Συνάρτηση πιθανότητας μάζας | Η πλήρης επισκόπηση του με 5 παραδείγματα

Διακριτή τυχαία μεταβλητή και μαθηματική προσδοκία-II

Όπως ήδη γνωρίζουμε τώρα με το διακριτή τυχαία μεταβλητή, είναι η τυχαία μεταβλητή που παίρνει μετρήσιμο αριθμό πιθανών τιμών σε μια ακολουθία. Οι δύο σημαντικές έννοιες που σχετίζονται με τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές είναι η πιθανότητα διακριτής τυχαίας μεταβλητής και συνάρτηση κατανομής που περιορίζουμε το όνομα σε τέτοια πιθανότητα και συνάρτηση κατανομής όπως,

Συνάρτηση πιθανότητας μάζας (pmf)

                Η Συνάρτηση πιθανότητας μάζας είναι η πιθανότητα της διακριτής τυχαίας μεταβλητής, έτσι για οποιαδήποτε διακριτές τυχαίες μεταβλητές  x1, Χ2, Χ3, Χ4,……, Χk  τις αντίστοιχες πιθανότητες P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) είναι οι αντίστοιχες συναρτήσεις μάζας πιθανότητας.

Συγκεκριμένα, για το X = a, το P (a) = P (X = a) είναι το pmf του

Εδώ χρησιμοποιούμε και μετά συνάρτηση μάζας πιθανότητας για πιθανότητα διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Όλα τα χαρακτηριστικά πιθανότητας για την πιθανότητα θα ισχύουν προφανώς για τη λειτουργία μάζας πιθανότητας όπως η θετικότητα και η άθροιση όλων των pmf θα είναι ένα κ.λπ.

Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (cdf) / συνάρτηση διανομής

  Η συνάρτηση διανομής ορίζεται ως

F (x) = P (X <= x)

για διακριτή τυχαία μεταβλητή με πιθανότητα συνάρτηση μάζας είναι η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (cdf) της τυχαίας μεταβλητής.

και μαθηματική προσδοκία για μια τέτοια τυχαία μεταβλητή που ορίσαμε ήταν

E (g (x)) = \ άθροισμα \ όρια_ {i} x_ {i} p_ {i}

βλέπουμε τώρα μερικά από τα αποτελέσματα των μαθηματικών προσδοκιών

  1. Εάν x1, Χ2, Χ3, Χ4,… .. είναι οι διακριτές τυχαίες μεταβλητές με αντίστοιχες πιθανότητες P (x1), P (x2), P (x3), P (x4)… Η προσδοκία για την πραγματική αποτιμώμενη συνάρτηση g θα είναι

E (g (x)) = \ άθροισμα \ όρια_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

Παράδειγμα: για τις παρακάτω συναρτήσεις μάζας πιθανότητας βρείτε το E (X3)

συνάρτηση μάζας πιθανότητας

Εδώ το g (X) = X3

Έτσι

E (g (x)) = \ άθροισμα \ όρια_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

E (X ^ {3}) = \ άθροισμα \ όρια_ {i} x_ {i} ^ {3} p (x_ {i})

E(X^{3}) = (-1)^{3}<em>0.2+(0)^{3}</em>0.5+(1)^{^{3}}*0.3

E (X ^ {3}) = 0.1

Με τον ίδιο τρόπο για οποιαδήποτε nth παραγγελία μπορούμε να γράψουμε

E [X ^ {n}] = \ άθροισμα \ όρια_ {x: p (x)> 0} x ^ {n} p (x)

Το οποίο είναι γνωστό ως ένατη στιγμή.

2. Εάν τα a και b είναι σταθερές τότε

E [aX + b] = aE [X] + b

Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε εύκολα

E [aX + b] = \ άθροισμα \ όρια_ {x: p (x)> 0} (ax + b) p (x)

= α \ άθροισμα \ όρια_ {x: p (x)> 0} xp (x) + b \ άθροισμα όρια {x: p (x)> 0} p (x)

= aE [X] + b

Διακύμανση ως προς την προσδοκία.

                Για το μέσο όρο που υποδηλώνεται με μ, η διακύμανση της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X που υποδηλώνεται με var (X) ή σ σε όρους προσδοκίας θα είναι

Var (X) = E [(X- μ)2]

και αυτό μπορούμε να απλουστεύσουμε περαιτέρω ως

Var (X) = E [(X- μ)2]

= \ άθροισμα \ όρια_ {x} (x- \ mu) ^ {2} p (x)

= \ sum \ حد_ {x} (x ^ {2} -2x \ mu + \ mu ^ {2}) p (x)

= \ sum \ limit_ {x} (x ^ {2} p (x) -2 \ mu \ sum \ limit_ {x} xp (x) + \ mu ^ {2} \ άθροισμα \ όρια_ {x} p (x )

= E [X ^ {2}] -2 \ mu ^ {2} + \ mu ^ {2}

= E [X ^ {2}] - \ mu ^ {2}

Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε τη διακύμανση ως τη διαφορά της προσδοκίας των τυχαίων μεταβλητών τετραγώνων και του τετραγώνου της προσδοκίας της τυχαίας μεταβλητής.

δηλ. Var (X) = E [X2] - (Ε [X])2

Παράδειγμα:  όταν ρίχνεται μια μήτρα υπολογίστε τη διακύμανση.

Λύση:  Εδώ ξέρουμε πότε θα πεθάνουν οι πιθανότητες για κάθε πρόσωπο

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

Ως εκ τούτου για τον υπολογισμό της διακύμανσης θα βρούμε την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής και το τετράγωνό της ως

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

ΠΡΩΗΝ2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

και μόλις αποκτήσαμε τη διακύμανση ως

Var (X) = E [X2] - (Ε [X])2

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35/12

Μία από τις σημαντικές ταυτότητες για τη διακύμανση είναι

  1. Για τις αυθαίρετες σταθερές a και b έχουμε

Var (aX + b) = α2 Var (X)

Αυτό μπορούμε να το δείξουμε εύκολα

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= Ε [α2(X - μ)2]

=a2 Ε [(X-μ)2]

=a2 Var (X)

Τυχαία μεταβλητή Bernoulli

      Ένας Ελβετός μαθηματικός James Bernoulli ορίζει το Τυχαία μεταβλητή Bernoulli ως τυχαία μεταβλητή που έχει είτε επιτυχία είτε αποτυχία ως μόνο δύο αποτελέσματα για το τυχαίο πείραμα.

δηλαδή όταν το αποτέλεσμα είναι επιτυχία X = 1

Όταν το αποτέλεσμα είναι αποτυχία X = 0

Έτσι, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την τυχαία μεταβλητή Bernoulli είναι

p (0) = P {X = 0} = 1-σελ

p (1) = P {X = 1} = σελ

όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας και 1-p θα είναι η πιθανότητα αποτυχίας.

Εδώ μπορούμε να πάρουμε 1-p = q επίσης όπου q είναι η πιθανότητα αποτυχίας.

Δεδομένου ότι αυτός ο τύπος τυχαίας μεταβλητής είναι προφανώς διακριτός, έτσι είναι μία από τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές.

Παράδειγμα: Πετώντας ένα νόμισμα.

Διωνυμική τυχαία μεταβλητή

Αν για ένα τυχαίο πείραμα που έχει μόνο αποτέλεσμα ως επιτυχία ή αποτυχία, κάνουμε n δοκιμές, οπότε κάθε φορά που θα έχουμε είτε επιτυχία είτε αποτυχία, τότε η τυχαία μεταβλητή X που αντιπροσωπεύει το αποτέλεσμα για ένα τέτοιο τυχαίο πειραματικό π Διωνυμική τυχαία μεταβλητή.

                Με άλλα λόγια, εάν το p είναι η συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την επιτυχία στη μεμονωμένη δοκιμή Bernoulli και q = 1-p είναι η πιθανότητα αποτυχίας, τότε η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος x ή i 'φορές σε n δοκιμές θα είναι

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

or

p (i) = \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} όπου i = 0,1,2,… .n

Παράδειγμα: Αν πετάμε δύο νομίσματα έξι φορές και κερδίζουμε το κεφάλι και η εναπομένουσα εμφάνιση είναι αποτυχίες τότε η πιθανότητά του θα είναι

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

P(X=2)=\binom{6}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{6-2}=\frac{6!}{2!4!}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}

με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε για οποιοδήποτε τέτοιο πείραμα.

Η Διωνυμική τυχαία μεταβλητή έχει το όνομα Διωνυμικός επειδή αντιπροσωπεύει την επέκταση του

κόμμι^{n}=q^{n}+\binom{n}{1}q^{n-1}p+\binom{n}{2}q^{n-2}p^{2}+…….+p^{n}=\sum\limits_{i = 1}^n\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}[/latex]

Εάν βάλουμε στη θέση του n = 1 τότε αυτό θα μετατραπεί σε τυχαία μεταβλητή του Bernoulli.

Παράδειγμα: Εάν πετάχτηκαν πέντε νομίσματα και το αποτέλεσμα λήφθηκε ανεξάρτητα, τότε ποια θα ήταν η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός των κεφαλών

Εδώ, αν πάρουμε την τυχαία μεταβλητή X ως τον αριθμό των κεφαλών, τότε θα μετατραπεί σε δυαδική τυχαία μεταβλητή με n = 5 και πιθανότητα επιτυχίας ως ½

Ακολουθώντας λοιπόν τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τη διωνυμική τυχαία μεταβλητή θα λάβουμε

P{X=0}=\binom{5}{0}(\frac{1}{2})^{0}(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}

P{X=1}=\binom{5}{1}(\frac{1}{2})^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{5}{32}

P{X=2}=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{10}{32}

P{X=3}=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{10}{32}

P{X=4}=\binom{5}{4}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{5}{32}

Παράδειγμα:

Σε μια συγκεκριμένη εταιρεία η πιθανότητα ελαττωμάτων είναι 0.01 από την παραγωγή. Η εταιρεία κατασκευάζει και πωλεί το προϊόν σε συσκευασία των 10 και στους πελάτες της προσφέρουν εγγύηση επιστροφής χρημάτων ότι το πολύ 1 από τα 10 προϊόντα είναι ελαττωματικά, οπότε ποιο ποσοστό των συσκευαζόμενων προϊόντων που πρέπει να αντικαταστήσει η εταιρεία.

Εδώ Εάν το X είναι η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τα ελαττωματικά προϊόντα τότε είναι του διωνυμικού τύπου με n = 10 και p = 0.01 τότε η πιθανότητα επιστροφής του πακέτου είναι

P({X\geq 1})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{10}{0}(0.01)^{0}(0.99)^{10}-\binom{10}{1}(0.01)^{1}(0.99)^{9}

\ περίπου 0.004

Παράδειγμα: (chuck-a-luck / wheel of fortune) Σε ένα συγκεκριμένο παιχνίδι τύχης στο ξενοδοχείο ένας παίκτης ποντάρει σε οποιονδήποτε από τους αριθμούς από 1 έως 6, τρία ζάρια έπειτα έλαβαν και εάν ο αριθμός εμφανίζεται στοίχημα από τον παίκτη μία, δύο ή τρεις φορές ο παίκτης που σημαίνει πολλές μονάδες αν εμφανιστεί μία φορά έπειτα 1 μονάδα εάν σε δύο ζάρια έπειτα 2 μονάδες και εάν σε τρία ζάρια έπειτα 3 μονάδες, ελέγξτε με τη βοήθεια πιθανότητας ότι το παιχνίδι είναι κατάλληλο για τον παίκτη ή όχι.

Αν υποθέσουμε ότι δεν θα υπάρχουν άδικα μέσα με τις τεχνικές ζαριών και κώνων, υποθέτοντας ότι το αποτέλεσμα των ζαριών ανεξάρτητα, η πιθανότητα επιτυχίας για κάθε ζάρι είναι 1/6 και η αποτυχία θα είναι

 1-1 / 6 οπότε αυτό γίνεται το παράδειγμα της διωνυμίας τυχαίας μεταβλητής με n = 3

οπότε πρώτα θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες νίκης αναθέτοντας το x ως νίκη των παικτών

P(X=0)=\binom{3}{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{3}=\frac{125}{216}

P(X=1)=\binom{3}{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{2}=\frac{75}{216}

P(X=2)=\binom{3}{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{1}=\frac{15}{216}

P(X=3)=\binom{3}{3}(\frac{1}{6})^{3}(\frac{5}{6})^{0}=\frac{1}{216}

Τώρα για να υπολογίσετε το παιχνίδι είναι δίκαιο για τον παίκτη ή όχι θα υπολογίσουμε την προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής

E[X]=\frac{-125+75+30+3}{216}

= - \ frac {17} {216}

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να χάσει το παιχνίδι για τον παίκτη όταν παίζει 216 φορές είναι 17.

Συμπέρασμα:

   Σε αυτό το άρθρο συζητήσαμε μερικές από τις βασικές ιδιότητες μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, της συνάρτησης πιθανότητας μάζας και της διακύμανσης. Επιπλέον, έχουμε δει μερικούς τύπους μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, Πριν ξεκινήσουμε τη συνεχή τυχαία μεταβλητή προσπαθούμε να καλύψουμε όλους τους τύπους και τις ιδιότητες της διακριτής τυχαίας μεταβλητής, εάν θέλετε περαιτέρω ανάγνωση, τότε περάστε:

Περιγράμματα Πιθανότητας και Στατιστικής του Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Για περισσότερα θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, ακολουθήστε αυτή η σύνδεση

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks