Πλήρης οδηγός για σημεία στη γεωμετρία συντεταγμένων σε 2D | Ο σημαντικός τύπος του με 10+ παραδείγματα

Αυτή είναι μια διαδοχική ανάρτηση που σχετίζεται με Συντεταγμένη Γεωμετρία, ειδικά στις σημεία. Έχουμε ήδη συζητήσει λίγα θέματα νωρίτερα στην ανάρτηση «Ένας πλήρης οδηγός για τον συντονισμό της γεωμετρίας». Σε αυτήν την ανάρτηση θα συζητήσουμε τα υπόλοιπα θέματα.

Βασικοί τύποι σημείων στη συντεταγμένη γεωμετρία σε 2D:

Όλοι οι βασικοί τύποι σε σημεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας περιγράφονται εδώ και για εύκολη και γρήγορη εκμάθηση με μια ματιά για τους τύπους «Πίνακας τύπων για πόντους» με γραφική εξήγηση παρουσιάζεται παρακάτω.

Τύποι απόστασης δύο σημείων | Αναλυτική Γεωμετρία:

Η απόσταση είναι μια μέτρηση για να βρείτε πόσο μακριά αντικείμενα, μέρη κ.λπ. είναι το ένα από το άλλο. Έχει μια αριθμητική τιμή με μονάδες. Στη Συντεταγμένη Γεωμετρία ή στην Αναλυτική γεωμετρία στο 2D, υπάρχει ένας τύπος που προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων. μπορούμε να το γράψουμε ως «Απόσταση» d = √ [(x2-x1)2+ (ε2-y1)2 ] , Όπου  (x1,y1) (x2,y2) είναι δύο σημεία στο επίπεδο xy. Ακολουθεί μια σύντομη γραφική εξήγηση «Πίνακας τύπων για το θέμα αριθ. 1» παρακάτω.

Απόσταση ενός σημείου από την προέλευση | Συντεταγμένη Γεωμετρία:

Εάν ξεκινήσουμε το ταξίδι μας με το Origin στο xy-επίπεδο και καταλήξουμε σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του επιπέδου, η απόσταση μεταξύ προέλευσης και σημείου μπορεί επίσης να βρεθεί με έναν τύπο, "Απόσταση" OP = √ (x2 + ε2), η οποία είναι επίσης μια μειωμένη μορφή του τύπου "Δύο βαθμοί απόστασης" με ένα σημείο στο (0,0). Ακολουθεί μια σύντομη γραφική εξήγηση «Πίνακας τύπων για το θέμα αριθ. 2» παρακάτω.

Τύποι ενότητας σημείων | Συντεταγμένη γεωμετρία:

Εάν ένα σημείο διαιρεί ένα τμήμα γραμμής που ενώνει δύο δεδομένα σημεία σε κάποια αναλογία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τύπους ενότητας για να βρούμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου, ενώ ο λόγος με τον οποίο διαιρείται το τμήμα γραμμής με, αντιστρόφως. Υπάρχει η πιθανότητα το τμήμα γραμμής να χωριστεί είτε εσωτερικά είτε εξωτερικά από το σημείο. Όταν το σημείο βρίσκεται στο τμήμα γραμμής μεταξύ των δύο δεδομένων σημείων, χρησιμοποιούνται οι τύποι εσωτερικής ενότητας, δηλαδή

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

Και όταν το σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό τμήμα του τμήματος γραμμής που ενώνει τα δύο δεδομένα σημεία, χρησιμοποιούνται οι τύποι εξωτερικών τμημάτων, δηλαδή

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

Όπου (x, y) υποτίθεται ότι είναι οι απαιτούμενες συντεταγμένες του σημείου. Αυτοί είναι πολύ απαραίτητοι τύποι για να βρείτε το κεντροειδές, τα κίνητρα, το περιφέρεια ενός τριγώνου, καθώς και το κέντρο μάζας συστημάτων, σημεία ισορροπίας κ.λπ. στη φυσική. Πρέπει να παρακολουθήσετε τη σύντομη προβολή διαφορετικών τύπων τύπων ενοτήτων με γραφήματα που δίνονται παρακάτω στο «Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 3 · υπόθεση-I και υπόθεση-II '.

Τύπος μεσαίου σημείου | συντεταγμένη Γεωμετρία:

Είναι ένας εύκολος τύπος που προέρχεται από τύπους ενότητας εσωτερικών σημείων που περιγράφονται παραπάνω. Ενώ πρέπει να βρούμε το μεσαίο σημείο ενός γραμμικού τμήματος, δηλαδή συντεταγμένη του σημείου που είναι σε απόσταση από τα δύο δεδομένα σημεία στο τμήμα γραμμής, δηλαδή ο λόγος παίρνει 1: 1 φόρμα, τότε αυτός ο τύπος απαιτείται. Ο τύπος έχει τη μορφή

Εάν ένα σημείο διαιρεί ένα τμήμα γραμμής που ενώνει δύο δεδομένα σημεία σε κάποια αναλογία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τύπους ενότητας για να βρούμε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου, ενώ ο λόγος με τον οποίο διαιρείται το τμήμα γραμμής με, αντιστρόφως. Υπάρχει η πιθανότητα το τμήμα γραμμής να χωριστεί είτε εσωτερικά είτε εξωτερικά από το σημείο. Όταν το σημείο βρίσκεται στο τμήμα γραμμής μεταξύ των δύο δεδομένων σημείων, χρησιμοποιούνται οι τύποι εσωτερικής ενότητας, δηλαδή

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

Και όταν το σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό τμήμα του τμήματος γραμμής που ενώνει τα δύο δεδομένα σημεία, χρησιμοποιούνται οι τύποι εξωτερικών τμημάτων, δηλαδή

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

        

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

Όπου (x, y) υποτίθεται ότι είναι οι απαιτούμενες συντεταγμένες του σημείου. Αυτοί είναι πολύ απαραίτητοι τύποι για να βρείτε το κεντροειδές, τα κίνητρα, το περιφέρεια ενός τριγώνου, καθώς και το κέντρο μάζας συστημάτων, σημεία ισορροπίας κ.λπ. στη φυσική. Πρέπει να παρακολουθήσετε τη σύντομη προβολή διαφορετικών τύπων τύπων ενοτήτων με γραφήματα που δίνονται παρακάτω στο «Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 3 · υπόθεση-I και υπόθεση-II '.

Τύπος μεσαίου σημείου | συντεταγμένη Γεωμετρία:

Είναι ένας εύκολος τύπος που προέρχεται από τύπους ενότητας εσωτερικών σημείων που περιγράφονται παραπάνω. Ενώ πρέπει να βρούμε το μεσαίο σημείο ενός γραμμικού τμήματος, δηλαδή συντεταγμένη του σημείου που είναι σε απόσταση από τα δύο δεδομένα σημεία στο τμήμα γραμμής, δηλαδή ο λόγος παίρνει 1: 1 φόρμα, τότε αυτός ο τύπος απαιτείται. Ο τύπος έχει τη μορφή

x = \ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}

x = \ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}

Πηγαίνετε μέσα από το «Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 3-περίπτωση-ΙΙΙ» παρακάτω για να πάρετε τη γραφική ιδέα σχετικά με αυτό.

Περιοχή ενός τριγώνου στη Γεωμετρία Συντεταγμένων:

Ένα τρίγωνο έχει τρεις πλευρές και τρεις κορυφές στο επίπεδο ή σε δισδιάστατο πεδίο. Η περιοχή του τριγώνου είναι ο εσωτερικός χώρος που περιβάλλεται από αυτές τις τρεις πλευρές. Ο βασικός τύπος υπολογισμού περιοχής ενός τριγώνου είναι (2/1 X Base X Height). Στην Αναλυτική Γεωμετρία, εάν δοθούν οι συντεταγμένες και των τριών κορυφών, η επιφάνεια του τριγώνου μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από τον τύπο, Περιοχή του τριγώνου   = | ½ [x1 (y2-  y3 ) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2-y  1)] | , στην πραγματικότητα αυτό μπορεί να προκύψει από τον βασικό τύπο της περιοχής ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο απόστασης δύο σημείων στη γεωμετρία συντεταγμένων. Και οι δύο περιπτώσεις περιγράφονται γραφικά στο «Πίνακας τύπων στο θέμα 4 των πόντων» παρακάτω.

Γραμμικότητα σημείων (Τρία σημεία) | Γεωμετρία Συντεταγμένων:

Collinear σημαίνει «να είσαι στην ίδια γραμμή». Στη γεωμετρία, εάν τρία σημεία βρίσκονται σε μία μόνο γραμμή στο επίπεδο, δεν μπορούν ποτέ να σχηματίσουν ένα τρίγωνο με περιοχή διαφορετική από το μηδέν, δηλαδή εάν ο τύπος της περιοχής του τριγώνου αντικαθίσταται από τις συντεταγμένες των τριών γραμμικών σημείων, το αποτέλεσμα για την περιοχή του το φανταστικό τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτά τα σημεία θα καταλήξει μόνο με μηδέν. Έτσι ο τύπος γίνεται σαν ½ [x1 (y2-  y3 ) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2-y  1)] = 0 Για πιο ξεκάθαρη ιδέα με γραφική αναπαράσταση, ανατρέξτε στο "Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 5" παρακάτω.

Κεντροειδές ενός τριγώνου | Τύπος:

Οι τρεις διάμεσοι * ενός τριγώνου τέμνονται πάντα σε ένα σημείο, που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και διαιρεί τη διάμεση στην αναλογία 2: 1 από οποιαδήποτε κορυφή έως το μεσαίο σημείο της αντίθετης πλευράς. Αυτό το σημείο ονομάζεται κεντροειδές του τριγώνου. Ο τύπος για να βρείτε τις συντεταγμένες του κεντροειδούς είναι

x = \ frac {x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}} {3}

x = \ frac {y_ {1} + y_ {2} + y_ {3}} {3}

Στο "Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 6" παρακάτω, το παραπάνω θέμα περιγράφεται γραφικά για καλύτερη κατανόηση και για γρήγορη προβολή.

Εισαγωγή τριγώνου | Τύπος:

Είναι το κέντρο του μεγαλύτερου incircle του τριγώνου που ταιριάζει στο τρίγωνο. Είναι επίσης το σημείο τομής των τριών διχοτόμων των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Ο τύπος, που χρησιμοποιείται για την εύρεση της εισόδου ενός τριγώνου είναι     

x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c}

x = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c}

Στο "Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 6" παρακάτω, το παραπάνω θέμα περιγράφεται γραφικά για καλύτερη κατανόηση και για γρήγορη προβολή.

Για εύκολη γραφική εξήγηση τα παρακάτω "Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 7" χρειάζεται να δούμε.

Τύπος αλλαγής προέλευσης | Γεωμετρία Συντεταγμένων:

Έχουμε ήδη μάθει στην προηγούμενη ανάρτηση «Ένας πλήρης οδηγός για τον συντονισμό της γεωμετρίας» ότι η προέλευση βρίσκεται στο σημείο (0,0) που είναι το σημείο των τομών των αξόνων στο επίπεδο. μπορούμε να μετακινήσουμε την προέλευση σε όλα τα τεταρτημόρια του επιπέδου σε σχέση με την προέλευση, η οποία θα δώσει νέα σειρά αξόνων μέσω αυτού.

Για σημεία στο παραπάνω επίπεδο, οι συντεταγμένες του θα αλλάξουν μαζί με τη νέα προέλευση και τους άξονες και αυτό μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο, νέες συντεταγμένες ενός σημείου Ρ (x1,y1) are x1 = x- α; γ1 = ε-  b όπου οι συντεταγμένες της νέας προέλευσης είναι (a, b). Για να έχετε σαφή κατανόηση σε αυτό το θέμα είναι προτιμότερο να δείτε τη γραφική αναπαράσταση παρακάτω στο "Πίνακας τύπων για θέματα πόντων αριθ. 8" .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

σημεία

﹡ Κυκλικό κέντρο ενός τριγώνου:

Είναι το σημείο τομής τριών κάθετων διχοτόμων της πλευράς ενός τριγώνου. Είναι επίσης το κέντρο του τριγώνου ενός τριγώνου που αγγίζει μόνο τις κορυφές του τριγώνου.

﹡ Διάμεσοι:

Το διάμεσο είναι το τμήμα γραμμής που ενώνει την κορυφή του τριγώνου στο μεσαίο σημείο ή το σημείο, διχοτομώντας την αντίθετη πλευρά της κορυφής. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους που τέμνονται πάντα μεταξύ τους στο κέντρο του ίδιου τριγώνου.                                                         

Επίλυση προβλημάτων σε σημεία γεωμετρίας συντεταγμένων σε 2D.

Για καλύτερη εκμάθηση των σημείων στο 2D, ένα βασικό παράδειγμα επιλύεται εδώ βήμα προς βήμα και για εξάσκηση μόνοι σας υπάρχουν περισσότερα προβλήματα με απαντήσεις σε κάθε τύπο. Πρέπει να υπάρχουν δύσκολα προβλήματα με τη λύση στα επόμενα άρθρα αμέσως μετά τη λήψη μιας βασικής και σαφούς ιδέας για το θέμα των σημείων στη συντεταγμένη Γεωμετρία 2D.

Βασικά παραδείγματα στους τύπους «Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων»

Προβλήματα 1:  Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ των δύο δεδομένων σημείων (1,2) και (6, -3).

Λύση: Γνωρίζουμε ήδη, τον τύπο της απόστασης μεταξύ δύο σημείων  (x1,y1) (x2,y2)  is d = √ [(x2-x1)2+ (ε2-y1)2 ]… (1)                                                                                                                    

(Δείτε τον παραπάνω πίνακα τύπων)   Εδώ, μπορούμε να υποθέσουμε ότι (x1,y1) ≌ (1,2) και (x2,y2) ≌ (6, -3) δηλαδή x1= 1, ε1= 2 και x2= 6, ε2 = -3, Εάν βάλουμε όλες αυτές τις τιμές στην εξίσωση (1), έχουμε την απαιτούμενη απόσταση.

Επομένως, η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (1,2) και (6, -3) είναι

= √ [(6-1)2+ (- 3-2)2 ] μονάδες

= √ [(5)2+ (- 5)2 ] μονάδες

= √ [25 + 25 ] μονάδες

= √ [50 ] μονάδες

= √ [2 × 52 ] μονάδες

= 5√2 μονάδες (Αντ.)

Σημείωση: Η απόσταση ακολουθείται πάντα από μερικές μονάδες.

Τα πιο απαντημένα προβλήματα (Basic) δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω Πρόβλημα 1:-

Πρόβλημα 2: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2,8) και (5,10).               

Απ. √Μονάδες 13

Πρόβλημα 3: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (-3, -7) και (1, -10).           

Ans. Μονάδες 5

Πρόβλημα 4: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2,0) και (-3,4).               

 Απ. √Μονάδες 41

Πρόβλημα 5: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2, -4) και (0,0).                

Ans. 2Μονάδες 5

Πρόβλημα 6: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (10,100) και (-10,100,). 

                                                                                                                               Ans. Μονάδες 20

Πρόβλημα 7: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (√5,1) και (2√5,1).          

Απ. √5 μονάδες

Πρόβλημα 8: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2√7,2) και (3√7, -1).       

Απ. 4 μονάδες

Πρόβλημα 9: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2 + √10, 0) και (2-√10, 0).   

                                                                                                                              Απ. 2√10 μονάδες

Πρόβλημα 10: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2 + 3i, 0) και (2-3i, 10). {i = √-1}

                                                                                                                                 Ans. Μονάδες 8

Πρόβλημα 11: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (2 + i, -5) και (2-i, -7). {i = √-1}

                                                                                                                                  Απ. 0 μονάδες

Πρόβλημα 12: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (7 + 4i, 2i) και (7-4i, 2i). {i = √-1}

                                                                                                                                   Απ. 8ι μονάδες

Πρόβλημα 13: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (√3 + i, 3) και (2√3 + i, 5). {i = √-1}  

                                                                                                                                Απ. √7 μονάδες

Πρόβλημα 14: Βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων (5 + √2, 3 + i) και (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1} 

                                                                                                                           Απ. 2√ (6 + 2i) μονάδες 

Βασικά παραδείγματα στους τύπους «Η απόσταση ενός σημείου από την προέλευση»

Προβλήματα 15: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (3,4) από την προέλευση.

Λύση:                                                                                                

 Έχουμε τον τύπο της απόστασης ενός σημείου από την προέλευση,  OP = √ (x2 + ε2) (Δείτε τον παραπάνω πίνακα τύπων) Έτσι εδώ μπορούμε να υποθέσουμε (x, y) ≌ (3,4) δηλαδή x = 3 και y = 4                                                                                            

Επομένως, βάζοντας αυτές τις τιμές των x και y στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε την απαιτούμενη απόσταση 

=(32 + 42μονάδες

= √ (9 + 16) μονάδες

= √ (25) μονάδες

= 5 μονάδες

Σημείωση: Η απόσταση ακολουθείται πάντα από ορισμένες μονάδες.

Σημείωση: Η απόσταση ενός σημείου από την προέλευση είναι στην πραγματικότητα η απόσταση μεταξύ του σημείου και του σημείου προέλευσης, δηλαδή (0,0)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω

Πρόβλημα 15:-

Πρόβλημα 16: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (1,8) από την προέλευση.                              

Απ. √Μονάδες 65

Πρόβλημα 17: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (0,7) από την προέλευση.                              

Απ. 7 μονάδες

Πρόβλημα 18: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (-3, -4) από την προέλευση.                            

Απ. 5 μονάδες

Πρόβλημα 19: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (10,0) από την προέλευση.                             

Απ. 10 μονάδες

Πρόβλημα 20: Βρείτε την απόσταση ενός σημείου (0,0) από την προέλευση.                               

Απ. 0 μονάδες

                 ___________________________________________________________

Βασικά παραδείγματα σε άλλους τύπους σημείων περιγράφηκε παραπάνω και λίγες προκλητικές ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα στη συντεταγμένη Γεωμετρία, ακολουθούνται από επόμενες δημοσιεύσεις.

Σχετικά με τη NASRINA PARVIN

Είμαι η Nasrina Parvin, έχοντας 10 χρόνια εμπειρίας στο Υπουργείο Επικοινωνίας και Πληροφορικής της Ινδίας. Έχω κάνει αποφοίτηση στα Μαθηματικά. Στον ελεύθερο χρόνο μου, μου αρέσει να διδάσκω, να λύω μαθηματικά προβλήματα. Από τα παιδικά μου χρόνια, το Math είναι το μόνο θέμα που με γοήτευσε περισσότερο.

Lambda Geeks