Ιδιότητες παραλλαγής και συνδυασμού

Περιεχόμενο

Ιδιότητες παραλλαγής και συνδυασμού

  Όταν συζητάμε τη μετάθεση και το συνδυασμό καθώς ασχολούμαστε με την επιλογή και τη ρύθμιση με ή χωρίς παραγγελίες, ανάλογα με την κατάσταση υπάρχουν διαφορετικοί τύποι και ιδιότητες για παραλλαγή και συνδυασμός, αυτές οι διαφορές μεταξύ παραλλαγών και συνδυασμών θα εξηγήσουμε εδώ με αιτιολογημένα παραδείγματα.

παραλλαγές χωρίς επανάληψη

  Αυτή είναι η κανονική παραλλαγή που τακτοποιεί n αντικείμενα που λαμβάνονται κάθε φορά, δηλαδή nPr

n Pr= n! / (nr)!

αριθμός παραγγελιών n διαφορετικών αντικειμένων που λαμβάνονται ταυτόχρονα n Pn = ν!

Επιπλέον, έχουμε

nP0 = n! / n! = 1

nPr = ν.n-1Pr-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 ή (-r)! = ∞

παραλλαγές με επανάληψη

 Αριθμός παραλλαγών (ρυθμίσεις) για διαφορετικά αντικείμενα, λαμβανόμενα r κάθε φορά, όπου κάθε στοιχείο μπορεί να συμβεί μία φορά, δύο φορές, τρεις φορές, …… .. r-φορές όσες περισσότερες από οποιαδήποτε διάταξη = Αριθμός τρόπων πλήρωσης περιοχών όπου κάθε το αντικείμενο μπορεί να γεμίσει με οποιοδήποτε από τα στοιχεία n.

Ιδιότητες της παραλλαγής και συνδυασμός: παραλλαγές με επανάληψη

Ο αριθμός των παραλλαγών = Ο αριθμός των τρόπων πλήρωσης r μέρη = (n)r

Ο αριθμός των παραγγελιών που μπορούν να οργανωθούν χρησιμοποιώντας n αντικείμενα από τα οποία p είναι όμοια (και ενός είδους) q είναι όμοια (και άλλου είδους), r είναι παρόμοια (και άλλου είδους) και τα υπόλοιπα είναι ξεχωριστά nPr = n! / (p! q! r!)

Παράδειγμα:

Με πόσους τρόπους μπορούν να κατανέμονται 5 μήλα μεταξύ τεσσάρων αγοριών όταν κάθε αγόρι μπορεί να πάρει ένα ή περισσότερα μήλα.      

Λύση: Αυτό είναι το παράδειγμα της παραλλαγής με επανάληψη, όπως γνωρίζουμε ότι για τέτοιες περιπτώσεις έχουμε

Ο αριθμός των παραλλαγών = Ο αριθμός των τρόπων πλήρωσης r θέσεις = nr

Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι 45 = 10, αφού κάθε μήλο μπορεί να διανεμηθεί με 4 τρόπους.

Παράδειγμα: Βρείτε τον αριθμό των λέξεων που μπορούν να οργανωθούν με τα γράμματα της λέξης MATHEMATICS ανασυγκροτώντας τις.

Λύση: Εδώ μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν 2 M, 2 A και 2T, αυτό είναι το παράδειγμα της παραλλαγής με επανάληψη

= n! / (p! q! r!)

 Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Παράδειγμα: Πόσοι τρόποι με τους οποίους ο αριθμός των ουρών ισούται με τον αριθμό των κεφαλών εάν έξι πανομοιότυπα νομίσματα είναι διατεταγμένα στη σειρά.

Λύση: Εδώ μπορούμε να το παρατηρήσουμε

Αριθμός κεφαλών = 3

Αριθμός ουρών = 3

Και επειδή τα νομίσματα είναι πανομοιότυπα, αυτό είναι το παράδειγμα της παραλλαγής με επανάληψη = n! / (P! Q! R!)

Απαιτούμενος αριθμός τρόπων = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Κυκλική παραλλαγή:

Στην κυκλική παραλλαγή, το πιο σημαντικό είναι ότι η σειρά του αντικειμένου είναι σεβασμός προς τους άλλους.

Έτσι, σε κυκλική μετάθεση, προσαρμόζουμε τη θέση ενός αντικειμένου και τακτοποιούμε τα άλλα αντικείμενα προς όλες τις κατευθύνσεις.

Η κυκλική παραλλαγή χωρίζεται σε δύο τρόπους:

(i) Κυκλική μετατόπιση όπου υποδεικνύουν ρυθμίσεις δεξιόστροφα και αριστερόστροφα διαφορετική παραλλαγή, π.χ. ρυθμίσεις για καθίσματα ατόμων γύρω από το τραπέζι.

(ii) Κυκλική μετατόπιση όπου εμφανίζονται οι ρυθμίσεις δεξιόστροφα και αριστερόστροφα ίδια παραλλαγή, π.χ. τακτοποίηση ορισμένων χαντρών για τη δημιουργία κολιέ.

Δεξιόστροφη και αριστερόστροφη διάταξη

Εάν η αντίθετη προς τα δεξιά και η δεξιόστροφη σειρά και κίνηση είναι όχι διαφορετικό π.χ., διάταξη χάντρας σε κολιέ, σύνθεση λουλουδιών σε γιρλάντα κ.λπ. n ξεχωριστά αντικείμενα είναι (n-1)! / 2

  1. Ο αριθμός κυκλικής μεταγωγής για n διαφορετικά αντικείμενα, λαμβανόμενα r τη φορά, όταν οι παραγγελίες για δεξιόστροφα και αριστερόστροφα θεωρούνται διαφορετικές by nPr /r
  2. Ο αριθμός κυκλικής μεταγωγής για n διαφορετικά αντικείμενα, που λαμβάνονται κάθε φορά, όταν οι παραγγελίες δεξιόστροφα και αριστερόστροφα είναι όχι διαφορετικό από nPr / 2r
  3. Ο αριθμός των κυκλικών μεταθέσεων n διαφορετικών αντικειμένων είναι (n-1)!
  4. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους n διαφορετικά αγόρια μπορούν να κάθονται γύρω από ένα κυκλικό τραπέζι είναι (n-1)!
  5. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους n διαφορετικά πετράδια μπορούν να δημιουργηθούν για να σχηματίσουν ένα κολιέ, είναι (n-1)! / 2

Παράδειγμα:

Πόσοι τρόποι μπορούν να τοποθετηθούν πέντε πλήκτρα στο δαχτυλίδι

Λύση:

Δεδομένου ότι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα είναι ίδια στην περίπτωση δακτυλίου.

Εάν η ακολουθία και η κίνηση αριστερόστροφα και δεξιόστροφα είναι όχι διαφορετικό τότε ο αριθμός των κυκλικών μεταβολών του n διακριτά αντικείμενα είναι

= (n-1)! / 2

Απαιτούμενος αριθμός τρόπων = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Παράδειγμα:

Ποιος θα ήταν ο αριθμός των ρυθμίσεων, εάν έντεκα μέλη μιας επιτροπής κάθονται σε μια στρογγυλή τράπεζα έτσι ώστε ο Πρόεδρος και ο Γραμματέας να κάθονται πάντα μαζί.

Λύση:

Με θεμελιώδη ιδιότητα κυκλικής μεταγωγής

Ο αριθμός των κυκλικών μεταθέσεων n διαφορετικών πραγμάτων είναι (n-1)!

Δεδομένου ότι δύο θέσεις είναι σωστές, έτσι έχουμε

Απαιτούμενος αριθμός τρόπων (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Παράδειγμα: Ποιος θα ήταν ο τρόπος με τον οποίο 6 άνδρες και 5 γυναίκες μπορούν να φάνε σε ένα στρογγυλό τραπέζι εάν δεν μπορούν να κάθονται μαζί δύο γυναίκες

Λύση: Με θεμελιώδη ιδιότητα κυκλικής μεταγωγής.

Ο αριθμός των κυκλικών μεταθέσεων n διαφορετικών πραγμάτων είναι (n-1)!

Αριθμός τρόπων με τους οποίους μπορούν να οργανωθούν 6 άντρες σε στρογγυλό τραπέζι = (6 - 1)! = 5!

Ιδιότητες παραλλαγής και συνδυασμού
Ιδιότητες παραλλαγής και συνδυασμού: Παράδειγμα

Τώρα οι γυναίκες μπορούν να τακτοποιηθούν σε 6! τρόποι και συνολικός αριθμός τρόπων = 6! × 5!

Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη

Αυτός είναι ο συνηθισμένος συνδυασμός που είναι «Ο αριθμός των συνδυασμών (επιλογές ή ομάδες) από τους οποίους μπορεί να σχηματιστεί n διαφορετικά αντικείμενα που λαμβάνονται κάθε φορά είναι nCr = n! / (nr)! r!

Επίσης    nCr =nCγρ

              n Pr / Ρ! = n! / (nr)! =nCr

Παράδειγμα: Βρείτε τον αριθμό των επιλογών για να καλύψετε 12 κενές θέσεις, εάν υπάρχουν 25 υποψήφιοι και πέντε από αυτές είναι από την προγραμματισμένη κατηγορία, υπό την προϋπόθεση ότι 3 κενές θέσεις προορίζονται για τους υποψηφίους SC, ενώ οι υπόλοιπες είναι ανοιχτές σε όλους.

Λύση: Δεδομένου ότι 3 κενές θέσεις πληρώνονται από 5 αιτούντες στο 5 C3  τρόπους (δηλ. 5 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3) και τώρα οι υποψήφιοι που απομένουν είναι 22 και οι υπόλοιπες θέσεις είναι 9 έτσι θα ήταν 22C9 (22 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 9) Η επιλογή μπορεί να γίνει 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Έτσι, η επιλογή μπορεί να γίνει με 4974200 τρόπους. 

Παράδειγμα: Υπάρχουν 10 υποψήφιοι και τρεις κενές θέσεις στις εκλογές. με πόσους τρόπους μπορεί να ψηφίσει ο ψηφοφόρος;

Λύση: Επειδή υπάρχουν μόνο 3 κενές θέσεις για 10 υποψηφίους, έτσι αυτό είναι το πρόβλημα των 10 ΕΠΙΛΕΞΕΩΝ 1, 10 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 και 10 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3 Παραδείγματα,

Ένας ψηφοφόρος μπορεί να ψηφίσει 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Έτσι, με 175 τρόπους οι ψηφοφόροι μπορούν να ψηφίσουν.

Παράδειγμα:Υπάρχουν 9 καρέκλες σε ένα δωμάτιο για 4 άτομα, μία εκ των οποίων είναι ένας μονόκλινο επισκέπτης με μία συγκεκριμένη καρέκλα. Πόσοι τρόποι μπορούν να καθίσουν;

Λύση: Εφόσον μπορούν να επιλεγούν 3 καρέκλες 8C3 και στη συνέχεια 3 άτομα μπορούν να τακτοποιηθούν σε 3! τρόποι.

3 άτομα πρέπει να κάθονται σε 8 καρέκλες 8C3 (δηλαδή 8 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3) ρύθμιση

=8C3 Χ3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56Χ6 = 336

Με 336 τρόπους μπορούν να καθίσουν.

Παράδειγμα: Για πέντε άνδρες και 4 γυναίκες, θα σχηματιστεί μια ομάδα 6. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό ώστε η ομάδα να έχει περισσότερους άντρες.

Λύση: Εδώ το πρόβλημα περιλαμβάνει διαφορετικούς συνδυασμούς όπως 5 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 5, 5 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 4, 5 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3 για άνδρες και για γυναίκες περιλαμβάνει 4 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 1, 4 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 και 4 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3 όπως δίνεται στα ακόλουθα

1 γυναίκα και 5 άνδρες =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 γυναίκες και 4 άνδρες =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 γυναίκες και 3 άνδρες =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Ως εκ τούτου, συνολικοί τρόποι = 4 + 30 + 40 = 74.

Παράδειγμα: Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους 12 αγόρια μπορούν να ταξιδέψουν σε τρία αυτοκίνητα, ώστε 4 αγόρια σε κάθε αυτοκίνητο, υποθέτοντας ότι τρία συγκεκριμένα αγόρια δεν θα πάνε στο ίδιο αυτοκίνητο.

Λύση: Πρώτα παραλείψτε τρία συγκεκριμένα αγόρια, τα υπόλοιπα 9 αγόρια μπορεί να είναι 3 σε κάθε αυτοκίνητο. Αυτό μπορεί να γίνει σε 9 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 3 δηλαδή 9C3 τρόποι,

Τα τρία συγκεκριμένα αγόρια μπορούν να τοποθετηθούν με τρεις τρόπους ένα σε κάθε αυτοκίνητο. Επομένως ο συνολικός αριθμός τρόπων είναι = 3Χ9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

έτσι με 252 τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν.

Παράδειγμα: Πόσοι τρόποι βγήκαν από 2 πράσινες και 2 μαύρες μπάλες από μια τσάντα που περιείχε 7 πράσινες και 8 μαύρες μπάλες;

Λύση: Εδώ η τσάντα περιέχει 7 πράσινα από αυτό που πρέπει να επιλέξουμε 2, έτσι είναι 7 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 πρόβλημα και 8 μαύρες μπάλες από αυτό πρέπει να επιλέξουμε 2, έτσι είναι 8 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 πρόβλημα.

Εξ ου και ο απαιτούμενος αριθμός = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

έτσι με 588 τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 2 πράσινα και 2 μαύρα από αυτήν την τσάντα.

Παράδειγμα: Δώδεκα διαφορετικοί χαρακτήρες αγγλικών λέξεων παρέχονται. Από αυτά τα γράμματα σχηματίζονται 2 αλφαβητικά ονόματα. Πόσες λέξεις μπορούν να δημιουργηθούν όταν επαναλαμβάνεται τουλάχιστον ένα γράμμα.

Λύση: Εδώ πρέπει να επιλέξουμε λέξεις 2 γραμμάτων από 12 γράμματα, οπότε είναι 12 ΕΠΙΛΟΓΗ 2 πρόβλημα.

Αριθμός λέξεων 2 γραμμάτων στις οποίες τα γράμματα έχουν επαναληφθεί ανά πάσα στιγμή = 122

        Αλλά όχι. λέξεων που έχουν δύο διαφορετικά γράμματα από 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Απαιτούμενος αριθμός λέξεων = 122-66 = 144-66 = 78.

Παράδειγμα: Υπάρχουν 12 σημεία στο αεροπλάνο όπου έξι είναι γραμμικά, τότε πόσες γραμμές μπορούν να σχεδιαστούν συνδέοντας αυτά τα σημεία.

Λύση: Για 12 πόντους σε ένα αεροπλάνο για να κάνουμε τη γραμμή απαιτούμε 2 πόντους ίδιο για έξι γραμμικά σημεία, οπότε αυτό είναι το πρόβλημα 12 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 και 6 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2.

Ο αριθμός των γραμμών είναι = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Έτσι, με 52 τρόπους μπορεί να σχεδιαστεί γραμμές.

Παράδειγμα: Βρείτε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να δημιουργηθεί ένα 6μελές ντουλάπι από 8 κυρίες και 4 κυρίες έτσι ώστε το ντουλάπι να αποτελείται από τουλάχιστον 3 κυρίες.

Λύση: Για τη συγκρότηση της επιτροπής, μπορούμε να επιλέξουμε από 3 άντρες και γυναίκες και 2 άνδρες 4 γυναίκες, οπότε το πρόβλημα περιλαμβάνει 8 ΕΠΙΛΕΞΕΙΣ 3, 4 ΕΠΙΛΕΞΕΙΣ 3, 8 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 2 και 4 ΕΠΙΛΕΞΤΕ 4.

Μπορούν να διαμορφωθούν δύο τύποι ντουλαπιών

        (i) Έχοντας 3 άντρες και 3 κυρίες

        (ii) Έχοντας 2 άντρες και 4 κυρίες

        Πιθανό όχι. τρόπων = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Έτσι με 252 τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε ένα τέτοιο ντουλάπι.

       Αυτά είναι μερικά παραδείγματα όπου μπορούμε να συγκρίνουμε την κατάσταση nPr vs nCr στην περίπτωση της παραλλαγής, ο τρόπος οργάνωσης των πραγμάτων είναι σημαντικός. Ωστόσο, στο Συνδυασμό η παραγγελία δεν σημαίνει τίποτα.

Συμπέρασμα

Μια σύντομη περιγραφή της παραλλαγής και του συνδυασμού όταν επαναλαμβάνεται και δεν επαναλαμβάνεται με τον βασικό τύπο και τα σημαντικά αποτελέσματα παρέχεται με τη μορφή πραγματικών παραδειγμάτων, σε αυτήν τη σειρά άρθρων θα συζητήσουμε λεπτομερώς τα διάφορα αποτελέσματα και τους τύπους με σχετικά παραδείγματα, εάν θέλετε να συνεχίσετε να διαβάζετε:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Θεωρίας και Προβλήματα ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Για περισσότερα άρθρα σχετικά με τα Μαθηματικά, ακολουθήστε αυτό Σύνδεσμος

Σχετικά με τον DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Είμαι DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Επίκουρος καθηγητής Μαθηματικών. Έχοντας 12 χρόνια εμπειρίας στη διδασκαλία. Έχοντας τεράστια γνώση στα Καθαρά Μαθηματικά, ακριβώς στην Άλγεβρα. Έχοντας την τεράστια ικανότητα σχεδιασμού και επίλυσης προβλημάτων. Δυνατότητα παρακίνησης των υποψηφίων για βελτίωση της απόδοσής τους.
Μου αρέσει να συνεισφέρω στο Lambdageeks για να κάνω τα Μαθηματικά Απλά, Ενδιαφέρον και Αυτοεξήγηση τόσο για αρχάριους όσο και για ειδικούς.
Ας συνδεθούμε μέσω του LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Lambda Geeks