική για να θυμάστε τη διαφορά μεταξύ των παραλλαγών και των συνδυασμών είναι: μια παραλλαγή σχετίζεται με τη σειρά σημαίνει ότι η θέση είναι σημαντική στη μετατόπιση ενώ ο συνδυασμός δεν σχετίζεται με τη σειρά σημαίνει ότι η θέση δεν είναι σημαντική σε συνδυασμό.

Πριν από τη συζήτηση των παραλλαγών και των συνδυασμών, απαιτούμε ορισμένες προϋποθέσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται συχνά.

 Τι είναι το Factorial

          Factorial είναι το προϊόν των θετικών ακεραίων από 1 έως n (μετρώντας 1 και n) που υποδηλώνεται με n! και διαβάζεται ως n παραγοντικό περιγράφεται παρακάτω

n!=1.2.3.4……(n-2).(n-1).n=n.(n-1).(n-2)…..3.2.1

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

Μην ξεχνάτε 0! = 1 

0! = 1

1! = 1

n! = n (nl)!

π.χ. \ \ 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Μέθοδοι μέτρησης (Αρχή πολλαπλασιασμού και προσθήκης)

      Αρχή της προσθήκης: Εάν δεν μπορούν να συμβούν δύο γεγονότα ταυτόχρονα, τότε ένα από τα γεγονότα μπορεί να συμβεί στο

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・

      Αρχή του πολλαπλασιασμού: Λαμβάνοντας υπόψη ότι εάν τα συμβάντα συνέβησαν το ένα μετά το άλλο, τότε όλα τα γεγονότα μπορούν να συμβούν με τη σειρά που αναφέρεται:

n_ {1} .n_ {2} .n_ {3} …… τρόποι

Παράδειγμα: Εάν ένα Ινστιτούτο διαθέτει 7 διαφορετικά μαθήματα τέχνης,  3 διαφορετικά τεχνικά μαθήματα, και 4 διαφορετικά φυσικά μαθήματα.

Εάν ένας μαθητής θέλει να εγγραφεί σε κάθε τύπο μαθήματος τότε ο αριθμός των τρόπων θα ήταν

m = 7.3.4 = 84

Εάν ένας μαθητής θέλει να εγγραφεί μόνο σε ένα από τα μαθήματα, τότε ο αριθμός των τρόπων θα ήταν

n = 7 + 3 + 4 = 14

Τι είναι η παραλλαγή

Οι διαφορετικές θέσεις των αντικειμένων ονομάζονται Παραλλαγές, όπου έχει σημασία η σειρά της ρύθμισης. Οποιαδήποτε τοποθέτηση ενός συνόλου n διαφορετικά αντικείμενα σε μια δεδομένη σειρά ονομάζεται a μετάθεση του αντικειμένου.

        Εξετάστε ένα παράδειγμα του συνόλου γραμμάτων {P, Q, R, S} και στη συνέχεια

  Μερικές από τις παραλλαγές των τεσσάρων αλφαβήτων που λαμβάνονται 4 με μια ματιά είναι QSRP, SRQP και PRSQ

Οποιαδήποτε παραγγελία οποιουδήποτε r <= n αυτών των συγκεκριμένων αντικειμένων σε μια συγκεκριμένη σειρά ονομάζεται "r-μετάθεση"Ή"μια παραλλαγή του όχιλήφθηκαν r κάθε φορά.

Βασικά μας αρέσει αυτός ο αριθμός τέτοιων παραλλαγών χωρίς να τους καθορίσουμε.

Παράδειγμα τύπου παραλλαγής

Ο αριθμός των παραλλαγών n διαφορετικών αντικειμένων που λαμβάνονται r κάθε φορά θα υποδεικνύεται με

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

Στα μαθηματικά αυτό δηλώνεται με διαφορετικούς τρόπους, μερικοί από αυτούς αναφέρονται παρακάτω:

P (n, r), nPr, Pn, r ή (n) r

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Υπολογίστε τον αριθμό m των παραλλαγών έξι αντικειμένων, ας πούμε A, B, C, D, E, F, λαμβάνοντας τρία με μια ματιά.

Λύση: Εδώ n = 6, r = 3, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{6}P_{3}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{3!.4.5.6}{3!}=4.5.6=120

Έτσι m = 120

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Πόσες λέξεις μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας 2 γράμματα από τη λέξη "MATHS";

Λύση: Εδώ n = 5, r = 2, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{5}P_{2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{3!.4.5}{3!}=4.5=20

ο απαιτούμενος αριθμός λέξεων είναι 20.

Τι καταλαβαίνετε με ένα συνδυασμό;

A συνδυασμός for n διαφορετικά στοιχεία που λαμβάνονται r κάθε φορά είναι οποιαδήποτε επιλογή στοιχείων r-th όπου οι παραγγελίες δεν λαμβάνονται υπόψη. Μια τέτοια επιλογή ονομάζεται συνδυασμός r. Εν συντομία, α Συνδυασμός είναι μια επιλογή στην οποία η σειρά των επιλεγμένων αντικειμένων δεν είναι σημαντική.

      Η Συνδυασμός δίνει τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να ρυθμιστεί ένα συγκεκριμένο σετ, όπου η σειρά της ρύθμισης δεν έχει σημασία.

 Για να κατανοήσετε την κατάσταση του Συνδυασμού, σκεφτείτε το παράδειγμα

Είκοσι άνθρωποι φτάνουν σε μια αίθουσα και ο καθένας χειραψία με όλους τους άλλους. Πώς μπορούμε να πάρουμε τον αριθμό των χειραψιών; Το "Α" χειραψία με το Β και το Β με το Α δεν θα είναι δύο διαφορετικές χειραψίες. Εδώ, η σειρά της χειραψίας δεν είναι σημαντική. Ο αριθμός των χειραψιών θα είναι οι συνδυασμοί 20 διαφορετικών πραγμάτων που λαμβάνονται 2 κάθε φορά.

Τύπος συνδυασμού με ένα απλό παράδειγμα

       Ο αριθμός τέτοιων συνδυασμών θα υποδηλώνεται με

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ binom {n} {r}

Μερικές φορές συμβολίζεται επίσης με C (n, r), nCr , Cν, r ή Crn

Παράδειγμα: Μια τάξη περιέχει 10 μαθητές με 6 άνδρες και 4 γυναίκες. Βρείτε τον αριθμό n τρόπων επιλογής μιας τετραμελούς επιτροπής μεταξύ αυτών των μαθητών.

Αυτό σχετίζεται με συνδυασμούς, όχι παραλλαγές, καθώς η σειρά δεν αποτελεί σημαντικό παράγοντα σε μια επιτροπή. Υπάρχουν «10 επιλέξτε 4» τέτοιες επιτροπές. Αυτό είναι:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

εδώ n = 10, r = 4

^{10}C_{4}=\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}=210

έτσι με 210 τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε μια τέτοια τετραμελή επιτροπή.

Παράδειγμα: Ένα δοχείο έχει 6 μπλε μπάλες και 8 κόκκινες μπάλες. Προσδιορίστε τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να αντληθούν δύο μπάλες από οποιοδήποτε από τα χρώματα από το δοχείο.

Εδώ πιθανώς "14 επιλέξτε 2" τρόποι για την επιλογή 2 από τις 14 μπάλες. Ετσι:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

Εδώ n = 14, r = 2

^{14}C_{2}=\binom{14}{2}=\frac{14!}{2!(14-2)!} =\frac{14.13.12!}{2.1.12!}=91

έτσι, με 91 τρόπους, δύο μπάλες μπορούν να τραβηχτούν από οποιοδήποτε χρώμα.

Διαφορά μεταξύ της παραλλαγής και του συνδυασμού

Η διαφορά μεταξύ συνδυασμού έναντι συνδυασμού δίνεται εν συντομία εδώ

ΜετάθεσηΣυνδυασμός
Η παραγγελία είναι σημαντικήΗ παραγγελία δεν είναι σημαντική
Η παραγγελία μετράειΗ παραγγελία δεν μετράει
Χρησιμοποιείται για ρυθμίσεις όπως εκλογή προέδρου, αντιπροέδρου και ταμίαΧρησιμοποιείται για επιλογή όπως επιλογή ομάδων και επιτροπών χωρίς θέσεις
Για εκλογή πρώτης, δεύτερης και τρίτης συγκεκριμένης θέσηςΓια την επιλογή τριών τυχαίων
Για τακτοποίηση των καρτών ή των μπαλών με τη θέση και το χρώμαΓια επιλογή οποιουδήποτε χρώματος και θέσης
Διαφορά μεταξύ παραλλαγών και συνδυασμών

Πού να εφαρμόσετε παραλλαγές και συνδυασμούς

  Αυτό είναι το σημαντικό βήμα που πρέπει να έχουμε κατά νου ότι όποτε η κατάσταση είναι για ρύθμιση, παραγγελία και μοναδικότητα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε Μετάθεση και όποτε η κατάσταση είναι για επιλογή, επιλογή, επιλογή και συνδυασμό χωρίς την ανησυχία της τάξης που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε Συνδυασμός. Αν Κρατάτε αυτά τα βασικά στο μυαλό σας δεν θα υπάρχει σύγχυση «τι να χρησιμοποιήσετε και τι όχι» κάθε φορά που προκύπτει μια ερώτηση.

Χρήση παραλλαγών και συνδυασμών στην πραγματική ζωή με παραδείγματα

Στην πραγματική ζωή η μετάλλαξη και ο συνδυασμός χρησιμοποιούνται σχεδόν παντού γιατί γνωρίζουμε ότι στην πραγματική ζωή θα υπήρχε μια κατάσταση όπου η παραγγελία είναι σημαντική και κάπου η σειρά δεν είναι σημαντική, σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την αντίστοιχη μέθοδο.

Για παράδειγμα

Βρείτε τον αριθμό N των ομάδων των 11 με δεδομένο καπετάνιο που μπορούν να επιλεγούν από 26 παίκτες.

Συχνές Ερωτήσεις - Συχνές ερωτήσεις

Τι είναι το παραγοντικό;

Το προϊόν των θετικών ακεραίων από 1 έως n (συμπεριλαμβανομένου του 1 & n)

n! = 1.2.3 …… .. \ αριστερά (n-2 \ δεξιά). \ αριστερά (n-1 \ δεξιά) .n

Τι είναι η παραλλαγή;

Καλείται η διαφορετική σειρά των αντικειμένων μεταθέσεις

Τι είναι ένας συνδυασμός;

     Η Συνδυασμός παρέχει τον αριθμό των τρόπων που μπορεί να καθοριστεί ένα συγκεκριμένο σύνολο, όπου η σειρά της ρύθμισης δεν έχει σημασία.

Εφαρμογή παραλλαγών και συνδυασμών στην πρακτική ζωή

Μια παραλλαγή χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση ή την επιλογή λιστών όπου η παραγγελία είναι σημαντική και ο συνδυασμός χρησιμοποιείται για επιλογή ή επιλογή όπου η παραγγελία δεν είναι σημαντική.

Τύπος παραλλαγής

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

Συνδυαστικός τύπος

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

Υπάρχει σχέση μεταξύ παραλλαγών και συνδυασμών;

Ναι,

^ {n} C_ {r} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!}

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παραλλαγές και συνδυασμούς στην πραγματική ζωή;

Ναι,

Στη διάταξη των λέξεων, των αλφαβήτων, των αριθμών, των θέσεων και των χρωμάτων κ.λπ. όπου η παραγγελία είναι σημαντική θα χρησιμοποιηθεί η μεταλλαγή

Στην επιλογή επιτροπής, ομάδων, μενού και θεμάτων κ.λπ. όπου η παραγγελία δεν είναι σημαντική θα χρησιμοποιηθεί συνδυασμός.

Συμπέρασμα

   Οι σύντομες πληροφορίες για παραλλαγές και συνδυασμούς με βασική φόρμουλα δίνεται διαβάστε δύο ή τρεις φορές μέχρι να πάρετε την ιδέα για την ιδέα, σε διαδοχικά άρθρα θα συζητήσουμε λεπτομερώς τα διάφορα αποτελέσματα και τους τύπους με κατάλληλα παραδείγματα παραλλαγές και συνδυασμούς. Εάν θέλετε περαιτέρω μελέτη:

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, ακολουθήστε αυτό σύνδεσμος.

1. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Θεωρίας και Προβλήματα των ΔΙΑΚΡΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks