40+ Κρίσιμα επιλυμένα προβλήματα των τμημάτων σημείων ή των τύπων αναλογίας

Βασικά παραδείγματα για τους τύπους "Ενότητες σημείου ή αναλογία"

Περίπτωση-I

Προβλήματα 21: Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου P (x, y) που χωρίζει εσωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (1,1) και (4,1) στην αναλογία 1: 2.

Λύση:   Γνωρίζουμε ήδη,

Εάν ένα σημείο P (x, y) διαιρεί το τμήμα γραμμής AB εσωτερικώς στην αναλογία μ: ν,όπου συντεταγμένες του A B are (x1,y1) (x2,y2) αντίστοιχα. Τότε οι Συντεταγμένες του P είναι 

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μπορούμε να πούμε, (x1,y1) ≌ (1,1) δηλ   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌ (4,1) δηλ   x2= 4, y2=1   

μ: ν  ≌ 1: 2 δηλ   m = 1, n = 2

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Ως εκ τούτου,       

x =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (1 \ φορές x2 \ δεξιά) + \ αριστερά (2 \ φορές x1 \ δεξιά)} {1 + 2}} ( βάζοντας τιμές m & n     \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}} )

Ή, x =\mathbf{\textbf{}\tfrac{1x4+2x1}{3}} ( βάζοντας τιμές x1 &  x2 πολύ )

Ή, x = \ mathbf {\ tfrac {4 + 2} {3}}

Ή, x = \ mathbf {\ textbf {} \ tfrac {6} {3}}

 Or, x = 2

Παρομοίως παίρνουμε,  

y =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (1 \ φορές y2 \ δεξιά) + \ αριστερά (2 \ φορές y1 \ δεξιά)} {1 + 2}} ( βάζοντας τιμές m & n     y =\ mathbf {\ frac {my2 + ny1} {m + n}})

Ή, y =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (1 \ φορές 1 \ δεξιά) + \ αριστερά (2 \ φορές 1 \ δεξιά)} {3}} ( βάζοντας τιμές y1 &  y2 πολύ )

Ή, y = \ mathbf {\ frac {\ αριστερά (1 \ φορές 1 + 2 \ δεξιά)} {3}}

Ή, y =  \ mathbf {\ frac {3} {3}}

Ή, γ = 1

 Ως εκ τούτου, x = 2 και y = 1 είναι οι συντεταγμένες του σημείου P, δηλαδή (2,1).   (Απ)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο παραπάνω πρόβλημα 21: -

22 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου που χωρίζει εσωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (0,5) και (0,0) στην αναλογία 2: 3.

                     Απ. (0,2)

23 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που χωρίζει εσωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα σημεία (1,1) και (4,1) στην αναλογία 2: 1.

Απ. (3,1)

24 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που βρίσκεται στο τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (3,5,) και (3, -5,) διαιρώντας το στην αναλογία 1: 1

Απ. (3,0)

25 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου που χωρίζει εσωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (-4,1) και (4,1) στην αναλογία 3: 5

Ans. (-1,1)

26 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που χωρίζει εσωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (-10,2) και (10,2) στην αναλογία 1.5 : 2.5.

_____________________________

Περίπτωση-II

Προβλήματα 27:   Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Q (x, y) που διαιρεί εξωτερικά το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (2,1) και (6,1) στην αναλογία 3: 1.

Λύση:  Γνωρίζουμε ήδη,

Εάν ένα σημείο Q (x, y) διαιρεί το τμήμα γραμμής AB εξωτερικά στην αναλογία μ: ν,όπου συντεταγμένες of A B are (x1,y1) (x2,y2) αντίστοιχα, τότε οι συντεταγμένες του σημείου Ρ είναι 

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μπορούμε να πούμε,  (x1,y1) ≌ (2,1) δηλ  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌ (6,1) δηλ   x2= 6, y2= 1 και   

                                                    μ: ν  ≌ 3: 1 δηλ    m=3, n =1   

Σημεία ενότητες
ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Ως εκ τούτου, 

x =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (3 \ φορές x2 \ δεξιά) - \ αριστερά (1 \ φορές x1 \ δεξιά)} {3-1}} ( βάζοντας τιμές m & n     x  =\ mathbf {\ frac {mx2-nx1} {mn}})

Ή, x =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (3 \ φορές 6 \ δεξιά) - \ αριστερά (1 \ φορές 2 \ δεξιά)} {2}} ( βάζοντας τιμές x1 &  x2 πολύ )

Ή, x\ mathbf {\ frac {18-2} {2}}

Ή, x  =  \ mathbf {\ frac {16} {2}}

Ή, x = 8

Παρομοίως παίρνουμε,  

y =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (3 \ φορές y2 \ δεξιά) - \ αριστερά (1 \ φορές y1 \ δεξιά)} {3-1}} ( βάζοντας τιμές m & n     y =\ mathbf {\ frac {my2-ny1} {mn}})

Ή, y =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (3 \ φορές 1 \ δεξιά) - \ αριστερά (1 \ φορές 1 \ δεξιά)} {2}} ( βάζοντας τιμές y1 &  y2 πολύ )

Ή, y = \ mathbf {\ frac {3-1} {2}}

Ή, y =  \ mathbf {\ frac {2} {2}}

Ή, γ = 1

 Ως εκ τούτου, x = 8 και y = 1 είναι οι συντεταγμένες του σημείου Q, δηλαδή (8,1).   (Απ)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο παραπάνω πρόβλημα 27: -

28 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που διαιρεί το τμήμα γραμμής που συνδέει τα δύο σημεία (2,2) και (4,2) στην αναλογία 3 : 1.

Απ. (5,2)

29 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που διαιρεί το τμήμα γραμμής που συνδέει τα δύο σημεία (0,2) και (0,5) στην αναλογία 5: 2.

Απ. (0,7)

30 πρόβλημα: Βρείτε το σημείο που βρίσκεται στο εκτεταμένο τμήμα του τμήματος γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (-3, -2) και (3, -2) στην αναλογία 2 : 1.

Απ. (9, -2)

________________________________

Υπόθεση-III

Προβλήματα 31:  Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου του τμήματος γραμμής που ενώνουν τα δύο σημεία (-1,2) και (1,2).

Λύση:   Γνωρίζουμε ήδη,

Εάν ένα σημείο R (x, y) είναι το μεσαίο σημείο της ενότητας γραμμής που ενώνει Τσεκούρι1,y1) Β (x2,y2).Στη συνέχεια, συντεταγμένες του R are

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {x} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {x} _ {2}} {\ textbf {2}}

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {y} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {y} _ {2}} {\ textbf {2}}

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Περίπτωση-III είναι η μορφή της υπόθεσης-Ι ενώ m = 1 και n = 1

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μπορούμε να πούμε,  (x1,y1) ≌ (-1,2) δηλ  x1= -1, y1=2 και

                                                    (x2,y2)≌ (1,2) δηλ   x2= 1, y2=2

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Ως εκ τούτου,

x =\ mathbf {\ frac {\ αριστερά (-1 \ δεξιά) +1} {2}} ( βάζοντας τιμές x1 &  x2  in x =\ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}})

Ή, x  =  \ mathbf {\ frac {0} {2}}

Ή, x = 0

Παρομοίως παίρνουμε, 

y =\ mathbf {\ frac {2 + 2} {2}} ( βάζοντας τιμές y1 &  y2  in y =\ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}})

Ή, y \ mathbf {\ frac {4} {2}}

Ή, y = 2

Ως εκ τούτου, x = 0 και y = 2 είναι οι συντεταγμένες του μέσου σημείου R, δηλαδή (0,2).   (Απ)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στο παραπάνω πρόβλημα 31: -

32 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου της γραμμής που ενώνουν τα δύο σημεία (-1, -3) και (1, -4).

Απ. (0,3.5)

33 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου που διαιρεί το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (-5, -7) και (5,7).

Απ. (0,0)

34 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου που διαιρεί το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (10, -5) και (-7,2).

Απ. (1.5, -1.5)

35 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου που διαιρεί το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (3, √2) και (1,32).

Απ. (2,2√2)

36 πρόβλημα: Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου σημείου που διαιρεί το τμήμα γραμμής που ενώνει τα δύο σημεία (2 + 3i, 5) και (2-3i, -5).

Απ. (2,0)

Σημείωση: Πώς να ελέγξετε εάν ένα σημείο διαιρεί μια γραμμή (μήκος = μονάδες) εσωτερικά ή εξωτερικά με την αναλογία m: n

Εάν (m × d) / (m + n) + (n × d) / (m + n) = d, τότε διαιρέστε εσωτερικά

Εάν (m × d) / (m + n) - (n × d) / (m + n) = d, τότε διαιρείται εξωτερικά

____________________________________________________________________________

Βασικά παραδείγματα στους τύπους «Περιοχή ενός τριγώνου»

Περίπτωση-I 

Προβλήματα 37: Ποια είναι η περιοχή του τριγώνου με δύο κορυφές A (1,2) Β (5,3) ύψος σε σχέση με AB be 3 μονάδες στο επίπεδο συντεταγμένων;

 Λύση:   Γνωρίζουμε ήδη,

If "Η" να είναι το ύψος και "σι" να είναι η βάση του Τριγώνου, τότε  Η περιοχή του τριγώνου είναι = ½ × b × h

(Δείτε το γράφημα τύπων)

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο μπορούμε να πούμε, 

 h = 3 μονάδες και b = √ [(x2-x1)2+ (ε2-y1)2 ] δηλ  √ [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    Ή, b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    Ή, b = √ [(16 + 1 ]

                    Ή,  b = √ 17 μονάδες

Επομένως, η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου είναι   = ½ × b × h δηλ

= ½ × (√ 17) × 3 μονάδες

= 3⁄2 × (√ 17) μονάδες (Αντ.)

______________________________________________________________________________________

Περίπτωση-II

Προβλήματα 38:Ποια είναι η περιοχή του τριγώνου με κορυφές A (1,2), B (5,3) και C (3,5) στο επίπεδο συντεταγμένων;

 Λύση:   Γνωρίζουμε ήδη,

If  Τσεκούρι1,y1) Β (x2,y2) Γ (x3,y3) να είναι οι κορυφές ενός τριγώνου,

Η περιοχή του τριγώνου είναι  =|½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2- ε1)]|

(Δείτε το γράφημα τύπων)

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο που έχουμε, 

                                              (x1,y1) 1,2 (XNUMX) δηλ   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌ (5,3) δηλ   x2= 5, y2= 3 και

                                              (x3,y3) ≌ (3,5) δηλ    x3= 3, y3=5

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Επομένως, η περιοχή του τριγώνου είναι = | ½ [x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)] | δηλαδή 

= | ½ [1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)] |  τετραγωνικές μονάδες 

= | ½ [1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)] |    τετραγωνικές μονάδες

= | ½ [-2 + 10 + 3] |    τετραγωνικές μονάδες

= | ½ x 11|     τετραγωνικές μονάδες

= 11-2     τετραγωνικές μονάδες

= 5.5      τετραγωνικές μονάδες         (Απ.)

Τα πιο απαντημένα προβλήματα δίνονται παρακάτω για περαιτέρω πρακτική χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που περιγράφεται στα παραπάνω προβλήματα: -

39 πρόβλημα: Βρείτε την περιοχή του τριγώνου των οποίων οι κορυφές είναι (1,1), (-1,2) και (3,2).

Απ. 2 τετραγωνικές μονάδες

40 πρόβλημα: Βρείτε την περιοχή του τριγώνου των οποίων οι κορυφές είναι (3,0), (0,6) και (6,9).

Απ. 22.5 τετραγωνικές μονάδες

41 πρόβλημα: Βρείτε την περιοχή του τριγώνου των οποίων οι κορυφές είναι (-1, -2), (0,4) και (1, -3).

Απ. 6.5 τετραγωνικές μονάδες

42 πρόβλημα: Βρείτε την περιοχή του τριγώνου των οποίων οι κορυφές είναι (-5,0,), (0,5) και (0, -5).                                 Απ. 25 τετραγωνικές μονάδες

 _______________________________________________________________________________________

Για περισσότερες αναρτήσεις στα Μαθηματικά, ακολουθήστε μας Σελίδα μαθηματικών.

Σχετικά με τη NASRINA PARVIN

Είμαι η Nasrina Parvin, έχοντας 10 χρόνια εμπειρίας στο Υπουργείο Επικοινωνίας και Πληροφορικής της Ινδίας. Έχω κάνει αποφοίτηση στα Μαθηματικά. Στον ελεύθερο χρόνο μου, μου αρέσει να διδάσκω, να λύω μαθηματικά προβλήματα. Από τα παιδικά μου χρόνια, το Math είναι το μόνο θέμα που με γοήτευσε περισσότερο.

Lambda Geeks