Απλά υποστηριζόμενη δέσμη | Είναι πλήρης επισκόπηση

Περιεχόμενα

  • Τι είναι το Simply-υποστηριζόμενο Beam;
  • Είναι δωρεάν διάγραμμα σώματος.
  • Οριακές συνθήκες και σχετικός τύπος.
  • Στιγμή κάμψης για Συμπυκνωμένη φόρτωση.
  • Ροπή κάμψης για ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση.
  • Είναι η εξίσωση εκτροπής και εκτροπής με παράδειγμα.
  • Είναι εκτροπή ως f (x) για κατανεμημένη φόρτωση [Τριγωνική φόρτωση].
  • Άλλα διάφορα φόρτωση που προκαλεί Bending Stress.

Τι είναι απλώς υποστηριζόμενη δέσμη;

Απλώς υποστηριζόμενος ορισμός δέσμης

Μια απλώς υποστηριζόμενη δέσμη είναι μια δοκός, με ένα άκρο κανονικά αρθρωτό, και το άλλο άκρο έχει στήριξη κυλίνδρου. Επομένως, λόγω του αρθρωτού στηρίγματος, ο περιορισμός της μετατόπισης στο (x, y) θα είναι και λόγω της στήριξης του κυλίνδρου θα αποτραπεί η μετατόπιση του άκρου στην κατεύθυνση y και θα είναι ελεύθερη να κινείται παράλληλα στον άξονα της δέσμης.

Απλά υποστηριζόμενο διάγραμμα σώματος χωρίς δέσμη.

Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη δέσμη δίνεται παρακάτω στο οποίο με το σημειακό φορτίο να λειτουργεί σε απόσταση «p» από το αριστερό άκρο της δέσμης.

Διάγραμμα ελεύθερου σώματος με απλά υποστηριζόμενη δέσμη
Δωρεάν διάγραμμα σώματος για SSB

Απλά υποστηριζόμενες συνθήκες και φόρμουλα δέσμης

Αξιολόγηση δυνάμεων αντίδρασης που δρουν στη δέσμη χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας 

\ άθροισμα F_x = 0, \; \ άθροισμα F_y = 0, \; \ άθροισμα M_A = 0

Για κάθετη ισορροπία,

\ άθροισμα F_y = 0 -------> R_A + R_B-W = 0

R_A + R_B = W

Wp-R_BL = 0

Η λήψη Moment about A ισούται με 0 με τυπικούς συμβολισμούς.

\\ R_B = \ frac {Wp} {L}

Από την παραπάνω εξίσωση,

R_A + \ frac {Wp} {L} = W

R_A = \ frac {Wq} {L}

Αφήστε το XX να είναι η διασταύρωση σε απόσταση «a» του x από το τελικό σημείο που υποδηλώνεται από το A.

Λαμβάνοντας υπόψη την τυπική Σύμβαση Σήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη διάτμησης στο σημείο Α όπως περιγράφεται στο σχήμα.

Δύναμη διάτμησης στο Α,

V_A = R_A = \ frac {Wq} {L}

Η δύναμη διάτμησης στην περιοχή XX είναι

V_x = R_A-W

V_x = \ frac {Wq} {L} -W

V_x = \ frac {W (qL)} {L}

V_x = \ frac {-Wp} {L}

Η Shear Force στο B είναι 

V_B = \ frac {-Wp} {L}

Αυτό αποδεικνύει ότι η δύναμη διάτμησης παραμένει σταθερή μεταξύ των σημείων εφαρμογής των φορτίων σημείου.

Εφαρμόζοντας τους τυπικούς κανόνες της ροπής κάμψης, το ρολόι ρολογιού δεξιόστροφα από το αριστερό άκρο της δέσμης λαμβάνεται ως + ve και η ροπή αντίστροφης ροής ρολογιού θεωρείται ως -ve αντίστοιχα.

  • BM στο σημείο A = 0.
  • ΒΜ στο σημείο C = -RA p ………………………… [αφού η στιγμή είναι αριστερόστροφα, το Bending Moment βγαίνει ως αρνητικό]
  • Το BM στο σημείο C έχει ως εξής

B.M_C = \ frac {-Wpq} {L} ......................... Μέγιστο \; κάμψη \; στιγμή

  • ΒΜ στο σημείο B = 0.
Διάγραμμα διατμητικής δύναμης και ροπής κάμψης

Απλά υποστηριζόμενη ροπή Beam Bending για ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση ως συνάρτηση του x.

Δίνεται παρακάτω μια απλή υποστηριζόμενη δέσμη με ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση που εφαρμόζεται σε ολόκληρη την έκταση,

SSB με UDL

Η περιοχή XX είναι οποιαδήποτε περιοχή σε απόσταση x από A.

Το προκύπτον ισοδύναμο φορτίο που ενεργεί στη θήκη Beam λόγω της ομοιόμορφης φόρτωσης μπορεί να επεξεργαστεί από

F = L * f

F = fL

Ισοδύναμο φορτίο σημείου fL ενεργεί στο μεσαίο διάστημα. δηλαδή, στο L / 2

Αξιολόγηση δυνάμεων αντίδρασης που δρουν στη δέσμη χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας 

\ άθροισμα F_x = 0, \; \ άθροισμα F_y = 0, \; \ άθροισμα M_A = 0

Για κάθετη ισορροπία,

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_A + R_B = fL

λαμβάνοντας τυπικές συμβάσεις συμβόλων, μπορούμε να γράψουμε

\\ fL * \ frac {L} {2} -R_BL = 0 \\\\ R_B = \ frac {fL} {2}

Από την παραπάνω εξίσωση,

R_A + \ frac {fL} {2} = fL \\ R_A = \ frac {fL} {2}

Ακολουθώντας την τυπική σύμβαση Sign, η διάτμηση στο Α θα είναι.

V_A = R_A = \ frac {fL} {2}

Δύναμη διάτμησης σε C

V_C = R_A- \ frac {fL} {2}

V_C = \ frac {fL} {2} - \ frac {fL} {2} = 0

Η δύναμη διάτμησης στην περιοχή XX είναι

V_x = R_A-fx \\\\ V_x = \ frac {fL} {2} -fx \\\\ V_x = \ frac {f [L-2x]} {2}

Δύναμη διάτμησης στο Β

V_B = \ frac {-fL} {2}

Για το διάγραμμα κάμψης ροπής, μπορούμε να το βρούμε λαμβάνοντας τυπική σημειογραφία.

  • BM στο σημείο A = 0.
  • Το BM στο σημείο X είναι

B.M_x = M_A - \ frac {fx ^ 2} {2} = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

  • ΒΜ στο σημείο B = 0.

Έτσι, η ροπή κάμψης μπορεί να γραφτεί ως εξής

B.M_x = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

Περίπτωση I: Για απλά υποστηριζόμενη δέσμη με συμπυκνωμένο φορτίο F που λειτουργεί στο κέντρο της δέσμης

Ακολουθεί ένα διάγραμμα ελεύθερου αμαξώματος για μια απλώς υποστηριζόμενη χαλύβδινη δέσμη που φέρει συμπυκνωμένο φορτίο (F) = 90 kN που ενεργεί στο Σημείο C. Τώρα υπολογίστε την κλίση στο σημείο Α και τη μέγιστη εκτροπή. αν I = 922 εκατοστά4, E = 210 GigaPascal, L = 10 μέτρα.

Λύσεις:

Το FBD Δίνεται ένα παράδειγμα παρακάτω,

Δωρεάν διάγραμμα σώματος για SSB με συμπυκνωμένο φορτίο σημείου

Η κλίση στο τέλος του Beam είναι,

\ frac {dy} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}

\\\frac{dy}{dx}=\frac{90*10^3*10^2}{16*210*10^9*922*10^{-8}} \\\\\frac{dy}{dx}=0.29

Για μια απλώς υποστηριζόμενη χαλύβδινη δέσμη που μεταφέρει ένα συμπυκνωμένο φορτίο στο κέντρο, το

y_ {max} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}

y_{max}=\frac{90*10^3*10^3}{48*210*10^9*922*10^{-8} }

y_ {max} = 1.01 \; m

Περίπτωση II: Για απλά υποστηριζόμενη δέσμη με φορτίο σε απόσταση «a» από την υποστήριξη A.

Για αυτήν την περίπτωση φορτίο δράσης (F) = 90 kN στο σημείο C. Στη συνέχεια υπολογίστε την κλίση στα σημεία A και B και τη μέγιστη εκτροπή, εάν I = 922 cm4, E = 210 GigaPascal, L = 10 μέτρα, a = 7 μέτρα, b = 3 μέτρα.

Έτσι

Η κλίση στο τέλος υποστηρίζει Α της δέσμης,

\ theta_1 = \ frac {Fb (L ^ 2-b ^ 2)} {6LEI}

\theta_1=\frac{90*10^3*3*(10^2-3^2)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_1 = 0.211 \; ακτίνια

Κλίση στο άκρο στήριξης Β της δέσμης,

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}

\theta_2=\frac{90*10^3*3*7*(10*^2-3)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_2 = 0.276 \; rad

Η εξίσωση δίνει τη μέγιστη εκτροπή,

y_{max}=\frac{Fb(3L^2-4b^2)}{48EI }

y_{max}=\frac{90*10^3*3*(3*10^2-4*3^2)}{48*210*10^9*922*10^{-8}}

y_ {max} = 0.766 \; m

Πίνακας κλίσης και εκτροπής για τυπικές περιπτώσεις φορτίου:

Κλίση και εκτροπή σε απλά υποστηριζόμενη δέσμη με ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτωση περίπτωση

Αφήστε το βάρος W1 ενεργώντας σε απόσταση από το End A και W2 ενεργεί σε απόσταση β από το τέλος A.

Η Στιγμή κάμψης Η εξίσωση για την παραπάνω δέσμη μπορεί να δοθεί από

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{wx^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b))

Το UDL που εφαρμόζεται σε ολόκληρο το Beam δεν απαιτεί καμία ειδική μεταχείριση που σχετίζεται με τους αγκύλες Macaulay ή τους όρους της Macaulay. Λάβετε υπόψη ότι οι όροι της Macaulay είναι ενσωματωμένοι σε σχέση με τον εαυτό τους. Για την παραπάνω περίπτωση (xa), εάν βγει αρνητική, πρέπει να αγνοηθεί. Η αντικατάσταση των τελικών συνθηκών θα αποδώσει συμβατικά τις τιμές ολοκλήρωσης και επομένως τις απαιτούμενες κλίσεις και την τιμή εκτροπής.

Σε αυτήν την περίπτωση, το UDL ξεκινά στο σημείο Β, η εξίσωση ροπής κάμψης τροποποιείται και ο ομοιόμορφα κατανεμημένος όρος φορτίου γίνεται όρος Bracket του Macaulay.

Η εξίσωση κάμψης ροπής για την παραπάνω περίπτωση δίνεται παρακάτω.

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{w(x-a)^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b)

Ενσωματώνοντας,

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^2}{2}-\frac{w(x-a)^3}{6}-W_1\frac{(x-a)^2}{2}-W_2\frac{(x-b)^2}{2}+A

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^3}{6}-\frac{w(x-a)^4}{24}-W_1\frac{(x-a)^3}{2}-W_2\frac{(x-b)^3}{6}+Ax+B

Απλά υποστηριζόμενη εκτροπή δέσμης ως συνάρτηση του x για κατανεμημένη φόρτωση [Τριγωνική φόρτωση]

Παρακάτω δίνεται η Απλά υποστηριζόμενη δέσμη του εύρους L που υπόκειται σε Τριγωνική φόρτωση και προέκυψε η εξίσωση της κλίσης και της ροπής κάμψης χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία Διπλής ολοκλήρωσης έχει ως εξής.

Για τη συμμετρική φόρτωση, κάθε αντίδραση υποστήριξης φέρει το ήμισυ του συνολικού φορτίου και η αντίδραση στη στήριξη είναι wL / 4 και η στιγμή που λαμβάνεται υπόψη στο σημείο που βρίσκεται σε απόσταση x από την υποστήριξη Α υπολογίζεται ως.

M=\frac{wL}{4}x-\frac{wx^2}{L}\frac{x}{3}=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3)

Χρησιμοποιώντας τη διαφοράn- εξίσωση της καμπύλης.

\frac{d^2y}{dx^2}=M=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3).

από τη διπλή ολοκλήρωση μπορούμε να βρούμε ως.

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1.................[1].

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1x+C_2.................[2].

βάζοντας x = 0, y = 0 στην εξίσωση [2],

C_2 = 0

Για συμμετρική φόρτωση, η κλίση στα 0.5L είναι μηδέν

 Έτσι, κλίση = 0 σε x = L / 2,

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2}-L^4)+C_1

C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

Αντικατάσταση των σταθερών τιμών του C2 Και C1 παίρνουμε,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})-\frac{5wL^3}{192}x

Η υψηλότερη εκτροπή βρίσκεται στο κέντρο της δέσμης. δηλαδή, στο L / 2.

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2L^3}{2*8}-\frac{L^5}{5*32})-\frac{5wL^3}{192}\frac{L}{2}

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

Αξιολόγηση κλίσης σε L = 7 m και εκτροπή από δεδομένα δεδομένα: I = 922 εκ4 , E = 220 GPa, L = 10 m, w = 15 Nm

Από τις παραπάνω εξισώσεις: σε x = 7 m,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

220*10^9*922*10^{-8}*\frac{dy}{dx}=\frac{15}{12*10}(\frac{3*10^2*7^2}{2}-7^4)-\frac{5*15*10^3}{192}

\ frac {dy} {dx} = 1.124 * 10 ^ {- 4} \; ακτίνια

χρησιμοποιώντας εξίσωση [4]

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

220*10^9*922*10^{-8}*y_{max}=\frac{15*10^4}{120}

y_ {max} = - 6.16 * 10 ^ {- 4} \; μ

Το αρνητικό σύμβολο αντιπροσωπεύει την κάμψη προς τα κάτω.

Απλά υποστηριζόμενη δέσμη που υπόκειται σε διάφορες φόρτωση που προκαλούν κάμψη στρες.

Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα μιας απλώς υποστηριζόμενης χαλύβδινου δοκού που φέρει ένα σημειακό φορτίο και τα στηρίγματα σε αυτήν τη δοκό υποστηρίζονται με καρφίτσα στο ένα άκρο και ένα άλλο είναι στήριγμα κυλίνδρου. Αυτή η δέσμη έχει το ακόλουθο δεδομένο υλικό και τα δεδομένα φόρτωσης

φόρτωση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα έχει F = 80 kN. L = 10 m, E = 210 GPa, I = 972 cm4, d = 80 mm

Αξιολόγηση δυνάμεων αντίδρασης που δρουν στη δέσμη χρησιμοποιώντας συνθήκες ισορροπίας 

\ άθροισμα F_x = 0, \; \ άθροισμα F_y = 0, \; \ άθροισμα M_A = 0

Για κάθετη ισορροπία,

\ άθροισμα F_y = 0 \\ R_A + R_B-80000 = 0 \\ R_A + R_B = 80000

Η λήψη της Στιγμής για το Α, η Ρολογική στιγμή + η και η αριστερόστροφη στιγμή λαμβάνεται ως -ve, μπορούμε να υπολογίσουμε ως.

80000 * 4-R_B * 10 = 0

R_B = 32000 \; Ν

Βάζοντας την τιμή του RB στην εξίσωση [1].

R_A + 32000 = 80000

R_A = 48000 \; Ν

Ας, XX είναι το τμήμα του ενδιαφέροντος σε απόσταση x από το τελικό σημείο Α, έτσι θα είναι η δύναμη διάτμησης στο Α.

V_A = R_A = 48000 \; Ν

Η δύναμη διάτμησης στην περιοχή XX είναι

V_x = R_A-F

V_x = \ frac {Fb} {L} -F

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {-Fa} {L} = \ frac {-80000 * 4} {10} = - 32000 \; Ν

Η Shear Force στο B είναι 

V_B = \ frac {-Fa} {L} = - 32000 \; Ν

Αυτό αποδεικνύει ότι η δύναμη διάτμησης παραμένει σταθερή μεταξύ των σημείων εφαρμογής των φορτίων σημείου.

Εφαρμόζοντας τους τυπικούς κανόνες της ροπής κάμψης, η ροπή ρολογιού δεξιόστροφα από το αριστερό άκρο της δέσμης θεωρείται θετική. Η αντίστροφη ροπή κάμψης δεξιόστροφα θεωρείται αρνητική.

  • Στιγμή κάμψης στο A = 0
  • Στιγμή κάμψης σε C = -RA a ………………………… [αφού η στιγμή είναι αριστερόστροφα, το Bending Moment βγαίνει ως αρνητικό]
  • Η κάμψη στιγμή στο C είναι

B.M_{max}=-80000*4*\frac{6}{10}=-192000\;Nm

  • Στιγμή κάμψης στο B = 0

Η εξίσωση του Euler-Bernoulli για Bending Moment δίνεται από

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma} {y} = \ frac {E} {R}

M = Εφαρμόστηκε BM πάνω από τη διατομή της δέσμης.

I = 2η στιγμή της αδράνειας.

σ = προκαλούμενη από άγχος κάμψης.

y = κανονική απόσταση μεταξύ του ουδέτερου άξονα της δέσμης και του επιθυμητού στοιχείου.

Ε = Συντελεστής Young σε MPa

R = Ακτίνα καμπυλότητας σε mm

Έτσι, το άγχος κάμψης στην ακτίνα

\ sigma_b = \ frac {M_ {max} y} {I}

\sigma_b=\frac{-192000*80/2*10^{-3}}{972*10^{-8}}

\ sigma_b = -790.12 \; MPa

Για να μάθετε για την εκτροπή της δέσμης και Ακτίνα προβόλου άλλο άρθρο κάντε κλικ παρακάτω.

Σχετικά με τον Hakimuddin Bawangaonwala

Είμαι ο Hakimuddin Bawangaonwala, Μηχανολόγος Μηχανικός Σχεδιασμού με Εξειδίκευση στη Μηχανική Σχεδίαση και Ανάπτυξη. Έχω ολοκληρώσει το M. Tech στη Μηχανική Σχεδιασμού και έχει 2.5 χρόνια Ερευνητικής Εμπειρίας Μέχρι τώρα δημοσίευσε δύο ερευνητικές εργασίες σχετικά με τη σκληρή στροφή και την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων θερμαντικών εξαρτημάτων. Η περιοχή που μου ενδιαφέρει είναι η σχεδίαση μηχανών, η αντοχή του υλικού, η μεταφορά θερμότητας, η θερμική μηχανική κ.λπ. Έμπειρος στο λογισμικό CATIA και ANSYS για CAD και CAE Εκτός από την έρευνα.
Συνδεθείτε στο LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/hakimuddin-bawangaonwala

Αφήστε ένα σχόλιο

Η διεύθυνση email σας δεν θα δημοσιευθεί. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται *

Lambda Geeks